1、 2021 年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟模拟信息卷模拟信息卷 数学（数学（文文） 测测试时间：试时间：120 分钟分钟 卷面总分：卷面总分：150 分分 注意事项：注意事项： 1. 答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改 动，用橡皮擦干净后动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答
2、非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试写在本试 卷上无效卷上无效. 3. 考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 3 log41Axx，4, 3, 2, 1,0,1B ，则AB （ ） A. 4, 3, 2 B. 4, 3, 2, 1 C. 3, 2, 1 D. 3, 2, 1,0 2. 若1, 2 a bi a bR i ，则23ab（ ） A. 7 2 B. 7 2 C. 13 2 D. 13 2 3. 某学生准备参加某科
3、目考试，在 12 次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试 成绩的众数与中位数分别为（ ） A. 95，94 B. 95，95 C. 93，94.5 D. 95，94.5 4. 已知 4 cos 2021 5 ，0, 2 ，则sin2的值为（ ） A. 24 25 B. 24 25 C. 12 25 D. 12 25 5. 已知抛物线 2 20ypx p的焦点为双曲线 22 1 169 xy 的一个焦点，那么p （ ） A. 5 2 B. 5 C. 10 D. 20 6. 设曲线( )1 a f xx x 在点 1,1f处的切线方程为20 xyb，则a b （ ） A. 0
4、 B. 1 C. -2 D. 2 7. 如图， 在梯形ABCD中，/ABDC，2ABCD，E为线段AD的中点， 且 1 4 BFAB， 则EF （ ） A. 1 2 DCBC B. 1 2 DCBC C. 1 2 DCBC D. 1 2 DCBC 8. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三 视图如图所示（单位：寸） ，今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为R，则 3 R（单位： 寸 3 ）的值约为（ ） A. 2.9 B. 3.0 C. 3.1 D. 3.2 9. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若1,My是角终
5、边上一点，且 tan 27 4 ，则y （ ） A. 1 3 B. 3 C. 1 3 或 3 D. 1 3 或-3 10. 函数( )sin 2 x f x 与函数 1 ( ) 66 x g x x 的图象的交点个数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 11. 已知Q为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右顶点，M为双曲线右支上一点，若点M关于双曲线中 心O的对称点为N，设直线QM，QN的倾斜角分别为，且 1 tantan 4 ，则双曲线的渐近线方 程为（ ） A. 2yx B. 1 2 yx C. 4yx D. 1 4 yx 12. 已知点A，B，C，D在同一个球
6、面上（球的半径为定值） ，ABC是等腰直角三角形，且 2 2ABBC，若四面体ABCD体积的最大值为16 3 ，则该球的表面积为（ ） A. 25 B. 25 4 C. 125 6 D. 9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函数4 log2 a yx（0a且1a ）图象恒过定点M，则点M的坐标为_. 14. 若实数x，y满足约束条件20 20 yx xy y ，则3zxy的最大值与最小值之和为_. 15. 直线l：3450 xy截圆C： 2 2 525xy所得的弦长为_. 16. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2a，且cosbcA
7、a，则bc的取 值范围为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 7a ， 63 48SS. （）求数列 n a的通项公式； （）设 2n nn baa，求数列 n b的前n项和 n T. 18. 如图，三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为 2 的正三角形， 1 ABBB， 1 2BB ，O，D分别 为棱 1 AB， 11 AC的中点. （）求证：/O
