1、 20202021 学年高三第五次联考试卷学年高三第五次联考试卷 数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知集合2 , 1,1 x Ay yx ，0 1 x Bx x ，则AB（ ） A0,2 B 1 ,1 2 C 1 ,1 2 D(0,2 2某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布 2 89,N，且(8489)PX 0.3该校有600人参加此次统测估计该校数学成绩不低于94分的人数为（ ） A60 B
2、80 C100 D120 32020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生” 某校5名 大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传若甲、乙要求 去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（ ） A20种 B24种 C30种 D36种 4 已知定义在R上的函数( )f x满足(2)( )f xf x ， 当 0 , 2 x时，( )2xf xax， 则(99)f（ ） A1 B1 C 1 2 D 1 2 5在菱形ABCD中，点E是线段CD上的一点，且2ECDE，若| 3 5AB ，| 2 17AE ，则 AE BE（
3、 ） A26 B24 C12 5 D8 17 6在各项都为正数的等比数列 n a中，已知 1 1a ，其前n项积为 n T，且 158 TT，则 n T取得最大值时， n的值是（ ） A10 B10或11 C11或12 D12或13 7在等腰梯形ABCD中，AB/CD，且2ABAD，ABCD，若双曲线E以A，B为焦点，且过C， D两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ） A 51 1, 2 B 51, 2 C 31 1, 2 D 31, 2 8若直角坐标平面内A，B两点满足：点A，B都在函数( )f x的图象上；点A，B关于原点对称， 则称点( ,)A B是函数( )f x的一个“姊妹点对”
4、点对( ,)A B与( ,)B A可看作是同一个“姊妹点对” 已知函 数 1(0) ( ) ln (0) axx f x x x 恰有两个“姊妹点对” ，则实数a的取值范围是（ ） A 2 0ea B 2 0ea C 1 0ea D 1 0ea 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9已知复数 1 22iz （i为虚数单位）在复平面内对应的点为 1
5、P，复数 2 z满足 2 i1z ，则下列结论 正确的是（ ） A 1 P点的坐标为(2, 2) B 1 22iz C 21 zz的最大值为131 D 21 zz的最小值为2 2 10在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的 个数为X，则下列结论正确的是（ ） A 3 (2) 7 P X B随机变量X服从二项分布 C随机变量X服从超几何分布 D 8 () 5 E X 11已知 8 (23)(2)xx 2 012 (1)(1)aa xa x 39 39 (1)(1)a xa x，则下列结论正确的是 （ ） A 129 1aaa B 5 84a C
6、 129 29 1 222 aaa D 129 290aaa 12 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点，P为四边形 11 DCC D内一点 （包含边界） ， 若 1 PA /平面AEC，则下列结论正确的是（ ） A 11 PAPD B三棱锥 11 BPAB的体积为定值 C线段 1 PA长度的最小值为 2 30 5 D 11 APD的最小值是45 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若两个正实数x，y满足20 xyxy，且不等式 2 27xymm恒成立，则实数m的取值范围 为 14在直三棱柱
7、11 ABCABC中，2ABACBC， 1 4AA ，则直三棱柱 111 ABCABC的外接球 的体积为 15已知0, 2 ， 1 cos 63 ，则cos 2 12 16已知抛物线 2 :4C yx，点P为抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点 分别为A，B，则点(0,1)M到直线AB的距离的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 在2 cos2aCcb， 2 3 coscoscos 24 BC BC ， （ 22 (sinsin)sin3sinsi
