1、试卷第 1 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前绝密启用前 高中数学高中数学 2020 年年 06 月月考月月考 试卷副标题试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷（选择题卷（选择题) ) 请点击修改第 I 卷的文字说明 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题) ) 请点击修改第 II 卷的文字说明 一、解答题一、解答题 1 （ （2019 安徽省高三月考（文） ）安徽省高三月考（文） ）已知函数已知函数
2、 sin ( )ln x f xx x （1）证明：函数）证明：函数 fx在在0,上有唯一零点；上有唯一零点； （2） 若） 若0,2x时， 不等式时， 不等式 sin2 ( )ln 2 xa f xx xx 恒成立， 求实数恒成立， 求实数 a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 , 4 【解析】【解析】 【分析】 （1）对函数求导得 2 (cos1)sin ( ) xxx fx x ，由(0, )x可得 0fx ，从而得 到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式 sin2 ( )ln 2 xa f xx xx ，可化为不等式 1
3、 sinsin2 2 xxa，令 1 ( )sinsin2 ,(0,2 ) 2 g xxx x利用导数求得( )g x的最大值，即可得答案. 【详解】 （1）证明：由 sin ( )ln x f xx x 得 22 cossin1(cos1)sin ( ) xxxxxx fx xxx 当(0, )x时，cos10 x ，sin0 x， 则 0fx ，函数 fx在0,上单调递减， 又 3 ()ln0 66 f ，( )ln0f 试卷第 2 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 所以函数 fx在0,上有唯一零点，得证 （2）由题知不等式 sin2 ( )ln 2
4、xa f xx xx ，可化为不等式 1 sinsin2 2 xxa， 则由题有 1 sinsin2 2 xxa对0,2x 恒成立， 令 1 ( )sinsin2 ,(0,2 ) 2 g xxx x 则有 2 coscos22coscos1gxxxxx cos12cos1xx， 其中cos10 x ， 由2cos10 x 得 3 x 或 5 3 x 则当0 3 x 或 5 2 3 x 时，( )0g x ， 当 5 33 x 时， 0gx ， 当且仅当x 时， 0gx ， 所以函数 g x在(0,) 3 5 ,2 3 上单调递增，在 5 , 33 上单调递减， 又 3 3 34 g ，(2 )
5、0g， 3 3 0 4 ， 所以 max 3 3 ( ) 4 g x ，则 3 3 4 a ， 即得实数a的取值范围是 3 3 , 4 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围，考查函数与方程思想、 转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数 构造法的应用. 2 （ （2020 广东省高三期末（理） ）广东省高三期末（理） ）已知函数已知函数 2 1sinf xxax ，0,x，aR， fx是函数是函数 fx的导函数的导函数. （1）当）当1a 时，证明：函数时，证明：函数 fx在区间在区间0,没有零点；没有零点； （2）若）若 sin
6、0fxaxa 在在0,x上恒成立，求上恒成立，求a的取值范围的取值范围. 试卷第 3 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2）a 【解析】【解析】 【分析】 （1）当1a 时, 2 1sinf xxx ,由0,x可得 2 11x ,0sin1x 且 01f, 2 24 f , 2 1f,即可得0, 22 x 时,1sin0 x ,即 可得到 2 1sin0 xx 恒成立,进而证明； （2） 2cosfxxax,则2cossin0 xaxaxa 在0,x上恒成立,设 2cossinxaxagaxx,0,x,则 0
7、00g, 220ga,可得 a ,对 g x求导,由导函数的单调性进而判断 g x的单调性,从而求解即可 【详解】 （1）证明：若1a ,则 2 1sinf xxx ,0,x, 又 2 11x ,0sin1x,故0 sin1x ,所以 2 1 sin0 xx , 又 01f, 2 24 f , 2 1f, 当 0, 22 x 时,1sin0 x , 所以 2 1sin0 xx 恒成立, 所以当1a 时,函数 fx在区间0,没有零点. （2）解: 2cosfxxax ,0,x, 故2cossin0 xaxaxa在0,x上恒成立, 设 2cossinxaxagaxx ,0,x, 所以 000g ,
