1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省高三（上）质检数学试卷（学年广东省高三（上）质检数学试卷（12 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 | 22Axx 剟， 2 |30Bx xx，则(AB ) A(0，2 B 2，0) C 2，3) D( 2,3) 2 （5 分）已知复数 5 2 1 i zi i ，则| (z ) A3 B5 C2 D1 3 （5 分） 九章算术是我国古代最
2、著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟 米、方程勾股等九章卷一方田中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方 法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而” 意思是圆的面积为“直径平方，乘以三， 再取四分之一” ，则这里的圆周率为( ) A3 B3.1 C3.14 D3.1416 4 （5 分）实数x，y满足0 x ，0y ，则下列不等式成立的是( ) A2xyxy B 2 11 xy xy C 114 xyxy D|xyxy 5（5 分） 数学与文化有许多奇妙的联系， 如诗词中有回文诗回文联 “上海自来水来自海上” ， 既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”
3、，两位数的回文数 11，22，33 等，则三位数的偶数回文数的个数为( ) A40 B45 C50 D54 6 （5 分）已知点F为抛物线 2 4yx的焦点，过点(2,0)的直线与抛物线交于A，B两点， 则FA FB的取值范围为( ) A(，7 B(，8 C( 10，7 D( 8，7 7 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2ab，3sin2sinBC， 则 sin2sin ( sin2 BC A ) A 1 6 B4 C 5 13 D4 第 2 页（共 22 页） 8 （5 分）若函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称，( )f x对任意的实数x都有 (4
4、)( )2f xf xf（2） ，且f（1）1，则(2022)(2021)(ff ) A0 B1 C2 D3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题分在每小题给出的选项中有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分部分选对的得分部分选对的得 3 分分 9 （5 分）方程“ 22 (log 3)(log 3)1 mn xy”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条 件是( ) A1nm B1mn C13mn D3mn 10 （5 分）如图，在三棱锥ABCD中，C
5、DBC，ABBD，平面ABC 平面BCD， 则下列判断中正确的有( ) ACDAC BAB 平面BCD CADBC D图中恰有三对平面互相垂直 11 （5 分）函数( )sin2cos2 (0)f xaxbx a的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图 象，若( )g x为奇函数，则关于函数( )f x，下列结论正确的是( ) A( )f x的最大值为2a B( )f x的图象的一条对称轴为 6 x C( )f x的图象的一个对称中心为(,0) 3 D( )f x的一个递增区间为 5 , 12 12 12 （5 分）在平面四边形ABCD中，ABC的面积是ADC的面积的 3 倍，又数列
6、 n a满 足 1 6a ， 当2n时恒有 1 1 (3)(3 ) nn nn ACaABaAD ， 设数列 n a的前n项和为 n S 则 下列判断正确的是( ) A数列 n a为等比数列 B数列 n a为递增数列 第 3 页（共 22 页） C数列 3 n n a 为等比数列 D 1 13 ()3 22 n n Sn 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 2 ( )(2)2f xaln xx的图象在点( 1，( 1)f 的切线与直线 310 xy 垂直，则a 14 （5 分）冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人
7、在冬季里鼻炎发作的概率为 0.96，鼻炎发作 且感冒的概率为 0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为 15（5 分） 已知A，B，C是球O球面上的三点，6ACBC，6 3AB ， 且四面体OABC 的体积为24 3，则球O的表面积为 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点P是双曲 线T右支上一点， 12 F PF的角平分线交x轴于点M，|(PMc c为半焦距） ， 且 2 2OMMF （点O为坐标原点） ，则双曲线T的离心率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sntn，且 2 a， 4 a， 8 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18（12 分） 在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且满足(2)coscosacBbC （1）求角B的大小； （2） 现给出三个条件2ac； AC边上的中线BD长为 7 2 ； 角B的平分线交边AC于 M，且1BM 从中选出两个可以确定ABC的条件，写出您的选择，并以此为依据求出 ABC的面积 19
9、（12 分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习 惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做 5 种价格订制套餐外卖，套餐最低 20 元，最高 80 元现从该平台随机抽取一天中 100 份点餐进行统计按点餐价格统计结果如 表： 点餐价格（单位：元） 20 30 40 60 80 点餐份数 15 30 30 20 5 第 4 页（共 22 页） 如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率 （1）若此外卖平台一天的点餐总收入为 40000 元，试估计该平台一天用户的点餐份数； （2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动规则为：每点一份
