1、 江西省吉安市江西省吉安市 20182018- -20192019 学年高一数学上学期期末质量检测试题（含学年高一数学上学期期末质量检测试题（含 解析）解析） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.下列集合中与2，3是同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用集合相等的定义直接求解 【详解】与2，3是同一集合的是3，2 故选：D 【点睛】本题考查同一集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【
2、分析】 根据函数 f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可 【详解】函数， ， 解得 x0 且 x1， f（x）的定义域为（0，1）（1，+） 故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题 3.在ABC中，A=30，a=4，b=5，那么满足条件的ABC（ ） A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理 a 2=b2+c2-2bccosA 的式子，代入题中数据化简得 c2-5 c+9=0，由根的判别式与 韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC 有两个解 【详解】在ABC 中，
3、A=30，a=4，b=5， 由余弦定理 a 2=b2+c2-2bccosA，得 16=25+c 2-10ccos30，得 c2-5 c+9=0（*） =（5） 2-419=390，且两根之和、两根之积都为正数， 方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边 c 满足题中的条件， 由此可得满足条件的ABC 有两个解 故选：C 【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数着重考查了利 用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题 4.已知角 是第四象限角，且满足，则 tan（-）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利
4、用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可 【详解】由， 得-cos+3cos=1，即， 角 是第四象限角， tan（-）=-tan= 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础 题 5.已知 tan=3，则=（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可 【详解】tan=3， 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题 6.已知向量，向量，若向量 在向量 方向上的投影为，则实数x等 于（ ） A. 3 B.
5、 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向投影的概念列式：可求得 x=-3 【 详 解 】 ， ， 向 量在 向 量方 向 上 的 投 影 为 ,解得 x=-3， 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 7.若f（x）=2sin2x的最小正周期为T，将函数f（x）的图象向左平移，所得图象对应的 函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的周期的公式得：T=，由函数图象的平移得：g （x） =2sin2（x+ ）=-2sin2x， 得解 【详解】由 f（x）=2sin2x 可得：此函数的最小正周期为 T=， 将函数
6、 f（x）的图象向左平移， 所得图象对应的函数为 g（x）=2sin2（x+ ）=-2sin2x， 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的周期、函数图象的平移，属简单题 8.已知，b=log827，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可以得出，并且，从而得出 a，b，c 的大小关系 【详解】，log25log231，； abc 故选：D 【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，对数的换底公式，以及增函数和减函数的定义 9.已知向量满足，则=（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的模即可求出 【
7、详解】， ， 即 14=9+16+， =-11 =9+16+11=36， ， 故选：C 【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题 10.已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ） A. B. C. 1 D. 或 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义与性质，即可求出 m 的值 【详解】函数 f（x）=（3m 2-2m）xm是幂函数， 则 3m 2-2m=1，解得 m=1 或 m=- ， 又 f（x）为增函数， 则 m=1 满足条件， 即 m 的值为 1 故选：C 【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题 11.设正实数a，b满足 3 a=7b，下面成
8、立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 3 a=7b=t， （t0） ，则 a=log 3t，b=log7t，从而 =log7tlogt3=log73，根据对数函数的单调 性即可比较 与 和 1 的大小. 【详解】正实数 a，b 满足 3 a=7b， 设 3 a=7b=t， （t0） ，则 a=log 3t，b=log7t， =log7tlogt3=log73， 故选：B 【点睛】本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 12.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）且满足 f（1+x）=-f（3-x） ，且
