1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”10 17在ABC中，角、 、ABC所对的边分别为a bc、 、， 2 sincossin2 sinbCAaAcB； （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）若D为BC边上的点，2BDDC，且2ADBACD ，3a ，求b的值 18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，/BC AD，且 222,ADABBC 90 ,BADPAD为等边三角形， 平面ABCD 平面PAD； 点EM、分别为PD PC、 的中点 （1）证明：/CE平面PAB； （2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值 19已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）的离
2、心率为 3 2 ，且经过点 3 1, 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）过点3,0作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q 使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 20已知函数( ) ln2f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）函数 ( )f x在区间( ,1)()k kkN 上有零点，求k的值； 21某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带 动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展” 三轮驱动的理想结构快速转变
3、下表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数y（万人） 与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数 y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程50.8169.7yx； 模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 bx yae的附近 （1）根据表中数据，求模型的回归方程 bx yae （a精确到个位，b精确到 001） （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 2 R
4、，并选择拟合精度更高、更可靠的 模型，预测 2021 年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位） 回归方程 50.8169.7yx bx yae 10 2 1 () ii i yy 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： 对于一组数据 1122 , nn v wv wv w，其回归直线w v 的斜率和截距的最 小二乘法估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ww vv wv vv 刻画回归效果的相关指数 2 21 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy 参考数据： 5.46 235e ， 1.43 4.2e x y u 10
5、 2 1 () i i xx 10 1 ii i xxyy 10 1 ii i xxuu 55 449 605 83 4195 900 表中 10 1 1 ln, 10 iii i uy uu 22在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos , 2sin , x y （为参数） ，已知点 (4,0)Q，点P是曲线 1 C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线l：y kx 与曲线 2 C交于,A B两点，若 3OAAB ，求k的值. 23已知函数( )1 21f xaxx （1）
6、当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 2020 届高三数学（理） “大题精练”10（答案解析） 17在ABC中，角、 、ABC所对的边分别为a bc、 、， 2 sincossin2 sinbCAaAcB； （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）若D为BC边上的点，2BDDC，且2ADBACD ，3a ，求b的值 【解】 （1）2 sin cossin2 sinbCAaAcB，由正弦定理得： 2 2cos2bcAacb ， 由余弦定理得： 222 2 22 2 bca bcabc bc ； 化简得： 2
7、2 2bcbc ,所以 2 0bc即bc， 故ABC为等腰三角形 （2）如图， 由已知得2BD ，1DC ， 2,ADBACDACDDAC ACDDAC， 1ADCD， 又coscosADBADC， 222222 22 ADBDABADCDAC AD BDAD CD ， 即 222222 1211 2 2 12 1 1 cb ， 得 22 29bc，由（1）可知bc，得3b 解法二：取BC的中点E，连接AE由（1）知,ABACAEBC， 由已知得 31 ,1, 22 ECDCED， 2,ADBACDACDDAC ACDDAC， 2 22 13 1 22 AEADDE ， 2 2 22 33 3
