1、. 回扣回扣 3 三角函数、平面向量三角函数、平面向量 1准确记忆六组诱导公式 对于“k 2 ， kZ”的三角函数值， 与 角的三角函数值的关系可按口诀记忆： 奇变偶不变， 符号看象限 2同角三角函数的基本关系式 sin2cos21，tan sin cos (cos 0) 3两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos cos sin . (2)cos( )cos cos ?sin sin . (3)tan( ) tan tan 1?tan tan . (4)asin bcos a2b2sin()(其中 tan b a) 4二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22
2、sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)tan 2 2tan 1tan2. 5三种三角函数的性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 单调性 在 22k， 22k (kZ)上单调递增； 在 22k， 3 2 2k (kZ)上单调递减 在2k，2k (kZ)上单调递增； 在2k， 2k(kZ)上单调递 减 在( 2k， 2 k)(kZ)上单调递增 对称性 对称中心：(k， 0)(kZ)；对称轴：x 对称中心：( 2k， 0)(kZ)； 对称中心：(k 2 ，0) (kZ) . 2k (kZ) 对称轴：xk(kZ) 6.函数 yAsi
3、n(x)(0，A0)的图象 (1)“五点法”作图： 设 zx，令 z0， 2， 3 2 ，2，求出相应的 x 的值与 y 的值，描点、连线可得 (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口 (3)图象变换： ysin x 向左?0?或向右?0?倍 横坐标不变 yAsin(x) 7正弦定理及其变形 a sin A b sin B c sin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径) 变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R. abcsin Asin Bsin C. 8余弦定理及其
4、推论、变形 a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C. 推论：cos Ab 2c2a2 2bc ，cos Ba 2c2b2 2ac ， cos Ca 2b2c2 2ab . 变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C. 9面积公式 SABC1 2bcsin A 1 2acsin B 1 2absin C. 10解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解 (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一 (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解 (4)已知三边，利
5、用余弦定理求解 . 11平面向量的数量积 (1)若 a，b 为非零向量，夹角为 ，则 a b|a|b|cos . (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2. 12两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)ab?ab(b0)?x1y2x2y10. (2)ab?a b0?x1x2y1y20. 13利用数量积求长度 (1)若 a(x，y)，则|a| a a x2y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB | ?x 2x1? 2?y 2y1? 2. 14利用数量积求夹角 若 a(x1，y1)，b(x2，y2
6、)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 15三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心?|OA |OB |OC | a 2sin A. (2)O 为ABC 的重心?OA OB OC 0. (3)O 为ABC 的垂心?OA OB OB OC OC OA . (4)O 为ABC 的内心?aOA bOB cOC 0. 1利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号 2在求三角函数的值域(或最值)时，不
7、要忽略 x 的取值范围 3求函数 f(x)Asin(x)的单调区间时，要注意 A 与 的符号，当 0 是a，b为锐角的必要不充分条件； . a b0 是a，b为钝角的必要不充分条件 12sin 45 cos 15 sin 30 的值等于( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D1 答案 C 解析 2sin 45 cos 15 sin 30 2sin 45 cos 15 sin(45 15 )2sin 45 cos 15 (sin 45 cos 15 cos 45 sin 15 )sin 45 cos 15 cos 45 sin 15 sin 60 3 2 .故选 C. 2要得到函数 y