10、套餐 付款后即返还一个现金红包， 红包有三种： 5 元红包获奖率为80%， 30 元红包获奖率为15%， 60 元红包获奖率为5% （）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐求该平台在活动期间 客户一次消费中吃免费套餐的概率 （）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出 一份套餐所得利润为X，求X的期望 20 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 4ABAA， 1 3 A AB ，BCAC，平 面 11 AA B B 平面ABC，E，F分别为AB， 11 BC的中点 （1）求证：/ /EF平面 11 A ACC； （2）若二
11、面角 1 AACB的正切值为 2，求锐二面角CEFB的余弦值 21 （12 分）如图所示，已知A，B，C是焦距为 4 的椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 上的三 点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且0BC BA，| 2|BCBA （1）求椭圆G的方程； （2） 过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆 22 :2O xy的两条切线， 切点分别为M，N， 若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当EOF的面积最小时求PMN与EOF的 面积之比 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）已知函数 3 ( )2(1) 2 x f xeax，aR （1）讨论函数( )f x的单调
12、区间； （2）若 22 1 ( )2(1) 2 f xxa对0 x，)恒成立，求a的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省高三（上）质检数学试卷（学年广东省高三（上）质检数学试卷（12 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 | 22Axx 剟， 2 |30Bx xx，则(AB ) A(0，2 B 2，0) C 2，3) D( 2,3
13、) 【解答】解： | 22Axx 剟， 2 |30 |03Bx xxxx， 2AB ，3) 故选：C 2 （5 分）已知复数 5 2 1 i zi i ，则| (z ) A3 B5 C2 D1 【解答】解： 5 22 (1) 1(1)(1) iii zii iii ， 12i 则|5z 故选：B 3 （5 分） 九章算术是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟 米、方程勾股等九章卷一方田中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方 法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而” 意思是圆的面积为“直径平方，乘以三， 再取四分之一” ，则这里的圆周率为( ) A3 B3.1 C
14、3.14 D3.1416 【解答】解：由题意得， 2 1 3 4 Sd，d为直径， 圆的面积 22 1 4 Srd， 2 2 31 44 d d， 3 故选：A 4 （5 分）实数x，y满足0 x ，0y ，则下列不等式成立的是( ) 第 7 页（共 22 页） A2xyxy B 2 11 xy xy C 114 xyxy D|xyxy 【解答】解：因为0 x ，0y ， 所以2xyxy ，当且仅当xy时取等号，A错误； 222 11 2 xyxy xy xyxy xy ，当且仅当xy时取等号，B错误； 2224 xyxyyx xyxy ，当且仅当xy时取等号， 所以 114 xyxy ，C错
15、误； 当x y时，|xyxy显然成立， 当xy时， 2 xyy，所以yxy， 所以22yxy ，即2xyxyxy， 所以 2 ()xyxy， 所以xyxy 故|xyxy，D 成立 故选：D 5（5 分） 数学与文化有许多奇妙的联系， 如诗词中有回文诗回文联 “上海自来水来自海上” ， 既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521” ，两位数的回文数 11，22，33 等，则三位数的偶数回文数的个数为( ) A40 B45 C50 D54 【解答】解：根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为 2、4、6、8 中的 1 个，有 4 种情况， 对于十位数字，没有限制，有
16、 10 种情况， 则三位数的偶数回文数有4 1040个， 故选：A 6 （5 分）已知点F为抛物线 2 4yx的焦点，过点(2,0)的直线与抛物线交于A，B两点， 第 8 页（共 22 页） 则FA FB的取值范围为( ) A(，7 B(，8 C( 10，7 D( 8，7 【解答】解：由题意，设直线方程为2(0)xtyt，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立方程组可得 2 2 4 xty yx ，消去x可得， 2 480yty ， 则有 12 12 4 8 yyt y y ， 又 1122 (1,),(1,)FAxyFBxy， 所以 22 121212121212
17、(1)(1)(1)(1)(1)()147FA FBxxy ytytyy yty yt yyt ， 因为0t ，所以 2 477FA FBt ， 又当0t 时，直线为2x ，FA FB取得最大值7， 所以FA FB的取值范围为(，7 故选：A 7 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知2ab，3sin2sinBC， 则 sin2sin ( sin2 BC A ) A 1 6 B4 C 5 13 D4 【解答】解：由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 3sin2sinBC，32bc， 由余弦定理知， 222 222 3 ()4 1 2 cos 3 2
18、4 2 2 b bb bca A b bc b ， sin2sinsin2sin23 4 1 sin22sincos2 cos 22() 4 BCBCbcbb AAAaA b 故选：D 8 （5 分）若函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称，( )f x对任意的实数x都有 第 9 页（共 22 页） (4)( )2f xf xf（2） ，且f（1）1，则(2022)(2021)(ff ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：函数(2)f x的图象关于直线2x 对称， 由函数的图象的平移可知函数( )yf x关于0 x 对称，即函数为偶函数， ( )f x对任意的实数x都有(4)( )2f
