1、 广东省 2021 届高三八省联考考前模拟仿真模拟卷 数 学 一、单选题一、单选题( (本题共本题共 8 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 已知集合14AxNx， 2 560BxR xx ， 2 9Cx x ， 则( )ABC （ ） A2,3 B 3,2,3 C 3,3 D 3,2,3,4 2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则 1 2 z z （ ） A1i B 34 55 i C 4 1 5 i D 4 1 3 i 3命题 p： “3 5m”是命题q： “曲线 22 1 35 xy
2、mm ”表示双曲线”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4设0,0,lg2ab是lg4a与lg2b的等差中项，则 21 ab 的最小值为（ ） A2 2 B3 C9 D3 2 5已知 1 sin3cos 33 ，则sin 2 6 的值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 6函数 sin2 ( ) xx x f x ee 在 , 的大致图象是（ ） A B C D 7将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中 项，即满足 AC AB BC AC 51 2 0.618，后人把这个数称为黄金
3、分割，把点C称为线段AB的 黄金分割点图中在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一 点M，则点M落在 APQ内的概率为（ ） A 51 2 B52 C 51 4 D 52 2 8已知抛物线 2 1: 20Cypx p的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 顶点三等分，且两曲线 1 C， 2 C的交点连线过曲线 1 C的焦点F，则双曲 线 2 C的离心率为（ ） A 2 B 3 2 2 C 11 3 D 22 2 二、多选题二、多选题本题共本题共 4 小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题在每小题
4、给出的选项中，有多项符合题目要求 9甲 乙两名射击运动员在某次测试中各射击 20 次，两人测试成绩的条形图如图所示，则 （ ） A甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 10若函数 22 ( )3sin23sincosf xxxx在 , a a 上为增函数，则（ ） A实数a的取值范围为 0, 6 B实数a的取值范围为 0, 3 C点 ,2 12 为曲线 ( )yf x 的对称中心 D直线 3 x 为曲线( )yf x的对
5、称轴 11如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点E，F，且 1 2 EF ， 则下列结论中正确的是（ ） A异面直线AEBF所成角为定值 BACBF CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 12定义在R上的函数 f x满足： 1f xfx， 04f ，则关于不等式 3 xx e f xe 的表述正确的为（ ） A解集为0, B解集为 ,03,U C在2 2 ,上有解 D在2 2 ,上恒成立 三、填空题三、填空题本题共本题共 4 小题小题 13已知非零向量a、b满足3| 4|ba，若( 4)bab ，则a、b夹角的大小为_
6、 14若函数 ( )f x 满足 3 (2) 2 x f x x ，则 ( )f x 在1,)上的值域为_. 15已知 ,M N是过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线l与抛物线C的交点，O是坐标 原点，且满足MFFN=3，3 OMN SMN，则p的值为_. 16记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1 10 2 nn nana ，且 1 3 2 a 若对任意的 * nN， 都有 2 n n S m ，则实数m的取值范围为_ 四、解答题四、解答题本大题共本大题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在sinsin4
7、 sinsinbA aBcAB， 2 cos22 3sin32 2 C C ， (3 )sinsinsinabAbBcC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题. 已知ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 1+ 3 sinsin 4 AB ，2c ， _， 求角C及ABC的面积S. 18设数列 n a n b的前n项和分别为 n S n T，且 2 1 (37 ) 2 n Snn，2(1) nn Tb * ()nN， （1）求数列 n a n b的通项公式； （2）令 nnn cab ，求 n c的前n项和 n U. 19 如图， 四棱锥PABCD，PD 平面ABC
8、D，/AD BC，ABBC， 1,2ABBCPDAD （1）求证：平面PAC 上平面PCD （2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 202020 年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为 掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了 3 日上午 9:2010:40 这 一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费站点，它们通过该 收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段 9:209:40 记作20,40)、 9:4010:00 记作40,60)，10:0010:20 记作60,80)，10:2