8、nBCABC， 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若3a ，ABC的面积为 3 2 ，求ABC的周长 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18如图，在等腰ABC中，90ACB，4AB ，四边形DCBE为矩形，1DC ，平面ABC 平 面DCBE （1）证明：平面ADE 平面ACD； （2）求二面角DAEB的余弦值 19在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C过点(4,0)F，且在y轴上截得的弦长为8 （1）求动圆的圆心C的轨迹M的方程； （2）过点F的直线l与曲线M交于A，B两点，若OA
9、B的面积为32，求直线l的方程 20为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查随机 地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占 2 5 这200人所得的分数都 分布在30,100范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识” ，所得分数的频率分布直 方图如下 （1）补全下面的22列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有 关？ 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 不具有很强安全意识 总计 200 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，
10、记“具有很强安全意识”的人数 为X，求X的分布列及数学期望 附临界值表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 1 F， 2 F分别为椭圆 C的左、右焦点，点P为椭圆C上异于左、右顶点的一点， 12 FPF的周长为22 2 （1）求椭圆C的方程；
11、（2）若点Q为椭圆上一点，直线OP，OQ的斜率分别记为 1 k， 2 k，若 12 1 2 k k ，试探究 22 OPOQ是 否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 22已知函数 2 ( )ln2() 1 a f xxa x R （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时，求证：( )0f x 在(1,)上恒成立； （3）求证：当0 x 时， 2 ln(1) e1 x x x 20202021 学年高三第五次联考试卷数学学年高三第五次联考试卷数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1 B 由题意知 1 2 , 1,1,2 2 x Ay yx ，00,1)
12、1 x Bx x ， 所以 1 ,1 2 AB 故 选 B 2D 由题意，成绩X近似服从正态分布 2 89,N，则正态分布曲线的对称轴为89X ，又由 (8489)0.3PX，根据正态分布曲线的对称性，可得 1 (94)12(8489) 2 P XPX 1 (10.6)0.2 2 ， 所以该校有600人中， 估计该校数学成绩不低于94分的人数为600 0.2120人 故 选 D 3B 首先安排甲和乙，第一类将甲和乙都安排在B社区，对其他的三名大学生，可以在三个小区各安排 一个，这时有 3 3 A种安排方法，或者将其他三名都安排在A，C两个社区，则有 22 32 C ?A种安排方法第二类 将甲和
13、乙都安排在C社区，对其他的三名大学生，可以在三个小区各安排一个，这时有 3 3 A种安排方法，或 者将其他三名都安排在A，B两个社区， 则有 22 32 C A种安排方法， 故共有 322 332 2 AC A24种安排方案 故 选 B 4 D 由(2)( )f xf x ， 得(2)(0)ff ， 所以 20 2220a ， 解得 5 2 a ， 所以当0,2x 时， 5 ( )2 2 x f xx 由(2)( )f xf x ， 得函数( )f x为周期函数且4T ， 所以(99)(3244)ff 1 51 (3)(12)(1)21 22 fff 故选 D 5A 连接AC，BD交于点O，以
14、点O为坐标原点，AC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的直角坐 标系 设(0)OCm m，(0)ODn n， 则(,0)Am、( ,0)C m、(0,)Bn、(0, )Dn， 所以( ,)ABmn， 1 3 AEADDEADDC 142 ( , )( ,), 333 m nmnmn ，所以 22 22 ()3 5 42 2 17 33 mn mn ，解 得 6 3 m n ，所以(8,2)AE ，(2,5)BEAEAB，所以26AE BE故选 A 6C 因为等比数列的前n项积为 n T，且 158 TT，所以 9101112131415 1aaaaaaa，所以 7 12 1a， 所以 12 1a
