1、课时作业课时作业 16 等腰、等边与直角三角形等腰、等边与直角三角形 基础夯实 1.(2020 福建)如图,AD 是等腰三角形 ABC的顶角平分线,BD=5,则 CD 等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 2.(2020 福建)如图,面积为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA的中点,则DEF 的面积 是( ) A.1 B. C. D. 3.(2020 青海)等腰三角形的一个内角为 70 ,则另外两个内角的度数分别是( ) A.55 ,55 B.70 ,40 或 70 ,55 C.70 ,40 D.55 ,55 或 70 ,40 4.(2020 河南)如图
2、,在ABC中,AB=BC= ,BAC=30 ,分别以点 A,C 为圆心,AC的长为半径作弧,两 弧交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD的面积为( ) A.6 B.9 C.6 D.3 5.(2020 山东菏泽)如图,在ABC 中,ACB=90 ,点 D为 AB边的中点,连接 CD,若 BC=4,CD=3,则 cos DCB 的值为 . 6.(2020 北京)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格交点,则ABC 的面积与ABD的面积 的大小关系为 SABC SABD(填“”“=”或“AC,按以下步骤作图:(1)分别以点 A,B 为圆 心,以大于 AB 的长为半径作弧,两弧相交
3、于 M,N两点(点 M在 AB的上方);(2)作直线 MN交 AB于点 O,交 BC于点 D;(3)用圆规在射线 OM 上截取 OE=OD.连接 AD,AE,BE,过点 O作 OFAC,垂足为 F, 交 AD于点 G.下列结论: CD=2GF;BD2-CD2=AC2;SBOE=2SAOG;若 AC=6,OF+OA=9,则四边形 ADBE 的周长为 25. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4 个 10.(2020 内蒙古通辽)如图,在ABC中,ACB=90 ,AC=BC,点 P在斜边 AB 上,以 PC为直角边作等 腰直角三角形 PCQ,PCQ=90 ,则 PA2,P
4、B2,PC2三者之间的数量关系是 . 11.(2020 四川乐山)把两个含 30 角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点 E 为 AD 的中点,连接 BE 交 AC于点 F,则 = . 12.(2020 黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形沿 x轴正半轴滚动并且按一 定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点 A1(0,2)变换到点 A2(6,0),得 到等腰直角三角形;第二次滚动后点 A2变换到点 A3(6,0),得到等腰直角三角形;第三次滚动后点 A3变换到点 A4(10,4 ),得到等腰直角三角形;第四次滚动后点 A4变换到点 A5(10+12
5、 ,0),得到等 腰直角三角形;依此规律则第 2 020 个等腰直角三角形的面积是 . 13.(2020 四川凉山州)如图,点 P,Q分别是等边ABC边 AB,BC上的动点(端点除外),点 P、点 Q 以相 同的速度,同时从点 A、点 B 出发. 图 1 图 2 (1)如图 1,连接 AQ,CP 求证:ABQCAP; (2)如图 1,当点 P,Q分别在 AB,BC 边上运动时,AQ,CP相交于点 M,QMC 的大小是否变化?若变化, 请说明理由;若不变,求出它的度数; (3)如图 2,当点 P,Q在 AB,BC的延长线上运动时,直线 AQ,CP相交于 M,QMC的大小是否变化?若 变化,请说明
6、理由;若不变,求出它的度数. 参考答案 课时作业 16 等腰、等边与直角三角形 1.B 解析 AD是等腰三角形 ABC的顶角平分线,且等腰三角形三线合一,CD=BD=5. 2.D 解析 D,E,F分别是 AB,BC,CA的中点,且ABC是等边三角形, ADFDBEFECDFE, DEF的面积是 . 3.D 解析 当 70 的内角为这个等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角,它们的度数为 - =55 ; 当 70 的内角为这个等腰三角形的底角, 则另两个内角一个为底角,一个为顶角, 底角为 70 ,顶角为 180 -70 -70 =40 . 综上,另外两个内角的度数分别是 55 ,55 或 7
