1、 2020202020212021 年度河南省高三质量检测年度河南省高三质量检测( (五五) ) 数学数学( (文科文科) ) 考生须知： 1 本试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟. 2 答题前，考生先将自己的“姓名” 、 “考号” 、 “考场” 、 “座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准 确粘贴在条形码区域内. 3 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案 无效. 4 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚. 5 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使
2、用涂改液、刮纸刀. 第第 I I 卷卷 一、一、选择题选择题: :本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合 2 45 ,4Ax xxBx x，则AB （ ） A 02xx B 5 2 3 xx C 5 3 x x D22xx 2.已知复数 2 1 2 1 2 i zi i ，则z的共轭复数z=（ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 3. 若向区域 ,01,01Dx yxy内随机投点,则该点落在区域 22 1
3、, 4 x y xy 内的概率 为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 4. 若, x y满足约束条件 220 10 20 xy xy y ，则4zxy的最大值为（ ） A2 B4 C. 6 D8 5. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直是科学、艺术、哲学灵感 的源泉之一.如图,该几何体是一个棱长为2的正八面体,则此正八面体的体积与表面积之比为（ ） A 6 18 B 6 9 C. 6 12 D 6 3 6.已知0,，且 2 cos22coscos，则sin（ ） A 2 3 B 2 3 C. 1 3 D 2 2 3 7. 设O为坐标原点,直线xa与双
4、曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的两条渐近线分别交于,D E两点. 若C的焦距为4,则ODE面积的最大值为（ ） A1 B2 C. 3 D4 8. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是（ ） A4 B5 C. 6 D7 9. 已知,A B分别为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右顶点,P Q是椭圆上的不同两点且关于工轴对称, 设直线,AP BQ的斜率分别为,m n,若 1 4 mn ,则该椭圆的离心率为（ ） A 6 3 B 2 2 C. 3 2 D 2 3 10. 已知函数 sin0, 2 f xx 的部分图象如图所示,则（ ） A 3 B 6
5、C. 2342019 0? 0 66666 ffffff D 2342019 0 66666 fffff 11.已知二次函数 f x满足 121f xf xx，且 11f ，对任意 12 1xx ， 12 12 12 f xf x m xx xx 成立，则m的取值范围为（ ） A2, 1 B2, 1 C. 4, 1 D4, 1 12. 设函数 ln x f x x ,若存在 1 ,a be e ,使得 f x在, a b上的值域为,ka kb,则实数k的取值 范围为（ ） A 2 11 , 2ee B 2 1 ,1 e C. 11 , 2e e D 1 ,1 2e 第第 IIII 卷卷 二二、
6、填空题填空题: :本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. . 13. 已知平面向量1,1, 3ambm，且a ba，则m 14. 定义在R上的奇函数 f x在0,上是减函数, 32()0f mfmf若,则m的取值范围 为 15. 在ABC中,角, ,A B C所对的边分别为, , , sin4sin 4 a b c AcAC ,若此三角形有两解,则b的取 值范围是 16. 如图,在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,若 2,/ /, 3 PAADADBCDABADCPC 与平面
7、ABCD所成角的正切值为 2 3 3 ,则四棱锥 PABCD外接球的表面积为 三三. .解答题解答题: :本大本大 6 6 小题小题，共共 7070 分分. . 解答应写出必要的文字说明、解答应写出必要的文字说明、证明证明过程或演算步骤过程或演算步骤.17.17- -2121 题为必题为必考考题题. .每个每个试题考生都必须作答，第试题考生都必须作答，第 2222，2323 题题为选考题为选考题, ,考生根据要求作答考生根据要求作答. . 一必考题：共必考题：共 6060 分分 17. 为了解某农场的种植情况,该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测,将测得的水果重量分成 15.5,16.
8、516.5,17.5 , 17.5,18.518.5,19.519.5,20.5 , 20.5,21.5， 六组进行统计,得到如图所示 的统计图. 1估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替); 2从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个,求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率. 18. 已知数列 n a的首项为 1 2 ,且满足 * 1 112, nn nanannN . 1求 n a的通项公式; 2已知 1 nn n ba na ,求数列 n b的前n项和 n S 19. 如图,在四面体ABCD中,ABD是等边三角形,且ACBC. 1证明:ABCD .