8、D平面 11 BCC B （）若平面ABC 平面 11 ABB A，求直线OD到平面 11 BCC B的距离. 19. 某学校制定的分数与分数等级对应关系如表： 分数 0,50 50,90 90,120 120,130 130,140 140,150 分数等级 5 级 4 级 3 级 2 级 1 级 特级 此校三（1）班和三（2）班的各 10 名同学的 4 月数学月考考试分数数据用茎叶图表示如图： （）试根据上面的统计数据，计算三（1）班和三（2）班两个班级的 4 月数学月考的平均成绩； （）试根据上面的统计数据，估计三（1）班分数等级为 3 级的概率； （）从此校三（1）班和三（2）班的各
9、10 名同学共 20 名同学的 4 月数学月考考试成绩中任取 130 分以 上的同学两人，试求这两人分数等级相同的概率. 20. 已知函数( )1 x f xax eaR. （）求函数( )f x的单调区间； （）当1a 时，证明： 2 ( )lnf xxx. 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的右顶点为 2,0，离心率为 2 2 . （）求椭圆C的标准方程； （）过椭圆C的左焦点F且斜率为0k k 的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，问椭圆C 上是否存在点P，使得OPOA OB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分.请考
10、生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标与参数方程 在极坐标系中， 直线l的极坐标方程为tan2R.以极点为原点， 极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，曲线C的参数方程为 2sin 22cos x y （为参数）. （）请写出直线l的参数方程； （）求直线l与曲线C交点P的直角坐标. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )12f xxa x . （）设2a，求不等式( )5f x 的解集 （）设1a ，且 2 ( )2f xmm恒成立，求实数m的取值范围. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一
11、考试 名校联盟名校联盟模拟信息卷模拟信息卷 数学（数学（文文科）试题科）试题参考答案参考答案 一、选择题 1-5：CADAC 6-10：DDBCB 11-12：BA 1.【答案】C 【解析】由题可知， 04341Axxxx ，又4, 3, 2, 1,0,1B ，则 3, 2, 1AB .故选 C. 2.【答案】A 【解析】因为1 2 a bi i ，所以 (2)2 1 (2)(2)55 aiaa ibi ii ，所以 2 1 5 5 a a b ，解得 5 2 1 2 a b .所以 517 2323 222 ab .故选 A. 3.【答案】D 【解析】出现次数最多的数是 95，所以众数为 9
12、5；从小到大排列，中间两数为 94，95，所以中位数为 9495 94.5 2 .故选 D. 4.【答案】A 【解析】 4 cos(2021)cos 5 ， 4 cos 5 .又0, 2 ， 2 2 43 sin1 cos1 55 ， 24 sin22sincos 25 .故选 A. 5.【答案】C 【解析】双曲线 22 1 169 xy 的焦点坐标是5,0，5,0，所以5 2 p ，解得10p .故选 C. 6.【答案】D 【解析】由题得 22 1 ( )11 a fxa xx ，则切线的斜率为 11fa .又 12fa，曲线 ( )1 a f xx x 在点 1,1f处的切线方程为211y
13、aax ，即 1210axya .又切线方程为20 xyb，所以比较系数得 12 21 a ab ，解得 1 1 a b .所以 2ab.故选 D. 7.【答案】D 【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得 3131 1 4242 2 AEABEFADABABBCAF 11111 2 22222 ABBCDCBCDCBC.故选 D. 8.【答案】B 【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成，故其体积 2 1 5.4 1.63 11.611.40.4 2 V ，设球的半径约为R，则 3 4 11.40.4 3 R，得 3 3.0R .故选 B. 9.【答案】C 【解析】因为ta