8、 220ga ,即a , 因为 2sincos2sin2 4 gaxxaxax , 由a ,得0a , 所以在区间0, 4 上 gx单调递减,所以 2 022 4 aggxga ； 在区间, 4 上 gx单调递增, 222 4 aggxga , 试卷第 4 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 又a ,所以 020ga , 220 4 ga , 20ga , 故 gx在区间, 4 上存在唯一零点区间 0 x,由 gx的单调性可知, 在区间 0 0,x上 0gx , g x单调递减； 在区间 0, x上 0gx , g x单调递增, 00 0 g xg g xg
9、 ,故a 【点睛】 本题考查函数的零点的分布问题,考查利用导函数研究函数的单调性,考查利用导函数处 理恒成立问题,考查运算能力 3 （ （2019 福建省厦门双十中学高三月考）福建省厦门双十中学高三月考）已知已知mR ，且，且01m，函数，函数 2 13 sin 22 f xxmxx （1） fx在在0,1x上的极值点个数；上的极值点个数； （2）研究函数）研究函数 yf x在在0,1x的零点个数的零点个数. 【答案】【答案】 （1）1 个； （2）无零点 【解析】【解析】 【分析】 （1）求得 cosfxxmx ， 1 sin0fxx ，得出 fx 在0,1x上单 调递增， 由01m， 得到
10、 00 f ， 10 f ， 得到存在 0 0,1x ， 使得 0 0fx， 进而得到函数 fx单调性，即可得到答案. （2）由（1）得出函数 2 000 min 13 sin 22 f xxmxx，且 00 cos0 xmx， 设 2 13 cossin 22 g xxxxx ,0,1x，转化为 sin0gxxxx 在 0,1恒成立，结合 g x的单调性，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数 2 13 sin 22 f xxmxx， 试卷第 5 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 则 cosfxxmx ， 1 sin0fxx ， 所以 fx
11、 在0,1x上单调递增， 因为01m，所以 010fm ， 11cos10fm ， 所以存在 0 0,1x ，使得 0 0fx， 所以当 0 0,xx， 0fx，函数 fx在 0 0,x递减， 当 0,1 xx， 0fx，函数 fx在 0,1 x递增， 所以 fx在0,1x存在唯一的极小值点，没有极大值点，所以极值点有 1 个. （2）由（1）知 fx在 0 0,x递减，在 0,1 x递增，其图像如图所示， 可得 3 00 2 f ， 13 1sin10 22 fm ， 2 0000 min 13 sin 22 f xf xxmxx ，且 00 cos0 xmx， 又由 2 000000 13
12、 cossin 22 f xxxxxx ，即 2 00000 13 cossin 22 f xxxxx ， 设 2 13 cossin 22 g xxxxx ,0,1x， 则 sin0gxxxx 在0,1x恒成立， 所以故 g x在0,1x单调递减， 所以 13 1cos1sin1 22 g xg 13 cos60sin600 22 ， 所以 0f x 在0,1x恒成立，即 fx在0,1x无零点. 试卷第 6 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化 归思想、逻辑推理能力与计算
13、能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围； 也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 4 （ （2019 山东省山东师范大学附中高三月考）山东省山东师范大学附中高三月考）设函数 设函数 sin x f xeaxb. . （）当）当1a ，0,x时，时， 0f x 恒成立，求恒成立，求b的范围；的范围； （）若）若 fx在在0 x 处的切线为处的切线为10 xy ，且方程，且方程 2mx f x x 恰有两解，恰有两解， 求实数求实数m的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】（I） 1b （
14、II） 1 0m e 【解析】【解析】 试题分析： （1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得 最小值大于等于 0即可； （2）根据切线得到0a ，2b ，方程 2 2 x mx e x 有两 解，可得22 x xexmx，所以 x xem有两解，令 x g xxe，研究这个函数的 单调性和图像，使得常函数 y=m，和 x g xxe有两个交点即可. 解析： 由 sin x f xeaxb， 当1a 时，得 cos x fxex. 当0,x时，1,cos1,1 x ex ，且当cos1x 时，2,xkkN，此 时1 x e . 所以 cos0 x fxex，即 f x
