1、课时作业课时作业 15 三角形的基本概念与性质三角形的基本概念与性质 基础夯实 1.(2020 广东深圳)如图,已知 AB=AC,BC=6,由尺规作图痕迹可求出 BD=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2020 山东枣庄)如图,在ABC 中,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,连接 AE.若 BC=6,AC=5,则ACE的周长为( ) A.8 B.11 C.16 D.17 3.(2020 北京)如图,AB 和 CD 相交于点 O,则下列结论正确的是( ) A.1=2 B.2=3 C.14+5 D.2BC,D是 AB的中点.E 为直线 AC 上一动点,连接 DE
2、,过点 D 作 DFDE,交直线 BC于点 F,连接 EF. (1)如图 1,当 E是线段 AC的中点时,设 AE=a,BF=b,求 EF的长(用含 a,b的式子表示); (2)当点 E在线段 CA的延长线上时,依题意补全图 2,用等式表示线段 AE,EF,BF之间的数量关系,并 证明. 图 1 图 2 参考答案 课时作业 15 三角形的基本概念与性质 1.B 解析 由作图痕迹可知 AD为BAC的角平分线,而 AB=AC,由等腰三角形的三线合一知 D 为 BC中点, BD=3,故选 B. 2.B 解析 DE垂直平分 AB,AE=BE, ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE= AC+
3、BC=5+6=11. 3.A 解析 由两直线相交,对顶角相等可知 A正确;由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内 角的和可知,B选项为23, C选项为1=4+5,D选项为25. 故选 A. 4.C 解析 如图,连接 AC 四边形 ABCD是菱形 AB=BC=20 cm,ADBC 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,AE=60 cm, AC= AE=20 cm,AB=BC=AC ABC是等边三角形, B=60 ,ADBC, DAB=180 -B=180 -60 =120 . 5.D 解析 由勾股定理得 AC= , =33- 12- 13- 23= , AC BD= , BD=7, B
4、D= . 6.13 解析 x2-8x+12=0, (x-2)(x-6),x1=2,x2=6. 三角形的两边长分别为 2和 5,第三边长是方程 x2-8x+12=0的根,当 x=2时,2+25,不符合题意, 三角形的第三边长是 6, 该三角形的周长为 2+5+6=13. 7.3 解析 由题意可知,点 C在AOB的平分线上, a=2a-3,解得 a=3. 8.等腰三角形 解析 (b-2)2+|c-3|=0, b-2=0,c-3=0,b=2,c=3. 又|x-4|=2,x1=6,x2=2. a是方程的解且 a,b,c为ABC的三边长,a=2, ABC是等腰三角形. 9.78 解析 过 O作射线 BP
5、,线段 AB,BC的垂直平分线 l1,l2,相交于点 O, AO=OB=OC,BDO=BEO=90 , DOE+ABC=180 . DOE+1=180 ,ABC=1=39 . OA=OB=OC, A=ABO,OBC=C. AOP=A+ABO,COP=C+OBC, AOC=AOP+COP=A+ABC+C= 239 =78 . 10.4 解析 延长 BD到 F,使 BD=DF,过点 C作 CHAB,交 BF于点 H. BD=DF,CDBF, BC=CF, CBE=F. A=2CBE, A=2F. CHAB, ABE=BHC. AE=BE, A=ABE, A=BHC, BHC=2F. BHC=F+F
6、CH, F=FCH, HF=CH. CHAB, ABE=BHC,A=HCE, BHC=HCE, EH=EC. AE+EC=BE+EH,即 BH=AC=11. DH=BH-BD=AC-BD=11-8=3, CH=HF=BF-BH=2BD-BH=28-11=5. 在 RtCDH中,由勾股定理,得 CD= - - =4, 在 RtCDB中,由勾股定理,得 BC= =4 . 11.82 解析 CD=CB,ACD=ACB,CA=CA,CADCAB,B=D.设ACB=, B=,则ACD=,D=,EAC为ACD的一个外角,+=49 .在ABC中内角和为 180 , +BAC=180 , BAC=131 ,
7、BAE=BAC-EAC=82 . 12.6 解析 如图, 取 BD中点 H,连接 AH,EH. ABAD, AH=DH=BH= BD=2.5. HDA=HAD. DA平分FDB, FDA=HDA. FDA=HAD, AHDF. 点 E是 BC边的中点,点 H是 BD的中点, EHCD,EH= CD=3.5. A,H,E三点共线. AE=AH+EH=2.5+3.5=6. 13.解 (1)DAC的度数不会改变. EA=EC,AED=2C. BAE=90 , BAD= 180 -(90 -2C)=45 +C. DAE=90 -BAD=90 -(45 +C)=45 -C. 由,得DAC=DAE+CAE
8、=45 . (2)设ABC=m , 则BAD= (180 -m )=90 - m ,AEB=180 -n -m , DAE=n -BAD=n -90 + m . EA=EC, CAE= AEB=90 - n - m . DAC=DAE+CAE=n -90 + m +90 - n - m = n . 14.解 (1)D是 AB的中点,E是线段 AC的中点, DE为ABC的中位线,且 CE=AE=a, DEBC,DE= BC. C=90 ,DEC=180 -C=90 . DFDE,EDF=90 , 四边形 DECF为矩形, DE=CF,CF= BC= (BF+CF), CF=BF=b. 则在 RtCEF中,EF= . (2)EF2=AE2+BF2,证明如下, 过点 B作 AC的平行线交 ED的延长线于点 G,连接 FG. BGAC, EAD=GBD,DEA=DGB, D是 AB的中点,AD=BD, 在EAD和GBD中, , , , EADGBD(AAS), ED=GD,AE=BG. 又DFDE, DF是线段 EG的垂直平分线, EF=FG. ACB=90 ,BGAC, GBF=ACB=90 . 在 RtBGF中,由勾股定理得 FG2=BG2+BF2, EF2=AE2+BF2.
