1、 第第二二章章 数列数列 2.5 等比数列的前等比数列的前n项项和和 第一课时第一课时 等比数列的前等比数列的前n项项和和 课前预习目标课前预习目标 课堂互动探究课堂互动探究 自自 学学 导导 引引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程 2能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题. 课课 前前 热热 身身 等比数列前n项和公式 等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn _.当q1时，Sn_. 自 我 校 对 a11qn 1q a1anq 1q na1 名名 师师 讲讲 解解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和 公式结合通项
2、公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题 (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑 公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字 母时，要讨论 (3)当q1时，Sna 11q n 1q a1 1q a1 1qq naaqn(其中a a1 1q )由此可知，若数列an的前n项和Sna(1qn)，且 a0，a1，则数列an是等比数列 2错位相减法 (1)课本上推导等比数列前n项和的方法，即错位相减法， 解决的主要求和问题是：由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题
3、，解此类问题仍需注意公比q是否为1. (2)有些数列求和可先用分组、拆项等方法，转化成每组均 可用公式或错位相减法求和的形式求解 课堂互动探究课堂互动探究 剖析归纳剖析归纳 触类旁通触类旁通 基本运算 一 【例1】 (1)在等比数列an中，S37 2，S6 63 2 ，求an； (2)若q2，S41，求S8. 【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和，求 通项an，可利用等比数列前n项和公式，列方程组求解(2)利 用前n项和求解 典典 例例 剖剖 析析 【解】 (1)由已知S62S3，则q1. 又S37 2，S6 63 2 ， a11q3 1q 7 2， a11q6 1q 63 2
4、 ， 得1q39，q2. 将q2代入，可得a11 2， ana1qn 12n2. (2)解法1：设首项为a1，q2，S41， a 112 4 12 1，得a1 1 15.S8 a11q8 1q 1 1512 8 12 17. 解法2：设首项为a1，S4a 11q 4 1q 1，且q2. S8 a11q8 1q a11q4 1q (1q4)S4(1q4)1(124) 17. 规律技巧 在等比数列an的五个基本量a1，q，an，n，Sn 中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时， 均可以列方程组求解. 错位相减法求数列的和 二 【例2】 已知数列an的首项a1 2 3 ，an1 2
5、an an1 ，n 1,2，. (1)证明：数列 1 an1是等比数列； (2)求数列 n an的前n项和Sn. 【分析】 (1)可如下变形 an1 2an an1 1 an1 1 2 1 an 1 2； (2)用错位相减法求数列的前n项和 【解】 (1)an1 2an an1， 1 an1 an1 2an 1 2 1 2 1 an. 1 an11 1 2( 1 an1) 又a12 3， 1 a11 1 2， 数列 1 an1是以 1 2为首项， 1 2为公比的等比数列 (2)由(1)知 1 an1 1 2 1 2n 1 1 2n， 即 1 an 1 2n1， n an n 2nn. 设Tn1
6、 2 2 22 3 23 n 2n， 则1 2Tn 1 22 2 23 n1 2n n 2n 1， 得 1 2Tn 1 2 1 22 1 2n n 2n 1 1 2 1 1 2n 11 2 n 2n 11 1 2n n 2n 1， Tn2 1 2n 1 n 2n. 又123nnn1 2 ， 数列 n an的前n项和 Sn22n 2n nn1 2 n 2n4 2 n2 2n . 等比数列前n项和公式的应用 三 【例3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 【分析】 通过仔细审题
7、，抓住“在以后每一分钟里，它 上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题 眼”，从而构造出等比数列模型热气球在每分钟里上升的 高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和，利用公式即可 【解】 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得an14 5an，因此，数列an是首项a125，公比q 4 5的等比数 列 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sna1a2an a 11q n 1q 25 1 4 5 n 14 5 125 1 4 5 n 0，y1而求解 易易 错错 探探 究究 求和Sn1aa2an. 【错解】 1，a，a2，an成等比数列，且公比为q
8、 a，Sn11a n 1a 1a n 1a . 【错因分析】 由于字母a没有限制条件，则aR，所以 当a0时，1，a，a2，an不是等比数列，当a0时，才是 等比数列求和时，应分a1和a1两种情况求和，其和共有n 1项，而不是n项 【正解】 (1)当a0时，Sn1. (2)当a0时，1，a，a2，an是等比数列，此时公比q a，共有n1项 当a1时，Sn11a n1 1a 1a n1 1a . 当a1时，Snn1. 又当a0时，Sn1a n1 1a 也成立 Sn n1 a1， 1an 1 1a a1. 随 堂 训 练 1.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6 S33，则 S9 S6( ) A
9、2 B.7 3 C.8 3 D3 解析 S3a1a2a3， 则S6(a1a2a3)(1q3)， S9(a1a2a3)(1q3q6) 由S6 S33，得1q 33，q32. 故S9 S6 1q3q6 1q3 124 12 7 3. 答案 B 2在等比数列an中， (1)已知q2，S41，求S8； (2)a312，S39, 求公比q. 解 (1)S4a 11q 4 1q a 112 4 12 15a11，a1 1 15. S8a 11q 8 1q 1 1512 8 12 17. (2)由a312，S39，得 a1q212， a11qq29， 得 1qq2 q2 3 4. 即q24q40，q2. 3
10、求和Sn1 a 2 a2 3 a3 n an. 解 分a1和a1两种情况 当a1时，Sn123nnn1 2 . 当a1时，Sn1 a 2 a2 3 a3 n an，上式两边同乘以 1 a，得 1 aSn 1 a2 2 a3 n1 an n an 1，两式相减，得 11 a Sn1 a 1 a2 1 an n an 1， 即Snaa n1na1 ana12 . 综上，得Sn nn1 2 a1， aan1na1 ana12 a1. 4设数列an的前n项和为Sn.已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 解 (1)由已知，得a1a24a12， 解得a23a125，故b1a22a13. 又an2Sn2Sn14an12(4an2) 4an14an， 于是an22an12(an12an)，即bn12bn. 因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列 (2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2， 所以an12an32n 1，于是an1 2n 1a n 2n 3 4， 因此数列an 2n是首项为 1 2，公差为 3 4的等差数列， an 2n 1 2(n1) 3 4 3 4n 1 4， 所以an(3n1) 2n 2.
