1、课时作业课时作业 19 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 基础夯实 1. (2020 贵州黔西南州)如图,某停车场入口的栏杆 AB,从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位置,已知 AO 的长为 4米.若栏杆的旋转角AOA=,则栏杆 A 端升高的高度为 ( ) A. 米 B.4sin 米 C. 米 D.4cos 米 2.(2020 四川攀枝花)sin 60 = . 3.(2020 山东枣庄)人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若 AB,AC 的长都为 2 m,当 =50 时,人字梯 顶端离地面的高度 AD 是 m.(结果精确到 0.1 m,参考依据:sin 500.77,cos 500.6
2、4,tan 501.19) 4. (2020 天津)如图,A,B两点被池塘隔开,在 AB 外选一点 C,连接 AC,BC.测得 BC=221 m,ACB=45 , ABC=58 .根据测得的数据,求 AB的长(结果取整数).(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60) 5. (2020 甘肃天水)为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所 示,正在执行巡航任务的海监船以每小时 40海里的速度向正东方向航行,在 A 处测得灯塔 P在北偏 东 60 方向上,继续航行 30分钟后到达 B 处,此时测得灯塔 P在北偏东 45 方向上.
3、(1)求APB的度数; (2)已知在灯塔 P 的周围 25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全? (参考数据: 1.414, 1.732) 6. (2020 江苏南京)如图,在港口 A 处的正东方向有两个相距 6 km的观测点 B,C.一艘轮船从 A处出发, 沿北偏东 26 方向航行至 D 处,在 B,C处分别测得ABD=45 ,C=37 .求轮船航行的距离 AD.(参考 数据:sin 260.44,cos 260.90,tan 260.49,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75) 7. (2020 四川宜宾)如图,AB,CD 两楼地面距离 BC为 30
4、 米,楼 AB 高 30米,从楼 AB的顶部点 A测得楼 CD 顶部点 D的仰角为 45度. (1)求CAD 的大小; (2)求楼 CD 的高度(结果保留根号). 8. (2020 四川成都)成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游打卡的 网红地.如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶 D 处测得 塔 A 处的仰角为 45 ,塔底部 B 处的俯角为 22 .已知建筑物的高 CD约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值.(结果精确到 1米;参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40) 基础
5、夯实 9. (2020 四川泸州)如图,为了测量某条河的对岸边 C,D两点间的距离,在河的岸边与 CD 平行的直线 EF 上取两点 A,B,测得BAC=45 ,ABC=37 ,DBF=60 ,量得 AB 长为 70 米.求 C,D 两点间的距离(参 考数据:sin 37 ,cos 37 ,tan 37 ). 10. (2020 辽宁抚顺、本溪、辽阳)如图,我国某海域有 A,B两个港口,相距 80海里,港口 B 在港口 A的东 北方向,点 C处有一艘货船,该货船在港口 A的北偏西 30 方向,在港口 B的北偏西 75 方向,求货船与 港口 A之间的距离.(结果保留根号) 11. (2020 内蒙
6、古包头)如图,一个人骑自行车由 A 地到 C地途经 B 地,当他由 A 地出发时,发现他的北偏 东 45 方向有一电视塔 P,他由 A地向正北方向骑行了 3 km到达 B 地,发现电视塔 P在他北偏东 75 方向,然后他由 B 地向北偏东 15 方向骑行了 6 km到达 C 地. (1)求 A 地与电视塔 P的距离; (2)求 C 地与电视塔 P的距离. 12. (2020 青海)某市为了加快 5G 网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图所示.小军为了 知道发射塔的高度,从地面上的一点 A测得发射塔顶端 P 点的仰角是 45 ,向前走 60 米到达 B点测得 P 点的仰角是 60
7、,测得发射塔底部 Q点的仰角是 30 .请你帮小军计算出信号发射塔 PQ 的高度.(结 果精确到 0.1 米, 1.732) 13.(2020 湖南娄底)如实景图,由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019年 12 月 18日动 工,2020年 2月 28 日竣工,彰显了国企的担当精神,展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成,如示意图所示:引桥一侧的桥墩顶端 E点距地面 5 m,从 E 点处测得 D 点俯 角为 30 ,斜面 ED长为 4 m,水平面 DC 长为 2 m,斜面 BC 的坡度为 14,求处于同一水平面上引桥底 部 AB的长.(结果精确到 0.