15、，又 1 1a ，所以当11n时，1 n a ，当13n时，01 n a，所以 11 T， 12 T为前n项积的 最大值故选 C 7B 设2 (0)ABm m，BAD，0, 2 ，双曲线E的离心率 2 2 cc e aa 22 22 54cos1 (2 )22cos m mmmmm ， 又0, 2 ， 所以 51, 2 e 故选 B 8A 由题意知函数 1(0) ( ) ln (0) axx f x x x 恰有两个“姊妹点对”等价于函数( )lnf xx，0 x 与函数 ( )1g xax，0 x的图象恰好有两个交点，所以方程ln1xax，即ln10 xax 在(0,)上有 两个不同的解构造
16、函数( )ln1h xxax，则 1 ( )h xa x ，当0a时，( )0h x，函数( )h x区间 (0,)上单调递增， 不符合题意； 当0a 时， 令( )0h x， 解得 1 0 x a ， 所以函数( )h x在区间 1 0, a 上单调递增，令( )0h x，解得 1 x a ，所以函数( )h x在区间 1 , a 上单调递减，所以 1 0h a ，解 得 2 0ea ，又(e)lne 1e0heaa ，所以函数( )h x在 1 e, a 上有且仅有一个零点令 ( )ln1M xxx，则 112 ( ) 22 x M x xxx ，令( )0M x，解得04x，所以函数(
17、)M x 在区间(0,4)上单调递增，令( )0M x，解得4x ，所以函数( )M x在区间(4,)上单调递减，所以 max ( )(4)ln430M xM，所以( )ln1(4)0M xxxM ，即ln1xx又 2222 2222 ln11ha aaaa 22 22 1(12)0a aa ，所以函数( )h x在 2 12 , a a 上有且 仅有一个零点综上： 2 0ea 故选 A 9ABC 复数 1 22iz 在复平面内对应的点为 1(2, 2) P，故 A 正确；复数 1 22iz ，所以复数 22iz ，故 B 正确；设 2 i( ,)zxy x yR，所以 22 2 i|i i|
18、(1)1zxyxy ，所以 22 (1)1xy， 21 zz表示的是复数 1 z和 2 z在复平面内对应的点的距离，故 21 zz的最大值为 131，最小值为131，故 C 正确，D 错误故选 ABC 10ACD 由题意知随机变量X服从超几何分布，故 B 错误，C 正确；随机变量X的所有可能为0，1， 2，3，4， 4 6 4 10 C1 (0) C14 P X ， 13 46 4 10 C C8 (1) C21 P X ， 22 46 4 10 C C3 (2) C7 P X ， 31 46 4 10 C C (3) C P X 4 35 ， 4 4 4 10 C1 (4) C210 P X
19、 ，故 183418 ()01234 14217352105 E X ，故 A，D 正 确故选 ACD 11ACD 令1x ，得 0 1a ，令2x ，得 0129 0aaaa，所以 129 1aaa，故 A 正确；由 88 (23)(2)2(1)1(1)1xxxx，所以 4433 588 2( 1)( 1)196aCC ，故 B 错误； 令 3 2 x ， 得 8 01 333 2321 222 aa 239 239 333 111 222 aaa ， 所以 129 0 29 0 222 aaa a ，又 0 1a ，所以 129 29 1 222 aaa ，故 C 正确；设( )(23)f
20、 xx 8 01 (2)(1)xaa x 239 239 (1)(1)(1)a xa xa x，则 8 ( )2(2)8(23)fxxx 728 1239 (2)2(1)3(1)9(1)xaa xa xa x，令2 x ，得 129 290aaa，故 D 正 确故选 ACD 12BCD 取 1 DD中点为G，易得 1 AG/平面AEC，又 11 AC /平面AEC，又 1111 ACAGA， 11 AC， 1 AG 平面 11 ACG，所以平面 11 ACG/平面AEC，P为四边形 11 DCC D内一点（包含边界） ， 1 PA /平面 AEC，所以点P在线段 1 C G上，当点P在G处时，
21、显然 1 PA与 1 BD不垂直，故 A 错误； 11 BPA B V 三棱锥 11 P A BB V 三棱锥 111 114 222 323 C A BB V 三棱锥 ， 故 B 正确； 线段 1 PA长度的最小值为点 1 A到线段 1 C G 的距离，在 11 ACG中，易得 1 5AG ， 1 5CG ， 11 2 2C A ，故段 1 PA长度的最小值为 2 30 5 ， 故 C 正确； 设 1 DPx， 2 5 ,2 5 x ， 易得 2 1 4APx， 所以 11 2 2 12 cos 24 4 1 x APD x x ， 当且仅当2x 时等号成立， 又 11 0 ,180APD，
