1、 1 一元一次方程一元一次方程全章复习与巩固全章复习与巩固（提高）知识讲解（提高）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3会根据实际问题列方程解应用题 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 知识点一、知识点一、一元一次方程的一元一次方程的概念概念 1 1方程：方程：含有未知数的等式叫做方程 2 2一元一次方程：一元一次方程：只含有一个未知数（元） ，未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程 要点诠释：要点诠释： （1）一元一次方程变形后总可以化
2、为 ax+b0(a0)的形式，它是一元一次方程的标准形式 （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为 1； 未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 3 3方程的解：方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解 4解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程 知识点二、知识点二、等式的性质与去括号法则等式的性质与去括号法则 1等式的性质等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 2合并法则：合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的
3、系数，字母和字母的指数保持不变 2 3去括号法则：去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反 知识点三知识点三、一元一次方程的解法一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 axb(a0)的形式 (5)系数化为
4、1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值 不相等，则不是方程的解 知识点四知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.1.行程问题：行程问题：路程速度时间 2.2.和差倍分问题：和差倍分问题：增长量原有量增长率 3.3.利润问题：利润问题：商品利润商品售价商品进价 4.4.工程问题：工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量 5.5.银行存贷款问题：银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金利率期数 6.6.数字问题：数字问
5、题：多位数的表示方法：例如： 32 101010abcdabcd . 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、一元一次方程的相关概念一元一次方程的相关概念 1已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m 是关于 x 的一元一次方程，求 m 和 x 的值 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，系 数不为 0，则这个方程是一元一次方程 【答案与解析】 解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m 是关于 x 的一元一次方程， 所以 3m-40 且 5-3m0 由 3m-40 解得 4 3 m ，又 4 3 m 能使 5-3m0，
6、所以 m 的值是 4 3 将 4 3 m 代入原方程，则原方程变为 48 53 33 x ，解得 8 3 x 所以 4 3 m ， 8 3 x 【总结升华】 解答这类问题， 一定要严格按照一元一次方程的定义 方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m-2m2 是关于 x 的一元一次方程，就是说 x 的二次项系数 3m-40，而 x 的一次项系数 5-3m0，m 的值必须同 时符合这两个条件 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：一元一次方程复习一元一次方程复习 393349 393349 等式和方程等式和方程例例 3 3】 【变式】下面方程变形中，错在哪里： (1)方程 2x=2y 两
7、边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-y, 得 1=-1. 3 （2） 3721 2 23 xx x ，去分母，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x. 【答案】 （1）答：错在第二步，方程两边都除以 x-y. （2）答：错在第一步，去分母时 2x项没乘以公分母 6. 2. 如果 5(x+2)2a+3 与 (31)(53) 35 axax 的解相同，那么 a 的值是_ 【答案】 7 11 【解析】 由 5(x+2)2a+3，解得 27 5 a x 由 (31)(5
8、3) 35 axax ，解得 9 5 xa 所以 279 55 a a ，解得 7 11 a 【总结升华】因为两方程的解相同，可把 a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关 于 a 的一元一次方程 举一反三：举一反三： 【变式】已知|x+1|+(y+2x)20，则 y x _ 【答案】1 类型二、一元一次方程的解法类型二、一元一次方程的解法 3解方程： 4621 1 32 xx 【答案与解析】 解：去分母，得：2(4-6x)-63(2x+1) 去括号，得：8-12x-66x+3 移项，合并同类项，得：-18x1 系数化为 1，得： 1 18 x 【总结升华】转化思想是初中数学中一
9、种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将 生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将 复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解 举一反三：举一反三： 【变式 1】解方程 2675225 4436 zzzz z 【答案】 解：把方程两边含有分母的项化整为零，得 2675225 44443366 zzzz z 移项，合并同类项得： 11 22 z ，系数化为 1 得：z1 【高清课堂：【高清课堂：一元一次方程复习一元一次方程复习 393349393349 解解方程方程例例 1 1（2 2） 】 4 【变式 2】解方程： 0.10.050
10、.20.055 0 0.20.54 xx . 【答案】 解：把方程可化为： 0.520.55 0 254 xx ， 再去分母得：232x 解得：16x 4解方程 32x-1-3(2x-1)+35 【答案与解析】 解：把 2x-1 看做一个整体去括号，得： 3(2x-1)-9(2x-1)-95 合并同类项，得-6(2x-1)14 系数化为 1 得： 7 21 3 x ，解得 2 3 x 【总结升华】 把题目中的 2x-1 看作一个整体， 从而简化了计算过程 本题也可以考虑换元法： 设 2x-1 a，则原方程化为 3a-(3a+3)5 类型三、特殊的一元一次方程的解法类型三、特殊的一元一次方程的解
11、法 1解含字母系数的方程解含字母系数的方程 5.解关于x的方程： 11 ()(2 ) 34 m xnxm 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数 x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的 解的情况与 x 的系数和常数的取值都有关系 【答案与解析】 解：原方程可化为：(43)462 (23)mxmnmmn 当 3 4 m 时，原方程有唯一解： 46 43 mnm x m ； 当 33 , 42 mn 时，原方程无数个解； 当 33 , 42 mn 时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式axb，再分类讨论进行求解，注意最后的 解不能合并，只能分情况说明 2
12、解含绝对值的方程解含绝对值的方程 6. 解方程|x-2|3 【答案与解析】 解：当 x-20 时，原方程可化为 x-23，得 x5 当 x-20 时，原方程可化为-(x-2)3，得 x-1 所以 x5 和 x-1 都是方程|x-2|3 的解 【总结升华】如图所示，可以看出点-1 与 5 到点 2 的距离均为 3，所以|x-2|3 的意义为在数轴上到 点 2 的距离等于 3 的点对应的数，即方程|x-2|3 的解为 x-1 和 x5 5 举一反三：举一反三： 【变式 1】若关于x的方程230 xm无解，340 xn只有一个解，450 xk有两个 解， 则, ,m n k的大小关系为： ( ) A
13、. mnk B.nkm C.kmn D.mkn 【答案】A 【变式 2】若9x是方程 1 2 3 xm的解，则_m ；又若当1n 时，则方程 1 2 3 xn的解 是 【答案】1； 9 或 3 类型四、一元一次方程的应用类型四、一元一次方程的应用 7李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟； 若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站， 求李伟此时骑摩托车的速度应是多少? 【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变 【答案与解析】 解：设李伟从家到火车
14、站的路程为 y 千米，则有： 1515 30601860 yy ，解得： 45 2 y 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为 45 15 2 1 3060 (小时) 李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为 x 千米/时, 则有： 45 2 27 1010 11 6060 y x (千米/时) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是 27 千米/时 【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接 设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法 8. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司 7
15、0 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：门票每 人 60 元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆 60 元，十一座车 每人 10 元公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少 辆? 【答案与解析】 解：设四座车租 x 辆，十一座车租 704 11 x 辆，依题意得： 6 7 04 7 06 06 01 11 04 9 2 0 1 1 x x 解得：x1， 704 6 11 x 答：公司租用的四座车和十一座车分别是 1 辆和 6 辆。 【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为 4920 元”中挖掘两个等量关 系构建方程求解。 举一反三：举一反三： 【变式】某商品进价 2000 元，标价 4000 元，商店要求以利润率不低于 20%的售价打折出售，售货员 最低可以打几折出售此商品？ 【答案】 解：设售货员最低可以打x折出售此商品，得： 40002000(120%)x 解得：0.6x 答：售货员最低可以打六折出售此商品