9、010:40 记作80,100)，例如：10 点 04 分，记作时刻 64. （）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表） ； （）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9:2010:00 之间通过的车辆数为X，求X的分布 列； （）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 2 ,N ，其中 可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替， 2 用样本的方差
10、近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如 4 日全天共有 1000 辆车通过该收费站点，估计在 9:4610:40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布 2 ,N ，则 ()0.6827PT ， (22 )0.9545PT ， (33 )0.9973PT . 21已知点 (1,0)F ，直线L：1x，P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q， 且QP QFFP FQ. （1）求点P的轨迹C的方程. （2）是否存在正数m，对于过点 ( ,0)M m 且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0FA FB ？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
11、请说明理由. 22已知函数 ln2f xaxxa aR （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若0 4 e a，求证： x e f xx x . 参考答案参考答案 1B 解：由题意化简集合得： 1,2,3,4A ，23Bxx，3,3C 所以 2,3AB ， 所以( )2,3 3,3 3,2,3ABC . 2B 因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i， 所以 2 1 2 z2i(2i)34 z2i555 i . 3A 曲线 22 1 35 xy mm 表示双曲线， 可得3 50mm，解得35m, 命题 p： “3 5m”是命题q： “曲线 22 1 35 xy
12、 mm ”表示双曲线”的充要条件, 4C 解：0,0,lg2abQ是lg4a与lg2b的等差中项， 2 2lg 2lg4lg2 ,lg2lg2 baa b ， 即 2 22 a b ，即2 1ab ， 则 21212222 (2)5529 abab ab ababbaba ， 当且仅当 22ab ba ，即 1 3 ab时取等号. 5D 因为 1313 sin3cossincos3cossincos 32222 1 sinsincos 32663 ， 所以 2 2 17 sin 2sin2cos 22cos121 6236393 ， 6A 因为 sin2 ( ) xx x f x ee ，所以
13、 2sin2sin xxxx xx fxf x eeee ，所以 ( )f x 为 , 上的奇 函数，其图象关于原点对称，故 C、D 不正确； 当 (0, )x 时，sin0 x，所以 ( )0f x ，故 B 不正确; 7B 由几何概型公式知， 所求概率为 5151 1 22 52 APQ ABC BCBC S PQBQBP SBCBCBC . 8D 抛物线 2 2ypx的焦点为(,0) 2 p F，准线方程为 2 p x ，(,0) 2 p E ， |EFp ， 因为线段EF被双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 顶点三等分，所以2 3 p a ，即6pa， 因为两曲
14、线 1 C， 2 C的交点连线过曲线 1 C的焦点F，所以两个交点为(,) 2 p p、(,) 2 p p， 将(,) 2 p p代入双曲线 22 22 1 xy ab 得 22 22 1 4 pp ab ， 所以 22 22 3636 1 4 aa ab ，所以 2 2 36 91 a b ，所以 2 2 9 2 b a ， 所以双曲线 2 C的离心率 2222 222 9 11 2 ccabb e aaaa 22 2 . 9AD 由图可得甲运动员测试成绩中3次7环，8次8环，5次9环，4次10环， 所以甲运动员测试成绩的中位数为8，众数为8， 平均数为 3 78 85 94 10 8.5
15、20 ， 方差 2222 (78.5)3(8 8.5)8(98.5)5(108.5)419 2020 ； 乙运动员测试成绩中4次7环，7次8环，4次9环，5次10环， 所以乙运动员测试成绩的中位数为8，众数为8， 平均数为 4 77 84 95 10 8.5 20 ， 方差 2222 (78.5)4(8 8.5)7(98.5)4(108.5)523 2020 ， 故选项 A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确， 10ACD 由题意，函数 222 ( )3sin23sincos3sin22sin1f xxxxxx 3sin2cos222sin 22 6 xxx ， 令2 262 x ，可得
16、2 63 x ，所以0 6 a ，所以 A 正确，B 不正确； 令 12 x ，可得()2sin 222 12126 f ， 所以点 ,2 12 为曲线 ( )yf x 的对称中心，所以 C 正确； 令 3 x ，可得()2sin 224 336 f ，所以 3 x 为曲线( )yf x的对称轴，所以 D 正确. 11BD 解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则 (1A ，0，0)， (1B ，1，0)，设 (E a，a，1)， 则 2 ( 2 F a ， 2 2 a ，1)， 其中 2 01 2 a剟， (1, ,1)AEaa， 22 (1,1,1) 22 BFaa， 222
