1、第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积向量的数量积 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解平面向量的数量积的定 义.(数学抽象) 2了解投影向量的概念.(直观 想象) 3了解向量的数量积与实数的 乘法的区别.(数学运算) 4掌握向量数量积的性质及其 运算律
2、.(逻辑推理) 1对于向量的学习，关键是用好类比， 即类比数的运算以及类比物理中矢量的 运算. 2物理中功的模型有助于我们更好地理 解向量的数量积运算. 3在研究向量的数量积运算时，类似于 数的乘法运算中经常要关注0一样，要特 别重视零向量的特殊性. 4向量的投影是高维空间到低维空间的 一种线性变换，得到的是低维空间向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 向量的数量积 知识点1 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上任意一点，作OA a， OB
3、b，则AOB(_)叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)性质：当 _时，a 与 b 同向；当 _时，a 与 b 反向. (3)向量垂直：如果 a 与 b 的夹角是_，我们说 a 与 b 垂直，记作 _. 0 0 ab 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2向量的数量积 条件 非零向量a与b，它们的夹角为 结论 数量_叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作a b，即a b_ 规定 零向量与任一向量的数量积为_ |a|b|cos |a|b|cos 0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 3向量 a 在 b 上的投影向量
4、 (1)设 a，b 是两个非零向量，AB a，CD b，我们 考虑如下的变换：过AB 的起点 A 和终点 B，分别作CD 所 在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1 ，我们称 上 述 变 换 为 向 量 a 向 向 量 b 投 影 ， A1B1 叫 做 _的投影向量. 向量a在向量b上 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)在平面内任取一点 O，作OM a，ON b，过点 M 作直线 ON 的 垂线，垂足为 M1，则OM1 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量，且OM1 _. |a|cos e 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJ
5、A） 知识解读 (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它 的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值 决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数 的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向 量，则 (1)a ee a_. (2)ab_. (3)当a，b同向时，a b_；当a，b反向时，a b _.特别地，a a_或|a|_. (4)
6、|a b|_. (5)cos _. 向量的数量积的性质及运算律 知识点2 |a|cos a b0 |a|b| |a|b| |a|2 |a|b| a a a b |a|b| 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数，有 (1)a b_(交换律). (2)(a) b_(结合律). (3)(ab) c_(分配律). b a (a b) a (b) a cb c 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 向量数量积的性质及其应用 性质(1)表明任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量 e上的投影向量的
7、长度. 性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. 性质(3)表明，当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的 模的平方，因此可用于求向量的模. 性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题. 性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角， 也称为夹角公式. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，试求： a b； (ab) (ab)； (2ab) (a3b). 题型探究题型探究 题型一题型一 平面向量
8、的数量积 典典例例 1 (2)(2020 福建省龙岩一中月考)在边长为 1 的正三角形 ABC 中， 设BC 2BD ，CA 3CE ，则AD BE _. 1 4 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 (1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可. (2) 向量线性运算 的几何意义 将AD ，BE 用AB ， AC 表示出来 将AD BE 转化为 AB ，AC 间的运算 解析 (1)a b|a|b|cos120 23(1 2)3 (ab) (ab)a2a ba bb2a2b2|a|2|b|2495 (2ab) (a3b)2a26a ba b3b22|a|25
9、a b3|b|224 533934 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)由已知得AD 1 2(AB AC )，AE 2 3AC ，BE BA AE 2 3AC AB ， 所以AD BE 1 2(AB AC ) (2 3AC AB )1 2( 2 3|AC |2|AB |21 3AB AC )1 2 (2 31 1 3cos 60 ) 1 4. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a b |a|b|cos . 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定
10、两个向量的夹角，条 件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投 影向量，可利用数量积的几何意义求a b. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知向量 a，b 满足|a|1，a b1，则 a (2a b) ( ) A4 B3 C2 D0 (2)在等腰直角三角形 ABC 中， ABBC4， 则AB BC _， BC CA _，CA AB _. B 0 16 16 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)a (2ab)2a2a b2|