14、n 27 4 ，得 tan2tan 4 7 1tan2 tan 4 ，即 tan21 7 1tan2 ，解得 3 tan2 4 .所以 2 2tan3 1tan4 ，解得 1 tan 3 或tan3.当 1 tan 3 时， 1 13 y ，解得 1 3 y ；当tan3时， 3 1 y ，解得3y .综上， 1 3 y 或3y .故选 C. 10.【答案】B 【解析】 “函数( )sin 2 x f x 与函数 1 ( ) 66 x g x x 的图象的交点个数”等价于“函数6sin 2 x y 与函数 1 yx x 的图象的交点个数”. 注意到两个函数都是奇函数，故考查当0 x时两函数交点
15、的个数，绘制函数图象如图所示， 当5x 时， 126 6 5 x x ； 当6x时， 1 6x x ，故当0 x时两函数交点的个数为 4. 结合函数的对称性可知函数6sin 2 x y 与函数 1 yx x 交点的个数为 8. 综上可得，函数( )sin 2 x f x 与函数 1 ( ) 66 x g x x 的图象的交点个数为 8.故选 B. 11.【答案】B 【解析】设 00 ,M x y， 00 ,Nxy.因为 1 tantan 4 ，则 1 4 QMQN kk.所以 2 000 22 000 001 4 yyy xaxaxa . 又 22 00 22 1 xy ab ，所以 2 22
16、2 00 2 b yxa a .所以 2 22 0 2 22 0 1 4 b xa a xa .所以 2 2 1 4 b a .所以 1 2 b a . 所以双曲线的渐近线方程为 1 2 yx .故选 B. 12.【答案】A 【解析】如图，因为ABC是等腰直角三角形，且2 2ABBC，所以由勾股定理，得 22 4ACABBC. 设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为d，设当四面体ABCD体积取得最大值16 3 时，点D到平面 ABC距离为h，则 1116 2 22 2 323 h，解得4h. 则数形结合易知 2 22 2 dRh AC dR ， 即 2 22 4 4 2 dR dR ，解得
17、5 2 3 2 R d . 故球的表面积为 2 2 5 4425 2 SR .故选 A. 二、填空题 13.【答案】2,4 【解析】 由对数函数的性质， 令23 1x ， 可知404y ， 此时2x， 所以函数4 log23 a yx （0a且1a ）图象恒过定点2,4M. 14.【答案】2 【解析】画出约束条件20 20 yx xy y ，表示的可行域如下图所示，平移直线30 xy，由图可知，当目 标函数3zxy经过点2, 2M 处取得最小值，且 m i n 3228z ；经过点4, 2N处取 得最大值，且 max 3 4( 2)10z .故 maxmin 1082zz . 15.【答案】8
18、 【解析】根据题意，圆心0,5C到直线l：3450 xy的距离 2 2 3 0455 3 34 d ，圆C： 2 2 525xy的半径5r ，所以直线l：3450 xy截圆C： 2 2 525xy所得的弦长为 2222 22 538lrd. 16.【答案】2,4 【解析】由cosbcAa，2a，得cos2bcA， 由余弦定理得 222 2 2 bca bc bc ，得 222 4bca， 得 22 8bc， 又 2 22 22 bcbc ，得 2 8 22 bc ， 解得4b c . 又2bca ，则24b c . 所以bc的取值范围为2,4. 三、解答题 17.【解析】 （）设等差数列 n
19、a的公差为d. 因为 63 48SS， 所以 456 48aaa. 所以 5 348a ，解得 5 16a . 所以 52 167 3 33 aa d . 所以 2 (2)7(2) 331 n aandnn . （） 2 3 21 31 n n nn baan 3 232 n n ， 所以 2 (532) 3 222 2 n n nn T 2 21 2 37 3 1 22 n nn 2 1 37 3 22 2 n nn 2 1 37 3 26 2 n nn . 18.【解析】 （）连接 1 AB，则 1 AB与 1 AB交于点O.如图所示，连接 1 BC. 显然 11 ABB A为矩形，O，D
20、分别为棱 1 AB， 11 AC的中点， 所以OD为 11 ABC的中位线. 所以 1 / /ODBC. 而OD平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， 所以/OD平面 11 BCC B. （）若平面ABC 平面 11 ABB A，如图，取AB的中点P， 因为ABC是正三角形， 所以CPAB. 因为平面ABC平面 11 ABB AAB，CP平面ABC， 所以CP 平面 11 ABB A， 因为ABC是边长为 2 的正三角形， 1 ABBB， 1 2BB ， 所以 3 23 2 CP . 设直线OD到平面 11 BCC B的距离为h，即点O到平面 11 BCC B的距离为h.
