1、第七章随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若随机变量 X 的分布列为 X 1 4 6 P 0.55 0.3 0.15 则 E(X)等于( ) A.1 B. C.4.5 D.2.65 解析 E(X)=10.55+40.3+60.15=2.65. 答案 D 2.已知 Y=5X+1,E(Y)=6,则 E(X)的值为( ) A. B.5 C.1 D.31 解析因为 E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以 E(X)=1. 答案 C 3.若随机变量 X 的分布列如下表,则 E(5X+4)等于
2、( ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 解析由题中表格可求 E(X)=00.3+20.2+40.5=2.4,故 E(5X+4)=5E(X)+4=52.4+4=16.故选 A. 答案 A 4.口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状相同的小球,从中任取 2个,则取出的球的最大编号 X 的均值为 ( ) A. B. C.2 D. 解析依题意 X=2,3,所以 P(X=2)= ,P(X=3)= , 所以 E(X)=2 +3 . 答案 D 5.一个高考考生咨询中心有 A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线 A,B 占线的概率均为 0.5
3、,热线 C 占线的概率为 0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有 X 条占线,则 E(X)= . 解析随机变量 X可能的取值为 0,1,2,3,依题意知 P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1. 故 E(X)=00.15+10.4+20.35+30.1=1.4. 答案 1.4 6.某射手射击所得环数 的分布列如下. 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的均值 E()=8.9,则 y 的值为 . 解析由 解得 y=0.4. 答案 0.4 7.对某个数学题,甲解出的概率为 ,乙解出的概率为 ,两人独立解题.记 X为解
4、出该题的人数,则 E(X)= . 解析 X的可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=2)= ,故 E(X)=0 +1 +2 . 答案 8.盒中装有 5节同品牌的五号电池,其中混有 2 节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取 到好电池为止.求: (1)抽取次数 X的分布列; (2)抽取次数 X的均值. 解(1)由题意知,X 的可能取值为 1,2,3. P(X=1)= , P(X=2)= , P(X=3)= . 所以 X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)=1 +2 +3 =1.5. 9.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为
5、了更好地了解市民的态度,在普通行 人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据: 处罚金额 x(单位: 元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时行人会闯红灯的概率的差是多少? (2)若从这 5种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. 求这两种金额之和不低于 20 元的概率; 若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和均值. 解(1)由题意可知,处罚 10元时行人会闯红灯的概率与处罚 20 元时行人会闯红灯的概率的差是 . (2)设“两种金额之和
6、不低于 20 元”的事件为 A,从 5种金额中随机抽取 2 种,总的抽选方法共有 =10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,故所求概率 P(A)= . 根据条件,X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为 X 5 10 15 20 25 30 35 P 故 E(X)=5 +10 +15 +20 +25 +30 +35 =20. 能力提升练 1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球,否则一 直发到 3次为止.设某学生一次发球成功的概率为 p(p0),发球次数为 X,若 X的均值 E(X)1.75,则 p 的取值
7、范围是( ) A.( ) B.( ) C.( ) D.( ) 解析根据题意,X的所有可能取值为 1,2,3,且 P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则 E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有 E(X)1.75,则 p2-3p+31.75,解得 p 或 p ,结合 p 的实 际意义,可得 0p ,即 p( ). 答案 B 2.某船队若出海后天气好,可获得 5 000元;若出海后天气坏,将损失 2 000 元;若不出海也要损失 1 000 元.根据预测知天气好的概率为 0.6,则出海的期望效益是( ) A.2 000元 B.2
8、200元 C.2 400元 D.2 600元 解析出海的期望效益为 5 0000.6+(1-0.6)(-2 000)=3 000-800=2 200(元). 答案 B 3.设 l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率 k等可能地取-2 ,- ,- ,0, ,2 ,用 表示坐标原点 到 l的距离,则随机变量 的均值 E()= . 解析当 l的斜率 k 为2 时,直线 l的方程为2 x-y+1=0,此时坐标原点到 l的距离 = ; 当 k为 时,= ; 当 k为 时,= ; 当 k为 0 时,=1.由古典概型的概率公式可得 的分布列为 1 P 故 E()= +1 . 答案 4.一个均匀小正方体的六
9、个面中,三个面上标有数字 0,两个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2.将 这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之积 X的均值是 . 解析依题意 X 的取值为 0,1,2,4, 则 P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= , P(X=4)= . 故 E(X)=0 +1 +2 +4 . 答案 5.某市 A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了 3名男生、2 名女生,B中学推荐了 3 名男 生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机 抽取 3 人、女生中随机抽取 3人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1名学生入选代表
10、队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4人参赛.设 X表示参赛的男生人数,求 X的分布列和 均值. 解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有 6名. 参赛学生全从 B中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 . 因此,A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1- . (2)根据题意,X的可能取值为 1,2,3. P(X=1)= ,P(X=2)= , P(X=3)= . 所以 X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=1 +2 +3 =2. 6.某城市出租汽车的起步价为 10元,行驶路程不超过 4 k
11、m时租车费为 10元,若行驶路程超出 4 km, 则按每超出 1 km加收 2元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆 的路程为 15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车 时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟按 1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行 车路程 是一个随机变量.设他所收租车费为 . (1)求租车费 关于行车路程 的关系式; (2)若随机变量 的分布列为 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租车费 的均值; (3)已知某旅客实付租车费 38 元,而
12、出租汽车实际行驶了 15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几 分钟? 解(1)依题意得,=2(-4)+10,即 =2+2. (2)E()=150.1+160.5+170.3+180.1=16.4. =2+2,E()=2E()+2=34.8. 故所收租车费 的均值为 34.8元. (3)由 38=2+2,得 =18,5(18-15)=15. 所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟. 素养培优练 (2020重庆南开中学高三模拟)在中华人民共和国成立 70 周年之际,我和我的祖国中国机长 攀登者三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.据统计我和我的祖国票 房收入为 31.71
13、 亿元,中国机长票房收入为 29.12 亿元,攀登者票房收入为 10.98 亿元.已知国 庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片,在已观影的市民中随机抽取了 100人进行调查,其中观看了我和我的祖国的有 49 人,观看了中国机长的有 46人,观看了 攀登者的有 34 人,统计图如下. (1)计算图中 a,b,c的值; (2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了 7人,进行观影体验的访谈,了解 到他们均表示要观看第三部电影,现从这 7 人中随机选出 4 人,用 X表示这 4人中将要观看我和我 的祖国的人数,求 X的分布列及均值. 解(1)由题意可得 解得 所以 a 的值为 9,b的值为 6,c 的值为 6. (2)记“同时观看了中国机长和我和我的祖国”的为 A组,共 9人; “同时观看了中国机长和攀登者”为 B 组,共 6 人; “同时观看我和我的祖国和攀登者”为 C组,共 6人; 所以按分层抽样,A,B,C 组被抽取的人数分别为 9 =3,6 =2,6 =2. 在被抽取的 7人中,没有观看我和我的祖国的有 2 人,故 X=0,1,2, 则 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,所以 X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0 +1 +2 .