9、f（1）0，若函数 g（x） =x 6+f（1）cos4x-3 有且只有唯一的零点，则 f（2018）+f（2019）=（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由 f（1+x）=-f（3-x）变形可得 f（x）=-f（4-x） ，由函数的奇偶性可得 f（x） =-f（-x） ，综合可得-f（-x）=-f（4-x） ，即 f（x）=f（x+4） ，即函数 f（x）为周期为 4 的 周期函数，据此可得 f（2）=f（-2） ，且 f（-2）=-f（2） ，分析可得 f（2）=-f（-2）=0；对 于 g（x）=x 6+f（1）cos4x-3，由函数奇偶性的
10、定义可得函数 g（x）为偶函数，结合函数零点 个数分析可得 g（0）=f（1）-3=0，则 f（1）=3，结合 f（x）的周期性可得 f（2018）与 f （2019）的值，相加即可得答案 【详解】根据题意，函数 f（x）且满足 f（1+x）=-f（3-x） ，则有 f（x）=-f（4-x） ， 又由 f（x）为奇函数，则有 f（x）=-f（-x） ， 则有-f（-x）=-f（4-x） ，即 f（x）=f（x+4） ， 即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， 则有 f（2）=f（-2） ，且 f（-2）=-f（2） ， 分析可得 f（2）=-f（-2）=0， 对于 g（x）=x 6+f（1
11、）cos4x-3， 有 g（-x）=（-x） 6+f（1）cos4（-x）-3=x6+f（1）cos4x-3=g（x） ， 即函数 g（x）为偶函数， 若函数 g（x）=x 6+f（1）cos4x-3 有且只有唯一的零点， 则必有 g（0）=f（1）-3=0，则 f（1）=3， f（2018）=f（2+2016）=f（2）=0， f（2019）=f（3+2016）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-3， 则 f（2018）+f（2019）=-3； 故选：C 【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，关键是求出 f（1） 的值，属于综合题 二、填空题（本大题共二、填空题（
12、本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知集合A=2，3，6，则集合A的真子集的个数是_ 【答案】7 【解析】 【分析】 根据含有 n 个元素的有限集合的真子集有个，容易得出集合 A 的真子集个数为个， 得到结果 【详解】因为集合 A 中有 3 个元素，所以集合 A 的真子集有个， 故答案为：7 【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组合的概念及组合数公式 14.已知函数，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 推导出 f（ 2）= ，从而 ff（ 2）=f（-）=sin ，由此能求出结果 【详解】函数， f（ 2）= ， ff（ 2）=f（-）=sin =-si
13、n =-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15.已知是定义在上的偶函数，则a+b等于_ 【答案】0 【解析】 【分析】 根据题意，由偶函数的定义域的性质可得 b+2+b=0，解可得 b=-1，进而可得 f（-x）=f（x） ， 即（a-1） （-x） 3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得 a 的值，将 a、b 的值相加即可得答案 【详解】根据题意，已知 f（x）=（a-1）x 3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数， 有 b+2+b=0，解可得 b=-1， 则 f（x）=（a-1）x 3-x2， 若 f（x）为-1，
14、1上的偶函数，则有 f（-x）=f（x） ， 即（a-1） （-x） 3-（-x）2=（a-1）x3-x2， 分析可得：a=1， 则 a+b=0； 故答案为：0 【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义 16.已知向量，若， 则 与 的夹角为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由向量共线的运算得： =（sin125，cos125） （0） ，由平面向量数量积及 其夹角、两角和差的正弦 cos=-sin200=cos70，由 0，180， 即可得解 【详解】因为， 又， 则不妨设=（sin125，cos125） （0） ， 设与的夹角为 ，则 cos=-sin200=
15、cos70，由 0，180， 所以 =70， 故答案为：70 【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知全集U=R，A=x|2x10，集合B是函数的定义域 （1）求集合B； （2）求AUB 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）求函数 y 的定义域即可得出集合 B； （2）根据补集与交集的定义，计算即可 【详解】 （1）由函数，则， 解得， 集合 B=x|x-3 或 3x6； （2）由全集 U=R， UB=x|-3x3 或 x6， 又 A=x|2x10， A
16、UB=x|2x3 或 6x10 【点睛】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题 18.已知函数 （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）设，f（x）的最小值是，最大值是 3，求实数m，n的值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）利用边角公式结合辅助角公式进行化简，结合单调性的性质进行求解即可； （2）求出角的范围，结合函数的单调性和最值关系建立方程进行求解即可 【详解】 （1） = sin2x+m（2cos 2x-1）+n =m（ sin2x+cos2x）+n =msin（2x+ ）+n， m0， 由 2k+ 2x+ 2k+，kZ， 即 k+xk+，kZ， 即