15、在0,+上单调递増， 所以 min 01f xfb ， 试卷第 7 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 由 0f x 恒成立，得10b，所以1b . （2）由 sin x f xeaxb得 cos x fxeax，且 01fb . 由题意得 0 01fea，所以0a . 又0,1 b在切线10 xy 上. 所以0 110b .所以2b . 所以 2 x f xe. 即方程 2 2 x mx e x 有两解，可得 22 x xexmx，所以 x xem. 令 x g xxe，则 1 x gxex， 当, 1x 时， 0gx ，所以 g x在, 1
16、上是减函数. 当1,x 时， 0gx ，所以 g x在1, 上是减函数. 所以 min 1 1g xg e . 又当x 时， 0g x ；且有 10ge. 数形结合易知： 1 0m e . 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零 点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求 解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）转化为两熟 悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5 （ （2019 四川省成都七中高三期中（理） ）四川省成都七中高三期中（理） ）已知函数已知函数 sin11
17、 22 6 x x f xg xaxx e ，其中，其中a为实数，为实数，e为自然对数的底为自然对数的底 数数. （1）求函数）求函数 fx的单调区间；的单调区间； （2）是否存在实数）是否存在实数a，使得对任意给定的，使得对任意给定的 0 22x ，在区间，在区间22，上总存在上总存在 三个不同的三个不同的12 3 i x i ， ，使得，使得 1230 f xf xf xg x成立？若存在，求出成立？若存在，求出 实数实数a的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由. 试卷第 8 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 【答案】【答案】
18、 （1）单调递增区间为0 2 ，与 3 2 2 ，单调递减区间为2 2 ，与 3 0 2 ，（2）存在， 22 1111 212122 a ee 【解析】【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解， （2）结合（1）的讨论,对a进行分类讨论，即可求解 【详解】 解： （1） sin1, 22 x x f xx e ， 2 cossin1cossin1 22 xx x x exxexx fxx e e ， . 当 0fx ，即cossin10 xx 时， 32 sin 42 x . 4 22 4 33 4 kkxkZ ， 22 2 kxkkZ ，. 当0k 时，0
19、 2 x ；当1k 时， 3 2 2 x . 当 0fx ，即cossin10 xx 时， 32 sin 42 x . 53 44 22 4 kxkkZ ， 222 2 kxkkZ ，. 当0k 时，2 2 x ；当1k 时， 3 0 2 x . 函数 fx的单调递增区间为 0 2 ，与 3 2 2 ， 单调递减区间为2 2 ，与 3 0 2 ，. （2） 由 （1） 可知， 函数 fx在22x ，有两个极小值， 3 0 22 ff ， 存在一个极大值 01f，另外 2 2 1 22fef e ，. 试卷第 9 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线
20、 对于函数 1 22 6 g xaxx ，. 假设存在满足题意的实数a. 当0a 时， 2 11 1 6 g x e ，满足题意. 当0a 时， 11 22 66 g xaa ，. 由题意 2 11 2 6 1 21 6 a e a ，解得 2 11 0 122 a e . 当0a 时， 11 22 66 g xaa ，. 由题意 2 11 2 6 1 21 6 a e a ，解得 2 11 0 212 a e . 综上，实数a的取值范围是 22 1111 212122 a ee . 【点睛】 本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力，属于难题 6 （ （2020 海南省海南中学高二期末
21、）海南省海南中学高二期末）已知已知 443 1 sincos30 443 xx f xx xf . （1）求）求 0 f ； （2）设）设 2 1 sin 22 x g xx，求证：，求证： g x在在,0内有且只有一个零点；内有且只有一个零点； （3）求证：当）求证：当0 x 时，时，( )1f x . 【答案】【答案】 （1） 00 f ； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1） 利用平方差公式和二倍角余弦公式可得出 3 1 cos30 23 x f xx xf ， 求导， 将0 x 代入导函数的解析式，可得出关于 0 f 的方程，即可解出 0 f 的值