21、 由 111 1 CBOBO BBC VV 三棱锥三棱锥 ，得 1111 2 132 2 3232 h ， 解得 3 2 h . 故直线OD到平面 11 BCC B的距离为 3 2 . 19.【解析】 （）三（1）班的平均成绩为 1 3964629496 121 123 137 138 145 10 x 101.9（分） ， 三（2）班的平均成绩为 2 3365639893 123 126 134 137 142 10 x 101.4（分）. （）根据题中的统计数据，三（1）班的分数依次为 39，62，64，94，96，121，123，137，138，145， 其中，等级为 3 级的有：94，
22、96 共 2 个. 故估计三（1）班分数等级为 3 级的概率为 21 105 . （）设事件A“从此校三（1）班和三（2）班的各 10 名同学的 4 月数学月考考试成绩中任取 130 分以上 的同学两人，这两人分数等级相同”. 三（1）班和三（2）班的统计数据中 130 以上的分数中，三（1）班有 137，138，145 共 3 个，三（2）班 有 134，137，142 共 3 个. 由题意可知，从三（1）班和三（2）班的统计数据中 130 以上的分数中任取两个，共有 15 个结果. 分别记为：137,138，137,145，137,134，137,137，137,142； 138,145，
23、138,134，138,137，138,142； 145,134，145,137，145,142； 134,137，134,142； 137,142； 则两人分数等级相同的为： 137,138，137,134，137,137； 138,134，138,137； 145,142； 134,137共 7 个结果， 由古典概型可得 7 15 P A . 所以从此校三（1）班和三（2）班的各 10 名同学的 4 月数学月考考试成绩中任取 130 分以上的同学两人， 这两人分数等级相同的概率为 7 15 . 20.【解析】 （）( )11 x fxaxe ， 若0a，当0 x时，( )0fx ；当0 x
24、时，( )0fx ；当0 x时，( )0fx ； 所以函数( )f x在,0上单调递减，在0,上单调递增； 同理，若0a，当0 x时，( )0fx ；当0 x时，( )0fx ；当0 x时，( )0fx ； 所以函数( )f x在,0上单调递增，在0,上单调递减； 若0a，则( )0f x 为常量函数，无单调区间. （）当1a 时， 2 ( )lnf xxx等价于 2 1ln x x exx， 因为0 x，所以等价于 1 ln x e x x . 等价于 1 ln0 x e x x . 令 1 ( )ln x e g xx x ， 则 2 (1)1 ( ) x xe g x x . 因为0 x
25、，所以10 x e . 所以当01x时，( )0g x ； 当1x 时，( )0g x . 所以函数( )g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增. 所以 ( )110g xge ，即 1 ln0 x e x x . 所以不等式得证. 21.【解析】 （）设椭圆C的半焦距为c. 因为椭圆C的右顶点为 2,0，所以2a . 因为椭圆C的离心率为 2 2 ， 所以 2 2 c a ，即 2 22 c ，解得1c. 所以 22 1bac. 故椭圆C的标准方程是 2 2 1 2 x y. （）设点 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y， 设直线l的方程为1yk x. 联立
26、2 2 (1) 1 2 yk x x y ， 消去y可得 2222 124210kxk xk， 故 2 880k ， 2 12 2 4 12 k xx k . 则 1212 ,OPOAOBxxyy 1212 ,2xx k xx 2 22 42 , 1 21 2 kk kk . 则点 2 22 42 , 1 21 2 kk P kk . 又点P在椭圆上， 则有 2 2 2 22 42 22 1212 kk kk ， 整理得 4 41k ，解得 2 2 k . 所以椭圆上存在点P，使得OPOA OB，此时直线l的方程为 2 (1) 2 yx . 22.【解析】 （）直线l的极坐标方程为tan2R，
27、以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平 面直角坐标系， 则直线l的直角坐标方程为2yx（2 分） 设直线l的倾斜角为，则tan2 0 2 ， 2 5 sin 5 ， 5 cos 5 ， 则直线l的参数方程为 5 5 2 5 5 xt yt （t为参数）. （）又曲线C的参数方程为 2sin 22cos x y （为参数）. 2sin 22cos x y ， 则曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy， 联立解方程组得 0 0 x y 或 8 5 16 5 x y . 故点P的直角坐标为0,0与 8 16 , 55 . 23.【解析】 （）当2a时，( )5f x ， 即为1225xx . 当2x时，( )5f x ， 即为(1)2(2)5xx，解得 8 3 x ； 当21x 时，( )5f x 即为(1)2(2)5xx， 解得0 x.所以01x； 当1x 时，( )5f x 即为(1)2(2)5xx， 解得 2 3 x ，所以1x . 综上，( )5f x 的解集为 8 ,0, 3 . （）当1a 时，( )12123f xxxxx ， 若 2 ( )2f xmm恒成立，则 2 32mm， 解得13m . 即实数m的取值范围是1,3.