7、0 ,40 ,故 选 D. 4.D 解析 连接 BD交 AC于 O, AD=CD,AB=BC,BD垂直平分 AC, BDAC,AO=CO. AB=BC,ACB=BAC=30 .AC=AD=CD, ACD是等边三角形, DAC=DCA=60 , BAD=BCD=90 , ADB=CDB=30 . AB=BC= ,AD=CD= AB=3,四边形 ABCD的面积=2 3 =3 ,故选 D. 5. 解析 ACB=90 ,BC=4,CD=3,点 D是 AB边的中点,DC=DB, DCB=B,AB=2CD=6, cosDCB=cos B= . 6.= 解析 如下图所示,设小正方形网格的边长为 1, 由网格
8、图可得 SABC= 42=4, SABD=52-S1-S2-S3=10- 15- 13- 22=4, 故有 SABC=SABD. 7.6.18 解析 由作图得ABC为直角三角形,CE=BC= AB=5 cm,AE=AD, AC= =5 (cm), AE=AC-CE=5 -5=5( -1)(cm), AD=AE=5( -1)6.18(cm). 8. 解 (1)如图,BE即为所求作的ABC的角平分线; 过 F的垂线是所求作的线段 DC的垂直平分线. (2)如图,连接 EF. BA=BD,BE平分ABC, AE=DE. 由作图可知 DF=CF EF是DAC的中位线, EFAC,EF= AC. 9.D
9、 解析 由题意知,MN垂直平分 AB, OA=OB,EDAB.OD=OE, 四边形 ADBE是菱形. OFAC,ACB=90 , OFBC,AF=CF,FG是ACD的中位线, CD=2GF,故正确; 四边形 ADBE是菱形,AD=BD. 在 RtACD中,AD2-CD2=AC2, BD2-CD2=AC2,故正确; FG是ACD的中位线, 点 G是 AD的中点,SAOD=2SAOG. SAOD=SBOE, SBOE=2SAOG,故正确; AC=6,AF=3.设 OA=x,则 OF=9-x. OA2=OF2+AF2,x2=(9-x)2+32, 解得 x=5,AB=10,BC=8, BD2-CD2=
10、AC2, BD2-(8-BD)2=62,解得 BD= , 四边形 ADBE的周长为 4=25. 故选 D. 10.PA2+PB2=P 解析 过点 C作 CDAB,交 AB于点 D. ACB为等腰直角三角形,CDAB, CD=AD=DB. PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2= CD2-2CD PD+PD2, PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2= CD2+2CD PD+PD2, PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2), 在 RtPCD中,由勾股定理可得 PC2=CD2+PD2. PA2+PB2=2PC2. CPQ为等腰直角三角形,且PCQ=90 , 2PC2=PQ
11、2,PA2+PB2=PQ2. 11. 解析 连接 CE,设 CD=2x. 在 RtACD和 RtABC中,BAC=CAD=30 , D=60 ,AD=4x,AC= - =2 x, BC= AC= x,AB= - =3x. 点 E为 AD的中点, CE=AE=DE= AD=2x, CED为等边三角形,CED=60 . BAD=BAE+CAD=30 +30 =60 , CED=BAD,ABCE, ABF=CEF,BAF=ECF, ABFCEF, , . 12.22 020(形式可以不同,正确即可) 解析 点 A1(0,2), 第 1个等腰直角三角形的面积 = 22=2.A2(6,0), 第 2个等
12、腰直角三角形的边长为 - =2 . 第 2个等腰直角三角形的面积 = 2 2 =4=2 2. A4(10,4 ), 第 3个等腰直角三角形的边长为 10-6=4, 第 3个等腰直角三角形的面积= 44=8=2 3. 则第 2 020个等腰直角三角形的面积是 22 020. 13.解 (1)证明:三角形 ABC为等边三角形, AB=AC,ABC=CAB=60 . 点 P、点 Q以相同的速度,同时从点 A、点 B出发, BQ=AP. 在ABQ与CAP中, ABQCAP(SAS). (2)角度不变,60 ,理由如下: ABQCAP,CPA=AQB. 在AMP中,AMP=180 -(MAP+CPA)=180 -(MAP+AQB)=ABC=60 , QMC=AMP=60 。 故QMC的度数不变,度数为 60 . (3)角度不变,120 ,理由如下: 当点 P,Q在 AB,BC的延长线上运动时, 有 AP=BQ,BP=CQ, ABC=BCA=60 , CBP=ACQ=120 , 在CBP和ACQ中, CBPACQ(SAS),Q=P. QCM=BCP,QMC=CBP=120 . 故QMC的度数不变,度数为 120 .