22、； （2）利用导数分析函数 yg x在区间,0上的单调性，结合零点存在定理可证 明出结论成立； 试卷第 10 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 （3） 分析出函数 yf x在区间0,上为增函数， 由 0f xf可证明出不等 式成立. 【详解】 （1） 222233 11 sincossincos3030cos 4444332 xxxxx f xxxfxxf ， 2 1 30sin 22 x fxxf， 030ff ，解得 00 f ； （2） 2 1 sin 22 x g xx，xR， 1 cos2 42 x gxx，xR， 1 2sin0 82 x gx
23、，xR，函数 ygx 在R上单调递增. 1 00 4 g ， 11 1cos20 42 g ， 所以， 0 1,0 x 使得 0 0gx，列表如下： x 0 ,x 0 x 0, x gx 0 g x 极小值 0 00g xg， 11 11sin0 22 g ， 10 1,xx 使 1 0g x， 当 0,0 xx时，函数 yg x单调递增，此时， 00g xg. 因此，函数 yg x在,0内有且只有一个零点； （3）由于函数 ygx 在R上单调递增，则当0 x 时， 1 00 4 gxg， 所以，函数 2 1 sin 22 x fxxg x在0,单调递增. 00fxg xg ，函数 yf x在
24、0,上单调递增， 当0 x 时， 01f xf . 【点睛】 本题考查导数值的计算，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题以及证明不等式， 试卷第 11 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 解题时要结合导数分析函数的单调性，在求解零点问题时，可以结合零点存在定理来分 析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7 （ （2019 湖南省雅礼中学高三月考（理） ）湖南省雅礼中学高三月考（理） ）已知函数已知函数 sin1f xxx. （1）求曲线）求曲线 yf x在点在点, 22 f 处的切线方程；处的切线方程； （2）判断）判断 fx在在0,
25、内的零点个数，并加以证明内的零点个数，并加以证明. 【答案】【答案】 （1）10 xy （2） fx在0,内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】【解析】 【分析】 （1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. 【详解】 （1） sincosfxxxx，所以切线方程为 222 yffx ，即1yx，亦即10 xy . （2）当0, 2 x 时， sincos0fxxxx，所以 fx在0, 2 上单调递 增，且 010f ， 10 22 f ，故 fx在0, 2 内有唯一的零点 1 x. 当, 2 x 时，令 g xfx，则
26、 2cossin0gxxxx，所以 g x在, 2 上单调递减，且10 2 g ， 0g ，所以存在 , 2 ，使得 0g，所以当, 2 x 时， 0fxg x，即 fx在 , 2 递增， 当,x 时， 0fxg x，即 fx在, 递减. 试卷第 12 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 又 10 22 ff ， 10f . 故 fx在, 内有唯一的零点 2 x. 综上， fx在0,内有且仅有两个零点 1 x， 2 x. 【点睛】 此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论 函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强. 8 （
27、 （2020 江西省高二期末（文） ）江西省高二期末（文） ）已知函数已知函数 sin cosf xaxxx. . 当当2a 时，证明时，证明: : fx在在0,上有唯一零点；上有唯一零点； (2)(2)若若 2f x 对对0,x 恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】(1)证明见解析；(2) ,2 2 【解析】【解析】 【分析】 （1） 通过导数可得 fx单调性， 利用零点存在性定理依次验证 fx在各个单调区间 内是否有零点， 结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性， 从而可证得结论；（2） 采用分离变量的方式将问题转化为 2cos sin x ax
28、x 对0,x 恒成立，令 2cos sin x g xx x ，利用导数得到 g x在0,内的最小值，从而得到结果. 【详解】 （1）当2a 时， 2sincosf xxxx sin2cossin2cosfxxxxxxx 当0, 2 x 和2,时， 0fx ；当,2 2 x 时， 0fx f x在0, 2 ，2,上单调递增；在,2 2 上单调递减 010f ，20 22 f f x在0, 2 有一个零点 2cos20f f x在,2 2 上没有零点 试卷第 13 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 10f f x在2,上没有零点 综上所述： fx