8、1 m, 1.41, 1.73) 实景图 示意图 14. (2020 四川广元)如图,公路 MN为东西走向,在点 M北偏东 36.5 方向上,距离 5千米处是学校 A;在点 M 北偏东 45 方向上距离 6 千米处是学校 B.(参考数据:sin 36.50.6,cos 36.50.8,tan 36.50.75) (1)求学校 A,B两点之间的距离; (2)要在公路 MN旁修建一个体育馆 Q,使得 A,B 两所学校到体育馆 Q的距离之和最短,求这个最短距 离. 参考答案 课时作业 19 解直角三角形及其应用 1.B 解析 过点 A作 ACAB于点 C.在 RtOCA中,sin = ,所以 AC=
9、AO sin .由题意得 AO=AO=4,所以 AC=4sin ,因此本题选 B. 2. 解析 sin 60 = . 3.1.5 解析 AB=AC=2 m,ADBC,ADC=90 . AD=AC sin 50 =20.771.5(m). 4.解 如图,过点 A作 ADBC,垂足为 D, ACB=45 ,AD=CD.设 AB=x,在 RtADB中,AD=AB sin 580.85x,BD=AB cos 580.53x. 又BC=221, 即 CD+BD=221, 0.85x+0.53x=221,解得 x160. 答:AB的长约为 160 m. 5.解 (1)作 PHAB交 AB的延长线于点 H,
10、 PAB=90 -60 =30 , PBH=90 -45 =45 APB=PBH-PAB=45 -30 =15 . (2)设 PH=x海里,则 BH=PH=x海里,AB=40 =20海里, 在 RtAPH中, tan 30 = , , 解得 x=10 +1027.3225. 海监船继续向正东方向航行安全. 6.解 如图,过点 D作 DHAC于点 H, 在 RtDCH中,C=37 , CH= .在 RtDBH中,DBH=45 , BH= .BC=CH-BH, =6,解得 DH18. 在 RtDAH中,ADH=26 , AD= 20. 答:轮船航行的距离 AD约为 20 km. 7.解 (1)如图
11、,过点 A作 AECD于点 E,在 RtABC中,BC=30 ,AB=30, tanACB= , ACB=30 , AEBC,ACB=30 =EAC, EAD=45 , CAD=CAE+DAE=75 . (2)在 RtAED中,AE=BC=30 , DAE=45 ,DE=AE=30 . 在 RtACE中,CAE=30 , CE=tan 30 AE=30, CD=CE+DE=30+30 . 答:楼 CD的高为(30+30 )米. 8.解 过 D作 DEAB于 E, 在 RtBDE中 tanBDE= , DE= =152.5(米), ADE是等腰直角三角形, AE=DE=152.5米, DCB=C
12、BE=BED=90 , 四边形 BCDE是矩形, DC=BE=61米, AB=AE+BE=213.5米214米. 答:观景台 AB的高度约为 214米. 9.解 过点 C,D分别作 CMEF,DNEF,垂足为 M,N. 在 RtAMC中,BAC=45 ,AM=MC. 在 RtBMC中, ABC=37 ,tanABC= , BM= CM. AB=70=AM+BM=CM+ CM, CM=30=DN. 在 RtBDN中, DBN=60 , BN= =10 , CD=MN=MB+BN= 30+10 =40+10 . 答:C,D两点间的距离为(40+10 )米. 10.解 过点 A作 ADBC于点 D,
13、根据题意,得ABC=180 -75 -45 =60 . ADBC,ADB=90 , DAB=180 - ADB-ABC=180 -90 -60 =30 . 在 RtABD中,AB=80,ABD=60 , AD=AB sinABD=80 sin 60 =40 . CAB=30 +45 =75 , DAC=CAB-DAB=75 -30 =45 . 在 RtACD中, AD=40 ,DAC=45 , AC= =40 =40 . 答:货船与港口 A之间的距离是 40 海里. 11.解 (1)由题意知A=45 ,NBC=15 ,NBP=75 ,过点 B作 BEAP于点 E,如图, 在 RtABE中, A
14、BE=90 -45 =45 , AE=BE, AB=3 , AE=BE=3. EBP=180 -ABE-NBP=60 , 在 RtBEP中,PE=BE tan 60 =3 , AP=AE+PE=3+3 . (2)BE=3,BEP=90 , EBP=60 , BP= . 又CBP=NBP-NBC=75 -15 =60 ,BC=6, BCP是等边三角形,CP=BP=6. 12.解 PAC=45 ,PCA=90 , AC=PC. PBC=60 ,QBC=30 ,PCA=90 , BPQ=PBQ=30 . BQ=PQ,CQ= BQ. 设 BQ=PQ=x,则 CQ= BQ= x. 根据勾股定理可得 BC
15、= - x, AB+BC=PQ+QC, 即 60+ x=x+ x, 解得 x=60+20 60+201.73294.6. 答:发射塔 PQ的高度约为 94.6米. 13.解 如图,延长 CD,与 AE相交于 F,过点 D,C两点分别作 AB的垂线交 AB于点 G,H,则在 Rt DEF中, DE=4,EDF=30 ,EF=2, DF=DE cos 30 =4 =2 =AG, GH=DC=2, CH=AF=5-2=3. 在 RtBCH中,CHBH=14, BH=12. AB=AG+GH+BH=2 +2+1217.4617.5(m) 答:引桥桥墩底端 A点到起点 B之间的距离为 17.5 m. 1
16、4.解 (1)如图,过点 A作 CDMN,过点 B作 BEMN,连接 AB. 在 RtACM中,CMA=36.5 ,AM=5. sin 36.5 = 0.6, CA=3,MC=4. 在 RtMBE中,NMB=45 ,MB=6 ., sin 45 = , BE=6,ME=6. AD=CD-CA=ME-CA=3,BD=BE-DE=BE-CM=2, 在 RtABD中,AB= . 答:学校 A,B两点距离为 km. (2)作点 B关于 MN的对称点 G,连接 AG交 MN于点 P,连接 PB, 此时 PA+PB=PA+PG=AG,即 A,B两所学校到体育馆 Q的距离之和最短为 AG长. 在 RtADG中,AD=3,DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10,ADG=90 , AG= (km). 答:最短距离为 km.