8、 22 bACAEEC 解法三：由已知可得 1 1 3 CDa，由（1）知，,ABACBC ， 又2DACADBCCCC ， CABCDA， 即 CBCA CACD ，即 3 1 b b ， 3b 18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，/BC AD，且 222,ADABBC 90 ,BADPAD为等边三角形， 平面ABCD 平面PAD； 点EM、分别为PD PC、 的中点 （1）证明：/CE平面PAB； （2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值 【解】 （1）设PA的中点为N，连接,EN BN， E为PD的中点，所以EN为PAD的中位线， 则可得/EN AD，且 1 2 ENA
9、D； 在梯形ABCD中，/BC AD，且 1 2 BCAD， /,BC EN BCEN， 所以四边形ENBC是平行四边形， /CE BN，又BN 平面PAB，CE 平面PAB， /CE平面PAB 法二：设O为AD的中点，连接,CO OE， E为PD的中点， 所以OE是ADP的中位线，所以/OE AP， 又OE 平面PAB，AP 平面PAB， /OE平面PAB， 又在梯形ABCD中，/BC AD，且 1 2 BCAD， 所以四边形BAOC是平行四边形， /BC BA， 又OC 平面PAB，AB平面PAB， /OC平面PAB， 又OEOCO， 所以平面/OEC平面PAB， 又CE 平面PAB， /
10、CE平面PAB （2）设AD的中点为O，又,PAPDPOAD 因为平面PAD 平面ABCD，交线为AD，PO平面PAD， PO平面ABCD， 又由/CO BA，90BAD， COAD 即有,OA OC OP两两垂直，如图，以点O为原点，OA为x轴，OP为y轴，OC为z轴 建立坐标系 已知点 3 13 1 1,0,0 ,1,0,1 ,0,1,0,0 ,0,0,1 ,1, 2222 ABMDABAM ， 设平面ABM的法向量为：, ,mx y z 则有 0 31 0 22 m ABz m AMxyz ，可得平面ABM的一个法向量为 3,2,0m ， 3 1 1, 22 DM ， 可得： 2 2 2
11、 222 31 3 120 42 22 cos , 7 31 3201 22 m DM m DM mDM ， 所以直线DM与平面ABM所成角的正弦值为 42 7 19已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）的离心率为 3 2 ，且经过点 3 1, 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）过点3,0作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q 使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【解】(1)由题意可得 3c 2a ， 22 13 1 a4b ，又 222 abc， 解得 2 a4， 2 b1 . 所以，椭圆C的方程为
12、 2 2 x y1 4 (2)存在定点 4 3 Q,0 3 ，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称. 设直线l的方程为xmy30， 与椭圆C联立， 整理得， 22 4my2 3my 10 . 设 22 B x ,y， 1 1 x x y y1 2 ，定点Q t,0.(依题意 12 tx ,tx ) 则由韦达定理可得， 12 2 2 3m yy 4m ， 12 2 1 y y 4m . 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数. 所以， 12 12 yy 0 xtxt ，即得 1221 yxtyxt0. 又 11 xmy30， 22 xmy30， 所以， 1221 y3
13、myty3myt0， 整理得， 1212 3tyy2my y0. 从而可得， 22 2 3m1 3t2m0 4m4m ， 即2m 43t0， 所以， 当 4 3 t 3 ， 即 4 3 Q,0 3 时， 直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立. 特别地， 当直线l为x轴时， 4 3 Q,0 3 也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点 4 3 Q,0 3 ， 满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称. 20已知函数( ) ln2f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）函数 ( )f x在区间( ,1)()k kkN 上有零点，求k的值； （3）若不等式 ()(1) ( )
14、 xm x f x x 对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合 【解】 （1） 1 ( )1fx x ，所以切线斜率为( )01 f ， 又(1)1f ，切点为(1, 1)，所以切线方程为1y （2）令 1 ( )1fx x ，得 1x ， 当01x时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递减； 当1x 时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递增， 所以 ( )f x的极小值为(1)10f ，又 2222 1111 ()ln20 eeee f， 所以 ( )f x在区间(0,1)上存在一个零点 1 x，此时 0k ； 因为 (3)3ln321 ln30f ， (4)4ln4222ln
15、22(1 ln2)0f ， 所以 ( )f x在区间(3,4)上存在一个零点 2 x，此时 3k 综上，k的值为 0 或 3 （3）当1x 时，不等式为(1)10g 显然恒成立，此时mR； 当01x时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， 令 ln ( ) 1 xxx g x x ，则 22 ln2( ) ( ) (1)(1) xxf x g x xx ， 由（2）可知，函数 ( )f x在(0,1)上单调递减，且存在一个零点 1 x， 此时 111 ( )ln20f xxx，即 11 ln2xx 所以当 1 0 xx时，( )0f x ，即(