29、在0,上有唯一零点 （2）当0,x时， 2f x 恒成立等价于 2cos sin x ax x 对0,x 恒成立 令 2cos sin x g xx x ，0,x 则 2 22 sin2coscoscos2cos 1 sinsin xxxxx gx xx 当0, 2 x 时， 0gx ；当, 2 x 时， 0gx g x在0, 2 上单调递减，在, 2 上单调递增 min2 22 g xg 2 2 a 即a的取值范围为：,2 2 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用， 涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点 个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转
30、 化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范 围. 9 （ （2014 辽宁省高考真题（理） ）辽宁省高考真题（理） ）已知函数已知函数 8 ( )(cos)(2 )(sin1) 3 f xxxxx， 2 ( )3()cos4(1 sin )ln(3) x g xxxx . 证明： （证明： （1）存在唯一）存在唯一 0 (0,) 2 x ，使，使 0 ()0f x； （2）存在唯一）存在唯一 1 (, ) 2 x ，使，使 1 ( )0g x，且对（，且对（1）中的）中的 01 xx. 【答案】【答案】 （1）详见解析； （2） 详见解析. 【解析】【解析】
31、 【分析】 【详解】 （1）当(0,) 2 x 时，函数( )f x在 试卷第 14 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 (0,) 2 上为减函数，又 2 816 (0)0,()0 323 ff ，所以存在唯一 0 (0,) 2 x ，使 0 ()0f x. （2）考虑函数 3()cos2 ( )4ln(3), 1 sin2 xx h xx x x ， 令tx，则, 2 x 时，0, 2 t ， 记 3 cos2 ( )()4ln(1) 1 sin tt u thtt t ，则 3 ( ) ( ) (2 )(1 sin ) f t u t tt ， 有（1）
32、得，当 0 (0,)tx时，( )0u t ，当 0 (,) 2 tx 时，( )0u t . 在 0 (0,)x上( )u t是增函数，又(0)0u，从而当 0 (0,tx时，( )0u t ，所以( )u t在 0 (0,x上无零点. 在 0 (,) 2 x 上( )u t是减函数， 又 0 ()0, ()4ln20 2 u xu ， 存在唯一的 10 (,) 2 tx ， 使 1 ( )0u t. 所以存在唯一的 10 (,) 2 tx 使 1 ( )0u t. 因此存在唯一的 11 (, ) 2 xt ，使 111 ( )()( )0h xhtu t. 因为当(, ) 2 x 时，1
33、sin0 x，故( )(1 sin ) ( )g xx h x与( )h x有相同的零点， 所以存在唯一的 1 (, ) 2 x ，使 1 ( )0g x. 因 1110 ,xt tx，所以 01 xx 考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用. 10 （ （2020 江西省高三其他（文） ）江西省高三其他（文） ）已知函数已知函数 2 1 lnln1 2 f xaxxxx . （1）若）若 2 e a ，讨论，讨论 fx的单调性；的单调性； （2）若）若1a ，1x ，求证：，求证： 2 3 21 sin 2 f xxxx . 【答案】【答案】 （1）当0a 时， fx在 1 0,
34、 e 上单调递增，在 1 , e 上单调递减；当 0 2 e a时， fx在 1 0, e 和 1 , 2a 上单调递增，在 11 , 2ea 上单调递减； （2） 试卷第 15 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 证明见解析 【解析】【解析】 【分析】 （1）由题意得， 21 ln10fxaxxx ，分0a 和0 2 e a两种情况讨 论，从而得出结论； （2）由题意分析，只需证 2 1 ln10 xxx x ，由1x 得 2 0 xx ，设 1 ln1g xx x ，根据导数研究其单调性与最值，从而得出证明 【详解】 解： （1） 2 1 l
35、nln1 2 f xaxxxx ， 2ln2ln1fxaxxaxx 21 ln10axxx， 若0a ，则210ax ，当 1 0, e x 时， 0fx ， fx是增函数， 当 1 ,x e 时， 0fx ， fx是减函数； 若0 2 e a，即 11 2ae ， 当 1 0, e x 和 1 , 2 x a 时， 0fx ， fx是增函数， 当 11 , 2 x ea 时， 0fx ， fx是减函数； 综上可得，当0a 时， fx在 1 0, e 上单调递增，在 1 , e 上单调递减； 当0 2 e a时， fx在 1 0, e 和 1 , 2a 上单调递增，在 11 , 2ea 上单调
