1、 数学( 理科) “ 一诊” 参考答案第 页( 共页) 成都市 级高中毕业班第一次诊断性检测 数学( 理科) 参考答案及评分意见 第卷( 选择题, 共 分) 一、 选择题: ( 每小题分, 共 分) B; D; A; B; A; B; C; C; D; A; D; C 第卷( 非选择题, 共 分) 二、 填空题: ( 每小题分, 共 分) ; ; ; , ( 第一空分, 第二空分) 三、 解答题: ( 共 分) 解: () t a n BMC , t a n BMA 分 t a nA t a n( A BM BMA) t a n(A BM BMA), 分 t a nA t a n A BMt
2、a n BMA t a n A BMt a n BMA 分 A ,A 分 () t a n BMA , t a n A BM , s i n BMA , s i n A BM 在A BM中, 由正弦定理, 得 A B s i n BMA BM s i nA A BBM s i n BMA s i nA 分 A B M的面积SA B M B MA Bs i n A B M 分 点M在边A C上,CMMA, A B C的面积SA B CSA BM 分 解: () 由题中列联表, 可得 ( ) 分 有 的把握认为“ 网红乡土直播员” 与性别有关系 分 数学( 理科) “ 一诊” 参考答案第 页( 共
3、页) () 在“ 网红乡土直播员” 中按分层抽样的方法抽取人, 男性人数为 人; 女性人数为 人 分 由题, 随机变量所有可能的取值为, , P( ) C C C ,P( ) C C C ,P( ) C C C 分 的分布列为 P 分 的数学期望E( ) 分 解: () 在长方体A B C DABCD中, 四边形B C CB是矩形 连接ME E,M分别为棱C C,B B的中点, 且B B,BC, 四边形ME CB是正方形 CMBE 分 N,M分别为棱A A,B B的中点, NM平面B C CB 又BE平面B C CB,NMBE分 NMCMM,NM,CM平面NMC,BE平面CMN BE平面BDE
4、,平面BDE平面CMN 分 () 易知直线A F平面ABCD,A F 平面A FM 平面A FM平面ABCDl, A Fl 直线l与平面BDE所成的角, 即直线A F 与平面BDE所成的角分 以D为坐标原点,DA , D C , DD 的方向分别 为x轴, y轴,z轴的正方向, 建立如图所示的 空间直角坐标系D x y z 则D( ,) ,A(,) ,F(,) ,D(,) , B(,) ,E(,) DB (,) ,DE (,) ,A F ( ,) 分 设平面BDE的一个法向量m( x,y,z) 数学( 理科) “ 一诊” 参考答案第 页( 共页) 由 mDB mDE , 得 xy yz , 即
5、 xy yz 令z, 得m( ,) 分 设直线l与平面BDE所成角为 s i n | mA F |m| |A F | 分 直线l与平面BDE所成角的正弦值 分 解: ()f(x)(x)e x a xa x,a R, f ( x)(x)e x a xa(x) (e x a) 分 当a时, 令f ( x), 得xf(x)在 (,)上单调递减; 令f ( x), 得x,f(x)在 (,)上单调递增 分 当ae时, 令f ( x), 得l naxf(x)在 (l na,)上单调递减; 令f ( x), 得xl na或xf(x)在 (,l na)和 (,)上单调递增 分 当ae时,f ( x)在x R时
6、恒成立,f(x)在R单调递增 分 当ae时, 令f ( x), 得xl naf(x)在 (,l na)上单调递减; 令f ( x), 得xl na或xf(x)在 (,)和 (l na,)上单调递增 分 综上所述, 当a时, f(x)在 (,)上单调递减, 在 (,)上单调递增; 当ae时, f(x) 在 (l na,) 上单调递减, 在 (,l na) 和 (,) 上单调递增; 当ae时, f(x)在R上单调递增; 当ae时, f(x)在 (,l na)上单调递减, 在 (,)和 (l na,)上单调递增 分 () 不等式f( x)(x)e x a x a xa, 等价于 (x)e x a(x
7、) 当x时,e, 则a R 分 当x(,)时,a ( x)e x x 设函数g( x) ( x)e x x , 则g ( x)x( x)e x ( x) 当x(, )时, g ( x), 此时g(x)单调递减; 当x( , )时,g ( x), 此时g(x)单调递增 g(x)m i ng( ) e a e 分 当x(,)时,a ( x)e x x 数学( 理科) “ 一诊” 参考答案第 页( 共页) 设函数h( x) ( x)e x x , 则h ( x)x( x)e x ( x) 当x(, )时,h ( x), 此时h(x)单调递减; 当x( ,)时,h ( x), 此时h(x)单调递增 h
8、(x)m a xh(); a 分 综上,a的取值范围为 ( , e ) 分 解: ()椭圆的离心率为 , c a ( c为半焦距) 直线 x a y b 与圆xy相切, a b 分 又c b a , a ,b 椭圆C的方程为x y 分 ()M为线段A B的中点,S S S AOM SBO P | OM| |O P| ( i) 当直线l的斜率不存在时, 由O AO B及椭圆的对称性, 不妨设O A所在直线的方 程为yx, 得x A 则x M,x P, S S | OM| |O P| 分 ( i i) 当直线l的斜率存在时, 设直线l:yk xm(m) ,A(x,y) ,B(x,y) 由 yk x
9、m x y , 消去y, 得 (k )xk mxm k m (k ) (m)( k m ) , 即k m xx k m k , xx m k 分 点O在以A B为直径的圆上,O A O B , 即xxyy xxyy(k ) xxk m(xx)m (k ) m k k m( k m k )m 化简, 得mk 经检验满足成立 分 线段A B的中点M( k m k , m k ) 当k时,m此时S S m 分 当k时, 射线OM所在的直线方程为y k x 由 y k x x y , 消去y, 得x P k k , y P k 数学( 理科) “ 一诊” 参考答案第 页( 共页) | OM| |O P
10、| yM yP m (k ) 分 S S m (k ) ( k ),S S ( , ) 分 综上, S S 的取值范围为 , 分 解: () 由曲线C的参数方程, 得 (x) ( y) ( s i nc o s) ( s i nc o s) (s i nc o s) (s i nc o s) , 曲线C的普通方程为 (x) (y) 分 由s i n( ) , 得s i nc o s c o sx, s i n y,直线l的直角坐标方程为xy 分 () 设直线l的参数方程为 x t y t ( t为参数,t R) 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程, 整理得 t t() 分 因, 设t ,t
11、是方程() 的两个实数根, 则有 tt ,tt 分 | |P A| |P B| | | |t| | t| | |tt| 分 解: ()|x| |xm|xxm| |m|, 当且仅当( x) (xm)时,f(x) 取得最小值| m| 又f( x) |x| |xm|的最小值为,|m| 分 m,m 分 f(x)xm, 等价于|x| x 当x时, 所求不等式等价于x 解得x, 符合题意; 当x时, 所求不等式等价于x解得x, 与条件矛盾; 当x时, 所求不等式等价于x 解得x , 符合题意 综上, 原不等式的解集为 ( ,)( ,)分 ()m,a b c m a b c a c (b c )( a cb c) 分 a cb c 当且仅当abc时,a cb c取得最大值 分