9、 2若2,3,ABACBCCD ,求点B到平面ACD的距离. 20.已知动点M到点3,0F的距离比它到直线:50l x的距离小2 1求动点M的轨迹E的方程 2过点F作斜率为0k k 的直线 l与轨迹E交于点,A B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，证 明： AB FN 为定值 21. 已知函数 lnf xaxx. 1讨论函数 f x的单调性; 2若不等式 1 x f xexe对1,x恒成立,求a的取值范围. ( (二二) )选考题选考题: :共共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计则按所
10、做的第一题计 分分. . 22.选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 12 32 xt yt （t为参数） ，曲线C的方程为 22 420 xxy ，以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 1求直线l和曲线C的极坐标方程; 2若射线02aan与曲线C相切于点M(点M位于第一象限),且与直线l相交于点N,求 MN. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知正实数, ,a b c满足abbcacabc. 1证明：9abc 2证明： 222 1 bca abc 2020202020212021 年度河南省高三质量检测年度河南省高三质量检测( (五五) ) 数学参
11、考答案数学参考答案( (文科文科) ) 1.B 5 45,22 3 Ax xxx xBxx 5 2 3 ABxx 2.B 21 225 1 21 21 21 1 21 21 25 iiii ziiii iii 则1zi 3.C 区域D的面积为1 11 ,在区域D中,满足 22 1 4 xy的面积为 2 11 4216 则所求概率 16 P 4.C 作出不等式组表示的可行域(图略),当直线4yxz 过点2, 2时,z取得最大值6 5.B 正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥,由勾股定理求得斜高,再由棱锥的体积公式即可求解. 由边长为2,可得正八面体上半部分的斜高为 2 213 ,高为3 12
12、 ,则其体积为 2 228 2 2 33 ，其表面积为 2 3 828 3 4 ,所以此正八面体的体积与表面积之比为 6 9 6.D 由 2 cos22coscos，得 2 3cos2cos10 ， 解得 1 coscos1 3 或 又因为0, 所以 1 cos 3 则 2 2 2 sin1 cos 3 7.B 不妨设D在第象限,E在第四象限,联立方程组 xa b yx a 解得 xa yb 故,D a b，同理可得,E ab 所以 1 2 ,2 2 ODE EDb Sabab 因为C的焦距为4 所以 222 2,2ccabab 解得2ab 当且仅当2ab时取等号 所以 ODE S的最大值为2
13、 8.C 按照程序框图执行程序,输入 3 1,1,1 10sns ,不满足100s 循环; 3 2,028ns,不满足100s ,循环; 3 3,8319ns ,不满足100s ,循环; 3 4,19445ns ，不满足100s 循环; 3 5,45580ns ,不满足100s ,循环; 3 6,806136ns ,满足100s ,输出6n 9.C 设 00 ,P xy，则 2 000 00 22 000 , yyy Q xymnmn xaxaxa 又因为 2 222 00 2 b yxa a 所以 222 22 13 , 42 bab mne aa 10.D 由函数图象可知 7 41234
14、T 即 2 2T 将 7 , 1 12 代入得 773 sin 212, 1262 kkZ 2, 3 kkZ 又 2 3 sin 2 3 f xx sin 633 nn f 是以6为最小正周期的周期函数 则 232343453 sin,sin0,sin,sin 6326632632 ffff 5673 sin20,sin 6632 ff 2342019 +? +0 66666 fffff 11.A设二次函数 2 0f xaxbxc a 则 2 2 1112f xa xb xcaxab xabc 又 121f xf xx 22 221axab xabcaxbxc 22 1 abb abcc 解得
15、 1 2 a b 11f 1abc 2c 2 22f xxx 12 12 12 f xf x m xx xx 22 1122 f xmxf xmx 12 1xx 函数 2 f xmx在1, 上单调递增 令 22 122g xf xmxm xx 当1m 时， 22g xx满足题意 当1m 时 10 2 1 2 1 m m 解得21m 综上，m的取值范围为2, 1 12.A 1 ln x fx x f x在 1 ,e e 上单调递增 又 f x在, a b上的值域为,ka kb ln la f aka a f bkb b 则 2 ln x k x 在 1 ,e e 上有两个不同解 令 23 ln1
16、1 2ln , xx h xxehx xex 则 h x在 1 , e e 上单调递增，在, e e 上单调递减 又 2 2 111 , 2 he h ehe eee 2 11 , 2 k ee 13. 4 3 由a ba 所以 2 131mmm 则 4 0 3 mm 或舍去 14.3,由题可知函数 f x在R上单调递减,且 00f, 320f mfmf可化为 2()3f mfm, 则23mm,解得3,m 即m的取值范围为3, 15. 4,4 2 由sin4sincAC可得4a 由正弦定理可得 4 =4 2 sinsin sin 4 ba BA 即sin 4 2 b B 又三角形有俩解 所以只
