1、 - 1 - 高中数学必修高中数学必修 4 知识点总结知识点总结 第一章：三角函数第一章：三角函数 1.1.1、任意角、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： Zkk,2. 1.1.2、弧度制、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 2、 r l . 3、弧长公式：R Rn l 180 . 4、扇形面积公式：lR Rn S 2 1 360 2 . 1.2.1、任意、任意角的三角函数角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么： x y xytan,cos,sin 2、 设点,A x y为角终边上任意
2、一点，那么： （设 22 rxy） sin y r ，cos x r ，tan y x ，cot x y 3、 sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：正弦线：MP; MP; 余弦线：余弦线：OM; OM; 正切线：正切线：ATAT 4、 特殊角 0，30，45，60， 90，180，270 等的三角函数值. 0 6 4 3 2 2 3 3 4 3 2 2 sin cos tan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cossin 22 . 2、 商数关系： cos sin tan. 3、 倒数关系：tancot1 1.3
3、1.3、三角函数的诱导公式、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”Zk ） T M A O P x y - 2 - 1、 诱导公式一： .tan2tan ,cos2cos ,sin2sin k k k （其中：Zk ） 2、 诱导公式二： .tantan ,coscos ,sinsin 3、诱导公式三： .tantan ,coscos ,sinsin 4、诱导公式四： .tantan ,coscos ,sinsin 5、诱导公式五： .sin 2 cos ,cos 2 sin 6、诱导公式六： .sin 2 cos ,cos 2 sin 1.4.11.4.
4、1、正弦、余弦函数的图象和性质、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sinyx在0,2 x上的五个关键点为： 3 0 010-120 22 （ ， ）（ ， ， ）（ ， ， ）（ ，）（ ， ， ） . 1.4.31.4.3、正切函数的图象与性质、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x 1
5、-1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x - 2 - y=tanx 3 2 2 -3 2 - - 2 o y x 2、记住余切函数的图象： y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数 xf，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 xfTxf，那么函数 xf就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. 2 图表归纳：图表归纳：正弦、余弦、正切函数的正弦、余
6、弦、正切函数的图像及其图像及其性质性质 xysin xycos xytan 图象图象 定义域定义域 R R , 2 |Zkkxx 值域值域 -1,1 -1,1 R 最值最值 max min 2,1 2 2,1 2 xkkZy xkkZy 时， 时， max min 2,1 2,1 xkkZy xkkZy 时， 时， 无 周期周期性性 2T 2T T 奇偶奇偶性性 奇 偶 奇 单调性单调性 Zk 在2 ,2 22 kk 上单调递增 在 3 2,2 22 kk 上单调递减 在2,2kk上单调递增 在2,2kk上单调递减 在( ,) 22 kk 上单调递 增 对称性对称性 Zk 对称轴方程： 2 x
7、k 对称中心(,0)k 对称轴方程：xk 对称中心(,0) 2 k 无对称轴 对称中心,0)( 2 k 1.51.5、函数、函数xAysin的图象的图象 1、对于函数： sin0,0yAxB A有： 振幅 A， 周期 2 T ， 初相， 相位x， 频率 2 1 T f. 2、能够讲出函数xysin的图象与 sinyAxB的图象之间的平移伸缩变换关系. 先平移后伸缩：先平移后伸缩： sinyx 平移| |个单位 s i nyx （左加右减） 横坐标不变 s i nyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 3 纵坐标不变 sinyAx 横坐标变为原来的 1 | 倍 平移|B个单位 sinyAxB （上加下
8、减） 先伸缩后平移：先伸缩后平移： sinyx 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 sinyAx 横坐标变为原来的 1 | 倍 平移 个单位 s i nyAx （左加右减） 平移|B个单位 sinyAxB （上加下减） 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0)的周期 2 | T ； 函数tan()yx，, 2 xkkZ (A,为常数，且 A0)的周期 | T . 对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. .
9、求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心，只需令只需令() 2 xkkZ 与与 ()xkkZ 解出解出x即可即可. .余弦函数可与正弦函数类比可得余弦函数可与正弦函数类比可得. . 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征： maxmin 2 yy A ， maxmin 2 yy B . 要根据周期来求,要用图像的关键点来求. 1.61.6、三角函数模型的简单应用、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 3.1.13.1.1、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式 记住 15的三角函数值： sin cos tan 12 4 26 4 26 32 3.1.23
10、.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 4 1、sincoscossinsin 2、sincoscossinsin 3、sinsincoscoscos 4、sinsincoscoscos 5、 tantan 1 tan tan tan . 6、 tantan 1 tan tan tan . 3.1.33.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cossin22sin， 变形变形： 1 2 sincossin2. 2、 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21. 变形如下：变形如下： 升幂升幂公式公式： 2
11、2 1 cos22cos 1 cos22sin 降幂降幂公式公式： 2 2 1 cos(1 cos2 ) 2 1 sin(1 cos2 ) 2 3、 2 tan1 tan2 2tan . 4、 sin21 cos2 tan 1 cos2sin2 3.23.2、简单的三角恒等变换、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式辅助角公式 )sin(cossin 22 xbaxbxay （其中其中辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点( , )a b的象限决定的象限决定, ,tan b a ).). 第二章：平面向量第二章：平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念、向量的物理背
12、景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模） ，记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度 5 等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. 2.1.32.1.3、相等向、相等向量与共线向量量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.12.2.1、向量加法运算及其几何意义
13、、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、ba ba . 2.2.22.2.2、向量减法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 2.2.32.2.3、向量数乘、向量数乘运算及其几何意义运算及其几何意义 1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定 如下： aa, 当0时, a的方向与a的方向相同；当0时, a的方向与a的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量0aa与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab. 2.
14、3.12.3.1、平面向量基本定理、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果 21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a， 有且只有一对实数 21, ，使 2211 eea. 2.3.22.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 yxjyi xa,. 2.3.32.3.3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 6 2121 ,yyxxba， 2121 ,yyxxba， 11, y xa， 1221 /yxyxba. 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 1212 ,yyxxAB.
15、 2.3.42.3.4、平面向量共线的坐标表示、平面向量共线的坐标表示 1、设 332211 ,yxCyxByxA，则 线段 AB 中点坐标为 22 2121 , yyxx ， ABC 的重心坐标为 33 321321 , yyyxxx . 2.4.12.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 cosbaba. 2、 a在b方向上的投影为：cosa. 3、 2 2 aa . 4、 2 aa . 5、 0baba. 2.4.22.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 21
16、21 yyxxba 2 1 2 1 yxa 1212 00aba bx xy y 1221 / /0ababx yx y 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 2 12 2 12 yyxxAB. 3、 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 7 1212 2222 1122 c o s x xy ya b a bxyxy 4 4、点的平移公式、点的平移公式 平移前的点为( , )P x y（原坐标） ，平移后的对应点为( ,)P x y（新坐标） ，平移向量为( , )PPh k ， 则 . xxh yyk 函数( )yf x的图像按向量( , )ah k平移后的图像的解析式为().ykf xh
