1、. 回扣回扣 4 数数 列列 1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 ana1(n1)d ana1qn 1 (q0) 前 n 项和 Snn?a1an? 2 na1n?n1? 2 d (1)q1，Sna1?1q n? 1q a1anq 1q (2)q1，Snna1 2.活用定理与结论 (1)等差、等比数列an的常用性质 等差数列 等比数列 性 质 若 m，n，p，qN*，且 mnpq， 则 amanapaq anam(nm)d Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列 若 m，n，p，qN*，且 mnpq， 则 am anap aq anamqn m Sm，S2
2、mSm，S3mS2m，仍成等比数 列(Sn0) (2)判断等差数列的常用方法 定义法： an1and (常数) (nN*)?an是等差数列. 通项公式法： anpnq (p，q 为常数，nN*)?an是等差数列. 中项公式法： 2an1anan2 (nN*)?an是等差数列. 前 n 项和公式法： SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)?an是等差数列. (3)判断等比数列的三种常用方法 定义法：an 1 an q (q 是不为 0 的常数，nN*)?an是等比数列. 通项公式法：ancqn (c，q 均是不为 0 的常数，nN*)?an是等比数列. 中项公式法：a2n1an an2(an
3、an1 an20，nN*)?an是等比数列. . 3.数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和. (2)形如an bn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. (3)通项公式形如 an c ?anb1?anb2?(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和. (4)通项公式形如 an(1)n n 或 ana (1)n(其中 a 为常数，nN*)等正负项交叉的数列求 和一般用并项法.并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论. (5)分组求和法： 分组求和法是解决通项公式可以写成 cnanbn形式的数列求和问题的方法， 其中an与b
4、n是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn. 1.已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnSn1表示.事实上，当 n1 时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1. 2.易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 ab. 3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件， 灵活整体代换进行基本运算.如等差数 列an与bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知Sn Tn n1 2n3，求 an bn时，无法正确赋值求解. 4.易忽视等比数列中公比 q0， 导致增解， 易忽视等比数列的奇数项或偶数项
5、符号相同造成 增解. 5.运用等比数列的前 n 项和公式时， 易忘记分类讨论.一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨论. 6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如 1 n?n2? 1 n 1 n2，而是 1 n?n2? 1 2? ? ? ? 1 n 1 n2 . 8.通项中含有(1)n的数列求和时，要把结果写成分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形 式. 1.已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4(nN*)，则 an等于( ) A.2n 1 B.2n C.2n1 D.2n2 答案 A 解析 an1S
6、n1Sn2a n14(2an4)?an12an，再令 n1，S12a14?a14， 数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，an4 2n 12n1，故选 A. 2.已知数列an满足 an2an1an，且 a12，a23，Sn为数列an的前 n 项和，则 S2 016 的值为( ) . A.0 B.2 C.5 D.6 答案 A 解析 由题意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5a41，a7 a6a52，数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 0166 336，S2 016336S60，故 选 A. 3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a514a6，则
7、S10等于( ) A.35 B.70 C.28 D.14 答案 B 解析 a514a6?a5a614， S1010?a1a10? 2 10?a5a6? 2 70.故选 B. 4.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，S10110，则使Sn63 an 取得最小值时 n 的值为 ( ) A.7 B.7 或 8 C.17 2 D.8 答案 D 解析 a24，S10110?a1d4，10a145d110?a12，d2，因此Sn63 an 2nn?n1?63 2n n 2 63 2n 1 2，又 nN *，所以当 n8 时，Sn63 an 取得最小值. 5.等比数列an中，a3a564，则 a