8、sin 2x 的图象，可由函数 ycos(2x 3)( ) A向左平移 6个单位长度得到 B向右平移 6个单位长度得到 C向左平移 12个单位长度得到 D向右平移 12个单位长度得到 答案 D 解析 由于函数 ysin 2xcos( 22x)cos(2x 2)cos2(x 12) 3，所以可由函数 y cos(2x 3)向右平移 12个单位长度得到函数 ysin 2x 的图象， 故选 D. 3在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C 3，则ABC 的面积是( ) A3 B.9 3 2 C.3 3 2 D3 3 答案 C 解析 c2(ab)26，即 c
9、2a2b22ab6， C 3，由余弦定理得 c 2a2b2ab， 由和得 ab6， SABC1 2absin C 1 26 3 2 3 3 2 ， . 故选 C. 4(1tan 18 )(1tan 27 )的值是( ) A. 3 B1 2 C2 D2(tan 18 tan 27 ) 答案 C 解析 由题意得，tan(18 27 ) tan 18 tan 27 1tan 18 tan 27 ， 即 tan 18 tan 27 1tan 18 tan 27 1， 所以 tan 18 tan 27 1tan 18 tan 27 ， 所以(1tan 18 )(1tan 27 )1tan 18 tan
10、27 tan 18 tan 27 2，故选 C. 5设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 答案 B 解析 bcos Cccos Basin A， sin Bcos Ccos Bsin Csin2A， sin(BC)sin2A，sin A1，A 2，三角形为直角三角形 6(2016 天津)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连 接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AF BC的值为( ) A5 8 B.1
11、 8 C.1 4 D.11 8 答案 B 解析 如图，由条件可知BC ACAB， AF AD DF 1 2AB 3 2DE 1 2AB 3 4AC ， . 所以BC AF (AC AB) (1 2AB 3 4AC ) 3 4AC 21 4AB AC1 2AB 2. 因为ABC 是边长为 1 的等边三角形， 所以|AC |AB|1，BAC60 ， 所以BC AF3 4 1 8 1 2 1 8. 7f(x)1 2sin(2x 3) 3 2 cos(2x 3)是( ) A最小正周期为 2 的偶函数 B最小正周期为 2 的奇函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 答案 C 解析 f(
12、x)1 2sin(2x 3) 3 2 cos(2x 3) sin(2x 3 3)sin 2x， 是最小正周期为 的奇函数，故选 C. 8已知 a，b 均为单位向量，(2ab) (a2b)3 3 2 ，则向量 a，b 的夹角为( ) A. 6 B. 4 C.3 4 D.5 6 答案 A 解析 因为 a，b 均为单位向量， 所以(2ab) (a2b)223a b3 3 2 ， 解得 a b 3 2 ，所以 cosa，b a b |a|b| 3 2 ， 又a，b0，所以a，b 6. 9(2016 课标全国乙)已知 是第四象限角，且 sin? ? ? ? 4 3 5，则 tan? ? ? ? 4 _.
13、 答案 4 3 . 解析 由题意，得 cos? ? ? ? 4 4 5， tan? ? ? ? 4 3 4. tan? ? ? ? 4 tan? ? ? ? 4 2 1 tan? ? ? ? 4 4 3. 10若ABC 的三边 a，b，c 及面积 S 满足 Sa2(bc)2，则 sin A_. 答案 8 17 解析 由余弦定理得 Sa2(bc)22bc2bccos A1 2bcsin A， 所以 sin A4cos A4， 由 sin2Acos2A1， 解得 sin2A(1sin A 4 )21，sin A 8 17(0 舍去) 11若 tan 3，则 cos2sin cos _. 答案 2
14、5 解析 tan 3， cos2sin cos cos 2sin cos sin2cos2 1tan tan21 13 321 2 5. 12已知单位向量 a，b，c，且 ab，若 cta(1t)b，则实数 t 的值为_ 答案 1 或 0 解析 cta(1t)b?c2t2(1t)2|c|2 1?t0 或 t1. 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 bcos A(2ca)cos(AC) (1)求角 B 的大小； (2)求函数 f(x)2sin 2xsin(2xB)(xR)的最大值 解 (1)由已知，bcos A(2ca)cos(B)， 即 sin Bcos A(2
15、sin Csin A)cos B， 即 sin(AB)2sin Ccos B， . 则 sin C2sin Ccos B， cos B1 2，即 B 2 3 . (2)f(x)2sin 2xsin 2xcos 2 3 cos 2xsin 2 3 3 2sin 2x 3 2 cos 2x 3sin(2x 6)， 即 x 3k，kZ 时，f(x)取得最大值 3. 14已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x)1. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间； (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且锐角 A 满足 f(A)1，b 2，c3， 求 a 的值 解 (1)f(x)2sin xcos x2cos2x1 sin 2xcos 2x 2sin(2x 4)， 所以 f(x)的最小正周期为 . 由 22k2x 4 22k(kZ)， 得 k 8xk 3 8 (kZ)， 所以 f(x)的单调增区间为k 8，k