22、 所以 11 APD的最小值是45， 故 D 正确 故选 BCD 13 1,8 由20 xyxy，得 21 1 xy ，所以 214 2(2 )48 xy xyxy xyyx ，当且 仅当4x ，2y 时等号成立，所以 2 78mm，解得18m 14 256 3 27 设直三棱柱 111 ABCABC的外接球的半径为R， 由题意可知 2 2 2 34 3 2 33 R ， 所以直三棱柱 111 ABCABC的外接球的体积 3 3 444 3256 3 33327 VR 15 87 2 18 因为 22 sincos1 66 ， 又 1 cos 63 ， 所以 2 2 sin 63 ， 又0,
23、2 ，所以 2 , 663 ，所以 2 2 sin 63 ，所以sin22sin 66 4 2 cos 69 ， 2 7 cos22cos1 669 ，所以cos 2cos 12 2cos2cos 6464 87 2 sin2sin 6418 162 设( 1,)Pm， 11 ,A x y， 22 ,B x y由题意知在点A处切线的斜率存在且不为0，设在点A处 切线的斜率为k， 则切线方程为 11 yyk xx， 所以 11 2 4 yyk xx yx ， 整理得 2 1 1 44 4 y yyx kk 0，由0 ，解得 1 2 k y ，所以在点A处的切线方程为 11 220 xy yx同理
24、可得在点B处的切线 方程为 22 220 xy yx又都过点P，所以 11 220myx ， 22 220myx ，所以直线AB的 方程为220myx ，即220 xmy，直线AB恒过定点(1,0)，所以点(0,1)M直线AB的距离 的最大值为点(0,1)M到定点(1,0)的距离，即为2 17解： （1）选，由正弦定理得2sincossin2sin2sin()ACCBAC 2(sincoscossin)ACAC， 即sin(2cos1)0CA 因为(0, )C，所以sin0C ，所以 1 cos 2 A 又(0, )A，从而得 3 A 选，因为 2 1cos() coscoscoscoscos
25、 22 BCBC BCBC 1coscossinsin1cos()3 224 BCBCBC ， 所以 1 cos() 2 BC ， 1 coscos() 2 ABC 又因为0, 2 A ，所以 3 A 选，因为 22 (sinsin)sin3sinsinBCABC， 所以 222 sinsin2sinsinsin3sinsinBCBCABC， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC， 所以 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc 因为(0, )A，所以 3 A ， （2）由余弦定理 222 2cosabcbcA，得 22 3bcbc， 由 1 sin 2
26、 ABC SbcA ，得2bc ， 所以3bc， 故33abc 18 （1）证明：因为90ACB，所以ACBC，平面ABC 平面DCBE，平面ABC平面 DCBEBC，AC 平面ABC所以AC 平面DCBE 又DE 平面DCBE，所以ACDE， 四边形DCBE为矩形，所以DCDE，又ACDCC， ,AC DE 平面ADC，所以DE 平面ADC， 又DE 平面ADE，所以平面ADE 平面ACD （2）解：以C为原点，CA，CB，CD所在的直线为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则(0,0,1)D，(0,2 2,1)E，(2 2,0,0)A，(0,2 2,0)B， 所以( 2 2,2 2,0)AB
27、，(0,0,1)BE ，(0,2 2,0)DE ，(2 2,0, 1)DA 设平面DAE的法向量为 111 ,mx y z，平面ABE的法向量为 222 ,nx y z， 则 0 0 m DA m DE ， 0 0 n AB n BE ，即 11 1 2 20 2 20 xz y ， 22 2 2 22 20 0 xy z ， 令 1 1x ，得(1,0.2 2)m ；令 2 1x ，得(1,1,0)n ， 所以 12 cos, |632 m n m n m n 由图可知二面角DAEB是钝角， 所以二面角DAEB的余弦值为 2 6 19解： （1）设动圆圆心( , )C x y，由题意知当0