17、2 (21)(1)1 2 cos, | | 2 (1)12(1)1 2 aa AE BF AE BF AEBF aaa 取0a时， 42 cos, 4 22 AE BF ， 取 2 1 2 a 时， 1 cos, 32 AE BF ， 421 4 2232 ，异面直线AE、BF所成角不是定值，故A错误； 由正方体的结构特征可知， 1 DDAC ，BDAC，又 1 BDDDD ， AC平面 11 BDD B，则ACBF ，故B正确； B到 11 B D的距离为 1 1BB ，A到 11 B D的距离大于上下底面中心的连线，则A到 11 B D的距离大 于 1， AEF的面积大于BEF的面积，故C
18、错误； A到平面 11 BDD B的距离为 2 2 ，BEF的面积为定值，三棱锥ABEF的体积为定值，故D 正确 故选：BD 12AC 令 1 x g xef x ，xR，则 1 x gxef xfx ， 1f xfx， 0g x 恒成立，即 g x在R上单调递增. 04f， 0 0013gef . 不等式 3 xx e f xe可化为 13 x ef x ，等价于 0g xg， 0 x，即不等式式 3 xx e f xe的解集为0,， 则在2 2 ,上有解，故选项AC正确. 13 1 arccos 3 因为( 4)bab ，所以( 4)0bab ， 所以 2 40a bb ，即 22 11
19、| 44 a bbb， 所以cos , | | a b a b ab 2 1 | 1 4 3 3 | | 4 b bb ， 1 ,arccos 3 a b. 14(1,2 解： 2 1 (2) 2 x f x x ， 11 ( )1 x f x xx ， 又1x， f x在1,)单调递减， 由 11 12f ， 1( )2f x ， 函数( )f x的值域为(1,2. 158 解：不妨设直线MN的斜率0k ，过 ,M N作抛物线准线的垂线，垂足分别为,G H， 过N作NKMG于K， 由MFFN=3，得3MFFN，3MGNH， 1 22 2 MKNHNFMN， 223 2 NKMNMKMN， 由
20、 13 28 OMNOMFONF SSSOFNKp MN， 又3 OMN SMN， 所以 3 3 8 p MNMN， 8p . 161, 依题意， 1 1 10 2 nn nana ，则 21 1 120 2 nn nana ， 两式相减，可得 21 20 nnn aaa ，所以 n a为等差数列， 由 1 1 10 2 nn nana ，得 21 1 20 2 aa，又 1 3 2 a ，解得 2 5 2 a ， 所以 21 1daa ，则 3(1) 22 n n n Sn ，所以 2 1 2 22 n nn Snn . 令 2 1 2 = 22 n n nn Snn b ， 2 1 2 3
21、 2 nn n n bb ， 当2n时， 1 0 nn bb + - 故答案为：1, 17 选sinsin4 sinsinbA aBcAB， 因为sinsin4 sinsinbA aBcAB， 所以由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB， 即2sinsin4sinsinsinBACAB，所以 1 sin 2 C ， 因为0,C，所以 6 C 或 5 6 C . 若 5 6 C ，由 1+ 3 sinsin 4 AB ， 而 6 A ， 6 B ，从而 1 sinsin 4 AB ，矛盾，舍去. 故 6 C ， 接下来求ABC的面积S. 法一：设ABC外接圆的半径
22、为R，则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C ， 2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB， 16sinsin4(13)abAB， 111 sin4(13)13 222 ABC SabC . 法二：由（1）得 3 cos 2 C ，即 3 coscossinsin 2 ABAB ， 1+ 3 sinsin 4 AB ， 13 coscos 4 AB ， 1 cos()coscossinsin 2 ABABAB， 5 5 (,) 66 AB ， 3 AB或 3 BA， 当 3 AB时，又 5 6 AB， 7 12 A， 4 B ， 由正弦定理得 2sin sin
23、4 2 2 sin sin 6 cB b C ， 1172123 sin2 22sin2 2()13 22122222 ABC SbcA ， 当 3 BA时，同理可得13 ABC S ， 故ABC的面积为13. 选 2 cos22 3sin32 2 C C ， 因为 2 cos22 3sin32 2 C C ， 所以 2 2cos13(1 cos)320CC ，即 2 2cos3cos30CC ， (2cos3)(cos3)0CC， 所以 3 cos 2 C 或cos3C （舍） ， 因为0,C，所以 6 C . 以下同解法同， 选(3 )sinsinsinabAbBcC， 由(3 )sins
24、insinabAbBcC及正弦定理得 22 3ab abc ， 即 222 3abcab， 由余弦定理得 222 3 cos 22 abc C ab ， 0C， 6 C， 18 （1）由 2 1 (37 ) 2 n Snn得 11 5aS ， 当2n时， 2 2 1 11 (37 )3171 22 nnn aSSnnnn 32n， 当1n 时， 1 325a 也适合， 故 32 n an . 由 2(1) nn Tb 得 111 2(1)bTb ，得 1 2b ， 当2n时， 11 2(1)2(1) nnnnn bTTbb ，得 1 2 nn bb ， 又 1 2b ，所以 1 2 n n b