17、函数的单调递减区间为k+，k+，kZ （2）当时，2x+ ， 则-sin（2x+ ）1， f（x）的最小值是，最大值是 3， f（x）的最大值为 m+n=3，最小值为m+n=1-， 得 m=2，n=1 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为 f （x）=Asin（x+）是解决本题的关键 19.设是两个不共线的非零向量 （1）设，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线； （2）若，且 与 的夹角为 60，那么实数x为何值时的值最小？最小值 为多少？ 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）由 A，B，C 三点共线知：存在实数 使=+（1-
18、），代入， 可得 =，t=； （2）=|cos60=， |-2x| 2=2+4x22-4x =2+16x 2-4 =16x 2-4 +4，利用二次函数求最值可 得 【详解】 （1）由A，B，C三点共线知：存在实数 使=+（1-）， 则 （ + ）=（ - ）+（1-）t 则 = ，t= ， （2） =| | |cos60=， | -2x| 2=2+4x22-4x =2+16x 2-4 =16x 2-4 +4， 当x=-=时，| -2x|的最小值为 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 20.已知函数f（x）=（xR） （1）证明：当a3 时，f（x）在R上是减函数； （2）
19、若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由分段函数的解析式依次分析 f（x）的两段函数的单调性以及最值，结合函 数单调性的定义分析可得答案； （2）根据题意，函数的解析式变形可得 f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函数 f（x）存在两个 零点，即函数 f（x）=3|x-1|与函数 y=ax 有 2 个不同的交点，结合函数 y=3|x-1|的图象分析 可得答案 【详解】 （1）证明：根据题意，函数 f（x）= ， 若 a3，则当 x1 时，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）0， 此时 f（x）为减函数，且 f（x
20、）f（1）=-a， 当 x1 时，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）0， 此时 f（x）为减函数，且 f（x）f（1）=-a， 故当 a3 时，f（x）为减函数； （2）根据题意，f（x）= =3|x-1|-a， 若函数 f（x）存在两个零点， 即函数 f（x）=3|x-1|与函数 y=ax 有 2 个不同的交点， 则有 0a3， 即 a 的取值范围为（0，3） 【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，涉及分段函数的单调性，属于基础题 21.已知在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（cos，sin） ，B（2，0） ，C（0， 2） ，（0，） （1）若，求 的值； （2）
21、若，求的值 【答案】 （1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）先求出和，然后根据向量模的坐标公式列式可解得 tan=1，再得 =； （2）根据=-可得 sin2=-，再根据原式=sin2=- 【详解】 （1）=（2-cos，-sin） ，=（-cos，2-cos） ， 由|=|得| 2=| | 2， 5-4cos=5-4sin，即 tan=1， 又 （0，） ，= （2）=（2-cos） （-cos）+（-sin） （2-sin） =cos 2-2cos+sin2-2sin =2-2（sin+cos）=- ， sin+cos= ，sin2=（sin+cos） 2-1=- ， =sin2=
22、- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及三角函数化简求值问题，属中档 题 22.已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数且 f（-2）=-3，当 x0 时，f（x）=a x-1，其中 a0 且 a1 （1）求的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）已知 g（x）=log2x，若对任意的x11，4，存在使得 f（mx1）+1g（x2） （其中 m0）成立，求实数m的取值范围 【答案】 （1）0； （2）； （3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案； （2）根据题意，由函数的奇偶性可得 f（2）=3，结合函数的解析式可得 f（2）=a 2-
23、1=3，解 可得 a=2，解可得当 x0 时，f（x）=2 x-1，当 x0 时，结合函数的奇偶性与解析式分析可 得 f（x）=-f（-x）=-2 -x+1，综合可得答案； （3）根据题意，由函数的解析式分析可得 x11，4时，f（mx1）的取值范围和当 时，g（x2）的取值范围，结合题意可得 2 m ，解可得 m 的取值范围，即可得答案 【详解】 （1）根据题意，f（x）为奇函数，即有f（x）+f（-x）=0， 则=0， （2）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，则f（2）=3， 又由当x0 时，f（x）=a x-1，则 f（2）=a 2-1=3，解可得 a=2， 则当x0 时，f（x）=2 x-1， 当x0 时，-x0，f（-x）=2 -x-1， 则f（x）=-f（-x）=-2 -x+1， 故f（x）=； （3）任意的x11，4，当m0，有mx10，则f（mx1）+1=， 则有 2 mf（mx 1）+12 4m， 当时，则g（x2）=log2x2，则有 g（m）1+log23， 若对任意的x11，4，存在使得f（mx1）+1g（x2） ， 则有 2 m ，解可得 mlog23-1， 即m的取值范围为log23-1，+） 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值问题，属于基础题