36、递减； （2）当1a 时，要证 2 3 21 sin 2 f xxxx ， 只需证 2 3 22 2 f xxx，即证 2 1 ln10 xxx x ， 1x ， 2 0 xx ，设 1 ln1g xx x ， 试卷第 16 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 则 22 111 0 x gx xxx ， g x在1,上是增函数， 10g xg， 1 ln10 x x ， 2 1 ln10 xxx x ， 因此 2 3 21 sin 2 f xxxx 成立 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数证明不等式，考查计算 能力，考查分类讨
37、论思想，考查转化与化归思想，属于难题 11 （ （2020 四川省高三三模（理） ）四川省高三三模（理） ）已知函数已知函数 sincosf xxxx （1）判断函数）判断函数 fx在区间在区间(0,2 ) 上零点的个数，并说明理由上零点的个数，并说明理由 （2）当）当0 x时，时， 比较比较1x 与与ln x的大小关系，并说明理由；的大小关系，并说明理由； 证明：证明： cos ln 1cos x f xef xx 【答案】【答案】 （1）有唯一一个零点，理由详见解析； （2）1lnxx ，证明详见解析； 证明见解析 【解析】【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单
38、调性，结合函数的性质可求函数的 零点个数； （2）令 1 lng xxx ，然后对其求导，结合导数可研究函数的单调性，进而由 函数的取值范围可比较大小； 结合的结论，利用分析法分析结论成立的条件，然后利用导数可求 【详解】 （1）因为 sincosf xxxx，所以 sinfxxx 当(0, )x时， sin0,0 xfx ，函数 fx在(0, )上单调递增， 所以 00f xf，且 0f，故 fx在(0, )上无零点； 当( ,2 )x时， sin0,0 xfx ，函数 fx在( ,2 )上单调递减， 又由( )0,(2 )20ff ， 试卷第 17 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:
39、_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 故 fx在区间( ,2 )上有唯一零点； 综上，函数 fx在区间(0,2 ) 上有唯一一个零点 （2）1lnxx ，证明过程如下： 设函数 1 lng xxx ，则 1,(0 ) x gxx x ， 令 0gx ，即 1 0 x x ，解得01x； 令 0gx ，即 1 0 x x ，解得1x， 所以函数 yg x在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，）上单调递增 则函数 yg x在1x 处取得极小值，亦即最小值 10g， 即ln10 xx ， 综上可得，1lnxx 成立； 要证：lnf（x）+1ecosxf（x）cosx 成立， 即证明 ln（s
40、inxxcosx）（sinxxcosx）ecosxcosx1成立， 因为 f（x）在（0，）上单调递增， 00f xf， 即 sinxxcosx0，所以（sinxxcosx）ecosx0， 由知1lnxx ，即有1 lnxx ， 有（sinxxcosx）ecosx1+ln（sinxxcosx）ecosx成立， 当 1 2 x时， 11 cos2 2 111111 (sincos)1 lnsincos 222222 ee 成立， 由 11 cos2 2 111111 (sincos)1 lnsincos 222222 ee 成立， 此时能取等号，即有 cos (sincos )1 ln(sinc
41、os )cos x xxxexxxx 成立， 即 cos ln 1cos x f xef xx 成立. 【点睛】 本题主要运用导数研究考查了函数的零点个数，比较函数式的大小及证明不等式，其中 解答中合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了 构造思想，以及推理与运算能力，属于难题 12 （ （2020 湖北省高三三模（文） ）湖北省高三三模（文） ）已知函数已知函数 2 f xx xaaR. 试卷第 18 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 （1）若）若3a ，求过点，求过点4,4P且与且与 yf x相切的直线方程；相切的直线方程