25、 b ，所以数列 n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 2 22 nn n b . 综上所述： 32 n an ，2n n b . （2）(32) 2 n nnn ca bn， 所以 123 5 28 211 2(32) 2n n Un ， 所以 2341 25 28 211 2(32) 2n n Un ， 所以 231 25 23(222 )(32) 2 nn nn UUn ， 所以 231 43(2222 )(32) 2 nn n Un 1 2(1 2 ) 43(32) 2 1 2 n n n ( 62) 22 n n ， 所以 1 (31) 22 n n Un . 19 （
26、1）证明：/AD BC，ABBC，1,2ABBCAD 2AC ， 2CD ， 222 ACCDAD，ACCD， PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PDAC，又CDPDD AC 平面PCD，又AC 平面PAC，平面PAC 平面PCD （2）以 ,AB AD为 , x y轴，过A平行DP的直线为z轴，建立空间直角坐标系A xyz ， 则 (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),ABCD(0,2,1)P ， (0,2,1)AP ，(1,0,0)AB ，设平面PAB的一个法向量为( , , )mx y z， 则 20 0 m APyz m ABx ，取 1y ，则(0,
27、1, 2)m ， 由（1）知平面PCD的一个法向量为(1,1,0)AC ， 110 cos, 1025 AC m AC m AC m ， 由图可得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 10 10 20 （）这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为： (30 0.00550 0.01570 0.02090 0.010) 2064 ，即 1004 （）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在 10:00 前通过的车辆 数就是位于时间分组中在 20，60 这一区间内的车辆数， 即(0.005 0.015) 20 104 ， 所以X的可
28、能的取值为 0，1，2，3，4. 所以 4 6 4 10 1 0 14 C P X C ， 31 64 4 10 8 1 21 C C P X C ， 22 64 4 10 3 2 7 C C P X C ， 13 64 4 10 4 3 35 C C P X C ， 4 4 4 10 1 4 210 C P X C . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 （）由（1）得 64 ， 22222 (30 64)0.1 (50 64)0.3 (70 64)0.4(90 64)0.2324 车辆 所以18， 估计在 9:4610:40 之
29、间通过的车辆数也就是在 46，100 通过的车辆数， 由 2 64,18TN ，得 ()(22 ) (64 18642 18)0.8186 22 PTPT PT ， 所以估计在在 9:4610:40 之间通过的车辆数为1000 0.8186819. 21 （1）设P的坐标为( , ) x y，则( 1, )Qy ， 可得(1,0)QPx，(2,)QFy， (1, )FPxy，( 2, ) FQy， QP QFFP FQ， 2 (1) 2(1) ( 2)xxy ，化简得 2 4yx， 即动点P的轨迹C的方程为： 2 4yx； （2）设直线l的方程为x tym ， 过点 ( ,0)M m(0)m
30、的直线l与曲线C的交点为 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 2 4 xtym yx ，消去x，得 2 440ytym（*） ， 则 1 y， 2 y是方程（*）的两根， 2 160tm ，且 12 12 4 4 yyt yym ， 又 11 1,FAxy， 22 1,FBxy， 由 0FA FB ，可得 1212 110 xxy y， 即 1 21212 10 x xxxy y ， 由于 22 12 12 44 yy x x ，代入不等式可得： 2222 1212 12 10 4444 yyyy y y ， 化简得： 2 2 12 121212 1 210 164 y y y
31、yyyy y ， 由式，化简不等式得 22 614mmt ， 对任意实数t，不等式 2 40t 恒成立， 不等式对于一切t恒成立等价于 2 610mm ， 解之得3 2 2 3 2 2m ， 由此可得：存在正数m，对于过点 ( ,0)M m ，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0FA FB 且m的取值范围是 32 2,32 2 . 22 （1）函数 f x的定义域是0,， 1 aax fx xx ， 当0a时， 0fx 在0,上恒成立， 故函数 f x在0, 上单调递增； 当 0a 时，0a ，令 0fx，得0 xa； 令 0fx ，得x a ， 故函数 f x在0, a上单调递减，
32、在 , a上单调递增. （2）证明：要证明 ex f xx x ， 即证 e ln2 x ax x ，即证 2 ln2exax xx . 设 2 0 x e g xx x ，则 3 2 exx gx x ， 当02x时， 0gx ； 当2x 时， 0g x ， 所以 g x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， 所以2x是 g x的极小值点，也是最小值点， 且 2 min 2 4 e g xg. 令 ln2 0 ax h xx x ， 则 1 22 lnlne ln1 ax ax h x xx 当 1 0ex 时， 0h x； 当 1 ex 时， 0h x， 所以 h x在 1 0,e 上单调递增，在 1 e , 上单调递减， 所以 1 ex 是 h x的极大值点，也是最大值点，且 1 max eeh xha ， 所以 2 ee ee 44 h xag x ， 故 ex f xx x 成立.