16、 )0g x，函数( )g x单调递增； 当 1 1xx时，( )0f x ，即( )0g x，函数( )g x单调递减 所以( )g x有极大值即最大值 111111 11 11 ln(2) () 11 xxxx xx g xx xx ，于是 1 mx 当1x 时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， 由（2）可知，函数 ( )f x在(3,4)上单调递增，且存在一个零点 2 x，同理可得 2 mx 综上可知 12 xmx 又因为 12 (0,1), (3,4)xx，所以正整数m的取值集合为1,2,3 21某景区的各景点从 2009 年取消门
17、票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带 动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展” 三轮驱动的理想结构快速转变下表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数y（万人） 与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数 y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程50.8169.7yx； 模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 bx y
18、ae的附近 （1）根据表中数据，求模型的回归方程 bx yae （a精确到个位，b精确到 001） （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 2 R ，并选择拟合精度更高、更可靠的 模型，预测 2021 年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位） 回归方程 50.8169.7yx bx yae 10 2 1 () ii i yy 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： 对于一组数据 1122 , nn v wv wv w，其回归直线w v 的斜率和截距的最 小二乘法估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ww vv wv vv 刻画回归效果的
19、相关指数 2 21 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy 参考数据： 5.46 235e ， 1.43 4.2e x y u 10 2 1 () i i xx 10 1 ii i xxyy 10 1 ii i xxuu 55 449 605 83 4195 900 表中 10 1 1 ln, 10 iii i uy uu 【解】 （1）对 bx yae取对数，得lnlnybxa， 设lnuy，lnca，先建立u关于x的线性回归方程， 10 1 10 2 1 9.00 0.108 83 ii i i i xxuu b xx ， 6.050.108 5.55.4565.
20、46cubx 5.46 235 c aee 模型的回归方程为 0.11 235 x ye （2）由表格中的数据，有 3040714607，即 1010 22 11 3040714607 ()() ii ii yyyy ， 即 1010 22 11 3040714607 11 ()() ii ii yyyy ， 22 12 RR 模型的相关指数 2 1 R小于模型的 2 2 R，说明回归模型的拟合效果更好. 2021 年时，13x ，预测旅游人数为 0.11 131.43 235235235 4.2987yee （万人） 22在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos , 2s
21、in , x y （为参数） ，已知点 (4,0)Q，点P是曲线 1 C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线l：y kx 与曲线 2 C交于,A B两点，若 3OAAB ，求k的值. 【解】 （1）设2cos ,2sinP，,M x y.且点4,0Q，由点M为PQ的中点，所以 2cos4 2, 2 2sin , 2 xcos ysin 整理得 2 2 21xy.即 22 430 xyx， 化为极坐标方程为 2 4 cos30. （2）设直线l：y kx 的极坐标方程为.设 1, A ， 2,
22、B ，因为 3OAAB ， 所以4 3OAOB ，即 12 43. 联立 2 430, , cos 整理得 2 4cos30 . 则 12 12 12 4, 3, 43, cos 解得 7 cos 8 . 所以 22 2 115 tan1 cos49 k ，则 15 7 k . 23已知函数( )1 21f xaxx （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 【解】 （1）当1a 时， 121f xxx ，即 3 ,1 1 2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x ， 解法一： 作函数
23、121f xxx 的图象， 它与直线3y 的交点为1,3 ,1,3AB ， 所以， 3f x 的解集的解集为, 11, 解法 2：原不等式 3f x 等价于 1 33 x x 或 1 1 2 23 x x 或 1 2 33 x x ， 解得：1x或无解或1x ， 所以， 3f x 的解集为, 11, （2） 1 1 02,2 0,20 2 aaa a 则 1 2, 11 12122, 2 1 2, 2 ax x a f xaxxaxx a ax x 所以函数 f x在 1 , a 上单调递减，在 1 1 , 2a 上单调递减，在 1 , 2 上单调递 增 所以当 1 2 x 时， f x取得最小值， min 1 1 22 a f xf 因为对xR ， 3 2 f x a 恒成立， 所以 min 3 1 22 a f x a 又因为0a ， 所以 2 230aa ， 解得1a （3a不合题意） 所以a的最小值为 1