17、需 sin1 ba B 即44 2b 16. 8连接AC,则PCA为PA与平面ABC所成角, 即 2 3 3 tan PCA, 所以3AC 因为/ /, 3 ADBCDABADC , 所以四边形ABCD为等腰梯形,且可求得1,CDACCD, 所以底面ABCD外接圆的半径为1,且四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点, 四棱锥PABCD外接球的半径 22 112R , 故该四棱锥外接球的表面积 2 48SR 17.解： 1设该农场的水果重量的平均数为x,则 1 16 2 17 5 18 14 19 1320 421 218.45 40 x 2重量不小于19.5克的水果有6个,记为, , , ,
18、,a b c d E F， 其中重量不小于20.5克的水果有2个,记为,.E F 从, , , , ,a b c d E F，中任取2个，有 ,a ba ca da Ea Fb cb db Eb Fc d ,c Ec Fd Ed FE F，共15种情况 至少有1个水果的重量不小于20.5克的有 ,a Ea Fb Eb Fc Ec Fd Ed FE F，共9种情况 则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率 93 155 P 18.解： 1由 1 11 nn nana 得 1 1 1 n n an an 又 1 1 2 a 所以当2n时， 1232 1 12321 12321 1143 nnn
19、 n nnn aaaaannn aa aaaaannn 11 21n n 又1n 也满足上式 所以 1 1 n a n n 111 21 1 nn n ban nann 所以 2111111111 1? 22334412 n nn S nn 2 13 1 12 nn n 2 3 21 nnn n 19. 1证明:取AB的中点E,连接,CE DE(图略), 因为ABD是等边三角形, 所以.DEAB 又ACBC, 所以CEAB 又DECEE, 所以AB 平面CDE,故.ABCD 2解:因为2,3,BDABBCACBCCD 所以 22 1CDBDBC 又2AD , 所以 222 ACCDAD, 即.
20、ACCD 则 3 2 ACD S 由题可得 22 22 2,3 22 ABAB CEACDEAD 则 222 CDCEDE, 即CECD, 则 2 2 ECD S 设点B到平面ACD的距离为d 因为AB 平面, B ACDB ECDA ECD CDE VVV 所以 11 33 ACDECD SdSAB , 即 1312 2 3232 d. 解得 2 6 3 d 即点B到平面ACD的距离为 2 6 3 20. 1解:由题意知,动点M到点3,0F的距离与到直线 1: 30lx距离相等， 由抛物线的定义知,轨迹E是以3,0F为焦点,以直线 1: 30lx为准线的抛物线. 所以点M的轨迹E的方程为 2
21、 12yx 2证明:设直线:3lxty 联立 2 3 12 xty yx 得 2 12360yty 设 1122 ,A x yB xyG为线段AB的中点， 则 2 121212 12 ,6126yyt xxt yyt, 所以 2 ,(66 )3Gtt， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 2 663ytt xt , 则 2 69,0Nt 从而 22 69366FNtt 2 12 61212ABxxt 所以2 AB FN 为定值. 21.解： 1函数 lnf xaxxd 定义域为0,，且 1 aax fx xx 若0a ，则当0 xa时， 0fx 函数 f x在0,a上单调递增 当xa时， 0fx
22、 ， 函数 f x在, a 上单调递减 若 0,0 ax afx x ， 函数 f x在0,上单调递减 2不等式 1 x f xexe在1,上恒成立 即ln0 x axeex恒成立 设 ln, xx a g xaxeex gxee x 令 h xgx 则 2 x a hxe x 当0a 时， 0gx 恒成立 所以 g x单调递增 所以 10g xg 即0a 符合题意 当0a 时， 0hx 恒成立 所以 gx单调递增 又因为 1 ln 10, ln lnln aea a gageaa eaea 0 所以存在 0 1,lnxea 使得 0 10gxg 即0a 不符合题意 综上，a的取值范围为0,
23、22.解: 1消去t可得:40l xy 将cos ,sinxy代入普通方程， 可得直线l的极坐标方程为cossin40 曲线C的极坐标方程为 2 4cossin40 2在极坐标系中,联立 2 4cos20 可得 2 4cos20 因为射线与曲线C相切, 所以 2 44 20cos , 即 2 cos 2 ,又点M位于第一象限, 即 4 所以2OM 联立4 cossin40 解得2 2, 即2 2ON 所以2MNONOM 23.证明： 1因为abbcacabc 所以 111 1 abc 所以 111 332 abaccbab abcabc abcbacabcca 229 accb cabc 当且仅当abc时取等号 所以9abc 222222222 1111112 211 bcabcabca abcabcabcabbccaa 22 1 1 bc 当且仅当abc时取等号 即 222 1 bca aac