42、； （2）若）若0a ，证明：，证明： 2 2 2 sin2 sin4 2sin xa xa x . 【答案】【答案】 （1）932yx或4y （2）证明见解析； 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程； （2）判断函数的单调性，要证： 2 22 (sin2) (sin4) 2sin xa xa x ，0a，只要证 2 2 sinsinxx，根据正弦函数的性质即可证明 【详解】 解： （1）若3a 为偶函数， 2 32 369f xx xxxx， 2 3129fxxx， 当切点为4,4P时， 49 f ，切线方程为944yx，即932yx 当切点不
43、为4,4P时，设切点为 00 ,Q xy， 2 000 3129kfxxx 切 ， 切线方程为 2 2 00000 31293yxxxxxx，其过点4,4P， 有 2 2 00000 4312943xxxxx，易知 0 4x 是其一解. 即 22 000000 312944210 xxxxxx， 即 2 00 410 xx，故点Q的横坐标 0 1x ，有1,4Q， 又 10 f ，故切线方程为4y ， 综合可知，若3a ，过点4,4P且与 yf x相切的直线方程为932yx或 4y . （2） 2 322 2f xx xaxaxa x， 22 343fxxaxaxaxa，0a ， , 3 a
44、x ， , a时， 0fx ， fx单调递增； 由0 3 a a ，有 fx在, 1 单调递增， 试卷第 19 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 由sin1,1x ，有sin21x ， 2 sin41x ， 要证： 2 2 2 sin2 sin4 2sin xa xa x ，0a ， 即证： 2 2 22 sin2sin2sin4sin4xxaxxa， 2 sin2sin4fxfx， 2 sin2sin4xx ， 2 2 11 2sinsinsin 24 xxx ，此式恒成立， 故0a 时， 2 2 2 sin2 sin4 2sin xa xa
45、 x 恒成立. 13 （ （2020 广州大学附属中学高三一模（理） ）广州大学附属中学高三一模（理） ）已知函数已知函数 2 cosf xxx （1）求函数）求函数 fx的最小值；的最小值； （2）若函数）若函数 g xf xa在在0,上有两个零点上有两个零点 1 x， 2 x，且，且 12 xx，求证：，求证： 12 2 32 xx . 【答案】【答案】 （1） 2 min 4 f x （2）证明见解析； 【解析】【解析】 【分析】 （1） 判断函数为偶函数， 求导得到 2sinfxxx ， 计算得到0, 2 x ， fx 单减，, 2 x ， fx单增，得到最小值. （2） 只需证明 1
46、2 22 xx ， 构造函数 F xf xfx， 确定函数单调递增， 故 11 f xfx，即 21 f xfx，根据函数单调性得到证明. 【详解】 （1） 2 cosf xxx， 2 cosfxxxf x， fx为偶函数，故只需求0,x时 fx的最小值， 试卷第 20 页，总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 2sinfxxx ，当0, 2 x 时，设 2sinh xxx， 2cosh xx ，显然 h x 单增，而 00 h ，0 2 h ， 由零点存在定理，存在唯一的 0 0, 2 x ，使得 0 0h x， 当 0 0,xx， 0h x， h x单减， 当
47、 0, 2 xx ， 0h x ， h x单增， 而 00h，0 2 h ，故0, 2 x ， 0h x ， 即0, 2 x ， 0fx ， fx单减； 又当, 2 x ，2sinxx， 0fx ， fx单增， 所以 n 2 mi 24 f xf . （2） 112122 1212 3131 2 2222 3332 xxxxxx xxxx ， 只需证 12 22 xx ，由（1）得 1 0, 2 x ， 2 , 2 x ， 构造函数 F xf xfx，0, 2 x ， 22 sin0Fxfxfxx ，即 F x单增， 所以 0 2 F xF ，即当0, 2 x 时， f xfx， 而 1 0,
48、 2 x ，所以 11 f xfx，又 12 f xf x， 即 21 f xfx，此时 2 x， 1 , 2 x ， 试卷第 21 页，总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 fx在, 2 单增，所以 21 xx， 12 xx，即证 12 22 xx . 【点睛】 本题考查了函数的最值，函数零点问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合 应用能力. 14 （ （2020 天津高三二模）天津高三二模）已知函数已知函数 0 2 xx f xee sinxxe ， （为自然对数的为自然对数的 底数） 底数） （1 1）求函数）求函数 fx的值域；的值域； （2 2）若不等式）若不等式( )(1)(1 sin )f xk xx对任意对任意0 2 x ，恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范的取值范 围；围； （3 3）证明：）证明： 12 13 ()1 22 x ex 【答案】【答案】 （1）0,1； （2） 2 1 1 2 e k ； （3）证明见解析. 【解析】【解