11、a|2a b. |a|1，a b1， 原式21213 故选 B (2)由题意，得|AB |4，|BC |4，|CA |4 2，所以AB BC 44cos 90 0，BC CA 44 2cos 135 16，CA AB 4 24cos 135 16 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 灵活应用a2|a|2求向量的模. 题型二题型二 利用数量积解决求模问题 典典例例 2 (1)已知向量 a，b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1，则|a2b| _. (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45 ，且|a|1，|2ab| 10，求|b|. 2 3 返回导航 第六章 平面
12、向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60 (2|b|)222 2221 22 244412，所以|a2b| 122 3. (2)因为|2ab| 10，所以(2ab)210， 所以 4a24a bb210， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45 且|a|1， 所以 41241|b| 2 2 |b|210， 整理得|b|22 2|b|60， 解得|b| 2或|b|3 2(舍去). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要 掌握此类问题的处理方法： (
13、1)aa a|a|2或|a| a a. (2)|a b| a b2 a2b2 2a b. 2向量夹角公式 cosa，b a b |a|b|的计算中涉及了向量运算和数 量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结 果准确无误. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知单位向量 e1，e2的夹角为 ，且 cos1 3， 若向量 a3e12e2，则|a|_. (2)已知向量 a，b 的夹角为 120 ，|a|4，|b|3，则|a3b|_. 3 解析 (1)因为 a2(3e12e2)29232cos49，所以|a| 3 (2)|a3b|
14、 a3b2 a26a b9b2 42643cos120 99 133. 133 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)已知向量a，b满足(a2b) (ab)6，且|a|1，|b| 2，则a与b的夹角为_. (2)已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma 3b，求当m为何值时，c与d垂直？ 分析 (1)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解. (2)根据两向量垂直的充要条件建立关于m的方程进行求解. 题型三题型三 两向量的夹角和垂直问题 典典例例 3 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设 a 与 b
15、 的夹角为 ， 依题意有： (a2b) (ab)a2a b 2b272cos 6，所以 cos 1 2，因为 0，故 3. (2)由已知得 a b32cos 60 3 由 cd，得 c d0，即 c d(3a5b) (ma3b) 3ma2(5m9)a b15b2 27m3(5m9)6042m870， 所以 m29 14，即 m 29 14时，c 与 d 垂直. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1求向量夹角的方法 (1)求出 a b，|a|，|b|，代入公式 cos a b |a|b|求解. (2)用同一个量表示 a b，|a|，|b|代入公式求解. (3
16、)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角. 2要注意夹角 的范围 0，当 cos 0 时， 0， 2 ；当 cos 0 时， 2， ，当 cos 0 时， 2. 3当两向量垂直时，利用 a b0 列方程(组)可求未知数. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知|a|1，|b| 2，且 ab 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是_. (2)已知|a|3，|b|4，且(a2b) (2ab)4，则 a 与 b 的夹角 的 取值范围是_. 3 4 2 3 ， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)(ab) aa2a
17、b0，a ba21， cos a b |a|b| 1 1 2 2 2 ，又 0，3 4 . (2)(a2b) (2ab)2a2a b4a b2b2 293|a|b|cos 21614334cos 4， cos 1 2， 2 3 ，. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 忽略向量共线的情形致错 设两个向量 e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1与 e2的夹角为 3， 若向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为 _. (7， 14 2 )( 14 2 ，1 2) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（
18、必修第二册RJA） 错解 由向量 2te17e2与 e1te2的夹角 为钝角，得 cos2te 17e2 e1te2 |2te17e2|e1te2| 0， (2te17e2) (e1te2)0， 化简得 2t215t70解得7t1 2. t(7，1 2). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 由两个向量夹角的定义知， 两个非零向量 a 与 b 的夹角 的取值范围是0，它包括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情况. 特别地，当向量 a 与 b 同向时，0；当向量 a 与 b 垂直时， 2；当 向量 a 与 b 反向时，.在具体解题时，要根据题意排除不符合的情况.
19、 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 设向量 2te17e2与 e1te2的夹角为 ，则 cos 2te 17e2 e1te2 |2te17e2|e1te2| 0，即(2te17e2) (e1te2)0， 化简得 2t215t70解得7t1 2. 当 2te17e2与 e1te2的夹角为 时，也有 cos 0，但此时夹角不 是钝角. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 设 2te17e2(e1te2)，0， 因为 e1，e2不共线， 所以 2t， 7t， 0 且 cos 1，即 a b0 且 a 与 b 方向不同， 即 a b120，且 amb(m0)，解得 (，2)(2，1 2).