28、x 时， 2222 (4)4xyx 化简得 2 8 (0)yx x， 当0 x 时，此时(0,0)C也满足方程， 所以圆心的轨迹M的方程为 2 8yx （2）由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为4xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 4 8 xmy yx ，整理得 2 8320ymy，且 2 641280m ，则 12 8yym， 12 32y y ， 所以 12 11 |4 22 OAB SOFyy 2 2 1212 42 6412832yyy ym， 解得2m ， 所以直线l的方程为240 xy或240 xy 20解： （1）200人中拥有驾驶证的占 2 5
29、 ，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知(0.0040.008 0.0280.0200.004)01010.02a， 解得0.016a 所以具有很强安全意识的人有200(0.016 0.004) 1040人，不具有很强安全意识的有160人 补全22列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 计算得 2 2 200(22 10218 58)75 4.6883.841 40 80 160 12016 K ， 有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方
30、图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 1 5 ， 所以X的所有可能取值为0，1，2，3 则 3 464 (0) 5125 P X ， 2 1 3 1448 (1) 55125 P XC ， 2 2 3 1412 (2) 55125 P XC ， 3 11 (3) 5125 P X 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 故 64481213 ()0123 1251251251255 E X 21解： （1）由题意可知 222 2 2 2222 2 c a ac cab ， 解得 2 1 a b 所以椭圆C的方程为
31、2 2 1 2 x y （2）设 11 ,P x y， 22 ,Q x y，则 11 1 11 0 0 yy k xx ， 22 2 22 0 0 yy k xx ， 由 12 1 2 k k ，所以 12 12 1 2 yy xx ，即 2222 1212 1 4 y yx x， 因为 11 ,P x y， 22 ,Q x y在椭圆C上， 所以 22 2222 12 1212 1 11 224 xx y yx x ， 整理得 22 12 2xx，所以 22 12 1yy， 则 22 222222 1122 OPOQxyxy 2222 1122 3xyxy为定值 22 （1）解：函数( )f
32、x的定义域为(0,)， 2 22 122(1)1 ( ) (1)(1) axax fx xxx x ， 令( )0fx，即 2 2(1)10 xax ， 2 4(1)40a ，解得2a 或0a ， 若02a，此时0 ，( )0fx在(0,)恒成立， 所以( )f x在(0,)单调递增 若2a ，此时0 ，方程 2 2(1)10 xax 的两根为 2 1 (1)2xaaa， 2 (1)xa 2 2aa且 1 0 x ， 2 0 x ， 所以( )f x在 2 0,12aaa 上单调递增，在 22 12 ,12aaa aaa 上单调递减，在 2 12 ,aaa 上单调递增 若0a，此时0 ，方程
33、2 2(1)10 xax 的两根为 2 1 (1)2xaaa， 2 (1)xa 2 2aa且 1 0 x ， 2 0 x ， 所以( )f x在(0,)上单调递增 综上所述：若2a，( )f x在(0,)单调递增； 若2a ，( )f x在 2 0,12aaa ， 2 12 ,aaa 上单调递增， 在 22 12 ,12aaa aaa 上单调递减 （2） 证明： 由 （1） 可知当2a 时， 函数( )f x在(1,)上单调递增 所以( )(1)0f xf， 所以( )0f x 在(1,)上恒成立 （3）证明：由（2）可知 4 ln20 1 x x 在(1,)恒成立，所以 2 ln(1) 2 x x x 在(0,)恒成立， 下面证 2 2 2e1 x xx x ，即证 2 2e220 x xx， 设 2 ( )2e22 x xxx，( )2e22 x xx， 设( )2e22 x xx，( )2e2 x x， 易知( )2e20 x x在(0,)恒成立， 所以( )2e22 x xx在(0,)单调递增， 所以( )2e22(0)0 x xx， 所以 2 ( )2e22 x xxx在(0,)单调递增， 所以 2 ( )2e22(0)0 x xxx， 所以 2 2 2e1 x xx x ，即当0 x 时， 2 ln(1) e1 x x x