8、4等于( ) A.8 B.8 C.8 或8 D.16 答案 C 解析 由等比数列的性质知，a3a5a24， 所以 a2464，所以 a48 或 a48. 6.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a1a35 2，且 a2a4 5 4，则 Sn an等于( ) A.4n 1 B.4n1 C.2n1 D.2n1 答案 D 解析 设等比数列an的公比为 q， 则 ? ? ? a1?1q2?5 2， a1q?1q2?5 4， 解得 ? ? ? ? ? a12， q1 2， . Sn an a1?1qn? 1q a1qn 1 2?1 1 2n? 11 2 2?1 2? n1 2n1.故选 D. 7.设
9、函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2，则数列 1 f?n?的前 9 项和是( ) A.29 36 B. 31 44 C. 36 55 D. 43 66 答案 C 解析 由题意得函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2， 即 axa 1a2x2， 所以 a2， 即 f(x)x22x， 1 f?n? 1 n?n2? 1 2( 1 n 1 n2)， 所以 Sn1 2(1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n2) 1 2(1 1 2 1 n1 1 n2). 则 S91 2(1 1 2 1 10 1 11) 36 55，故选 C. 8.已知等差数列an的公差 d0，
10、且 a1，a3，a13成等比数列，若 a11，Sn是数列an前 n 项的和，则2Sn16 an3 (nN*)的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 32 D.9 2 答案 A 解析 据题意由 a1，a3，a13成等比数列可得(12d)2112d，解得 d2，故 an2n1， Snn2，因此2Sn16 an3 2n 216 2n2 n 28 n1 ?n1? 22?n1?9 n1 (n1) 9 n12，据基本不 等式知2Sn16 an3 (n1) 9 n122 ?n1? 9 n124，当 n2 时取得最小值 4. 9.等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前 8 项和等于_. 答案
11、4 解析 由等比数列的性质有 a1a8a2a7a3a6a4a5， 所以 T8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)4lg(10)44. 10.已知数列an满足 an1an2n 且 a12，则数列an的通项公式 an_. 答案 n2n2 解析 an1an2n， an1an2n，采用累加法可得 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1， 2(n1)2(n2)22n2n2. . 11.若数列an满足 an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式为 an _. 答案 23n 11 解析 设 an3(an1)，化简得 an3an12， an3an12
12、，1， an13(an11)， a11，a112， 数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列， an123n 1， an23n 11. 12.数列 11 3，2 1 9，3 1 27，4 1 81，5 1 243，的前 n 项之和等于_. 答案 n?n1? 2 1 21( 1 3) n 解析 由数列各项可知通项公式为 ann 1 3n，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求 和公式可知前 n 项和为 Snn?n1? 2 1 21( 1 3) n. 13.设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an1Sn1(nN*，且 1)，且 a1，2a2，a33 为等差数列bn的前三项. (1)求
13、数列an，bn的通项公式； (2)求数列anbn的前 n 项和. 解 (1)方法一 an1Sn1(nN*)， anSn11(n2). an1anan，即 an1(1)an (n2)，10， 又 a11，a2S111， 数列an为以 1 为首项，以 1 为公比的等比数列， a3(1)2，4(1)1(1)23， 整理得 2210，得 1. an2n 1，b n13(n1)3n2. 方法二 a11，an1Sn1(nN*)， a2S111，a3S21(11)1221. 4(1)12213， 整理得 2210，得 1. an1Sn1 (nN*)， anSn11(n2)， . an1anan，即 an12
14、an (n2)，又 a11，a22， 数列an为以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， an2n 1，b n13(n1)3n2. (2)设数列anbn的前 n 项和为 Tn， anbn(3n2) 2n 1， Tn1 14 217 22(3n2) 2n 1. 2Tn1 214 227 23(3n5) 2n 1(3n2) 2n. 得Tn1 13 213 223 2n 1(3n2) 2n13 2 ?12n 1? 12 (3n2) 2n. 整理得 Tn(3n5) 2n5. 14.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Snan?an1? 2 (nN*)， (1)求证：数列an是等差数
15、列； (2)设 bn 1 Sn，Tnb1b2bn，若 Tn对于任意 nN *恒成立，求实数 的取值范围. (1)证明 Snan?an1? 2 (nN*)， Sn1an 1?an11? 2 (n2). 得：ana 2 nana 2 n1an1 2 (n2)， 整理得：(anan1)(anan1)(anan1)， 数列an的各项均为正数，anan10， anan11(n2). 当 n1 时，a11，数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)得 Snn 2n 2 ， bn 2 n2n 2 n?n1?2( 1 n 1 n1)， Tn2(11 2)( 1 2 1 3)( 1 3 1 4)( 1 n 1 n1)2(1 1 n1) 2n n1， Tn 2 11 n ，Tn单调递增，TnT11，1. 故 的取值范围为(，1.