19、xf xf（2） ， 令2x 可得，f（2）( 2)2ff（2） ， ( 2)ff （2）f（2） ，f（2）( 2)0f， (4)( )f xf x，即函数是以 4 为周期的周期函数， (2022)(4 5052)fff（2）0，(2021)(4 505 1)fff（1）1， (2022)(2021)0 1 1ff 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题分在每小题给出的选项中有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分部分选对的得分部分选对的得 3
20、 分分 9 （5 分）方程“ 22 (log 3)(log 3)1 mn xy”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条 件是( ) A1nm B1mn C13mn D3mn 【解答】解：由已知把椭圆的方程化为标准方程为： 22 1 11 33 nm yx loglog ， 即 22 33 1 nm yx loglog ，因为椭圆的焦点在y轴上， 则 3 3 33 0 0 0,1 0,1 n m nm log log loglog mm nn ，解得1nm， 故焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是C，D， 故选：CD 10 （5 分）如图，在三棱锥ABCD中，CDBC，ABBD，平面ABC
21、 平面BCD， 则下列判断中正确的有( ) 第 10 页（共 22 页） ACDAC BAB 平面BCD CADBC D图中恰有三对平面互相垂直 【解答】解：对于选项A因为平面ABC 平面BCD， 又因为平面ABC平面BDCBC， 因为CD 平面BDC， 又CDBC， 所以CD 平面ABC， 因为AC 平面ABC，AB平面ABC， 所以CDAC，故A正确， 对于选项B由上可知，CDAB， 因为ABBD， 又因为BDCDD， 所以AB 平面BCD，故B正确， C若ADBC，因为CDBC， 又因为ADCDD， 所以BC 平面ACD， 又因为AC 平面ACD， 所以BCAC， 由上可知ABBC，那么
22、/ /ABAC，矛盾，故C错误 对于选项D，因为BC 平面BCD， 所以ABBC， 所以ABC，ABD，BCD为直角三角形，故D正确 故选：ABD 11 （5 分）函数( )sin2cos2 (0)f xaxbx a的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图 第 11 页（共 22 页） 象，若( )g x为奇函数，则关于函数( )f x，下列结论正确的是( ) A( )f x的最大值为2a B( )f x的图象的一条对称轴为 6 x C( )f x的图象的一个对称中心为(,0) 3 D( )f x的一个递增区间为 5 , 12 12 【解答】解：因为( )f x向右平移 6 个单位长
23、度，得到( )g x的图象， 所以()( ) 6 f xg x ， 因为( )g x为奇函数， 所以(0)0g，即()0 6 f ， 所以sin(2()cos(2()0 66 ab ，即 31 0 22 ab， 所以3ba， 所以( )sin2cos2sin23 cos2f xaxbxaxax 13 2 ( sin2cos2 )2 sin(2) 223 axxax ，(0)a A因为0a ， 所以当sin(2)1 3 x 时，( )2 max f xa，故A正确， B令2() 32 xZ kk， 所以 122 x k ，()Zk， 当0k时， 12 x ；当1k时， 7 12 x ， 所以 6
24、 x 不是对称轴，故B不正确， C令2() 3 xZ kk， 所以() 62 xZ k k， 当1k时， 623 x ， 所以( 3 ，0)是( )f x的一个对称中心，故C正确， 第 12 页（共 22 页） D令 3 222() 232 xZ k 剟kk， 所以 7 () 126 xZ k 剟kk， 当0k时，12x ， 7 12 ， 所以12 ， 7 12 为( )f x的一个单调递减区间，故D不正确 故选：AC 12 （5 分）在平面四边形ABCD中，ABC的面积是ADC的面积的 3 倍，又数列 n a满 足 1 6a ， 当2n时恒有 1 1 (3)(3 ) nn nn ACaABa
25、AD ， 设数列 n a的前n项和为 n S 则 下列判断正确的是( ) A数列 n a为等比数列 B数列 n a为递增数列 C数列 3 n n a 为等比数列 D 1 13 ()3 22 n n Sn 【解答】解：如图，连接BD交AC于点E， 由ABC的面积是ACD面积的 3 倍， 得3BEED，即3EBED ， 1 1 3n n xa ，3n n ya，ACAE， 即()()AEACxAByADx AEEBy AEED ()()( 3)xy AExEByEDxy AExy ED ， 又AE与ED不共线， 所以303 y xy x ，即 1 1 3 3 3 n n n n a a ， 即 1
26、 32 3n nn aa ， 可得 1 1 2 33 nn nn aa ，2n， 所以 3 n n a 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， 所以22(1)2 3 n n a nn， 则23n n an，故A，C均不正确； 第 13 页（共 22 页） 由 1 1 2(1) 33(1) 1 23 n n n n ann ann ，即 1nn aa ，则数列 n a为递增数列，故B正确； 23 2(1 32 33 33 ) n n Sn ， 2341 32(1 32 33 33) n n Sn ， 两式相减可得 2341 22(33333 )23 nn n Sn 1 3(1 3 ) 223
27、1 3 n n n ， 化为 1 13 () 3 22 n n Sn ，故D正确 故选：BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 2 ( )(2)2f xaln xx的图象在点( 1，( 1)f 的切线与直线 310 xy 垂直，则a 1 【解答】解：函数 2 ( )(2)2f xaln xx的导数为( )4 2 a fxx x ， 可得( )f x在点( 1，( 1)f 的切线的斜率为( 1)4fa k， 由切线与直线310 xy 垂直，可得 1 (4)1 3 a ， 解得1a ， 故答案为：1 14 （
28、5 分）冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为 0.96，鼻炎发作 且感冒的概率为 0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为 7 8 【解答】解：设某人在冬季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B， 则P（A）0.96，()0.84P AB ， 第 14 页（共 22 页） 则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为 ()0.847 (|) ( )0.968 P AB P B A P A 故答案为： 7 8 15（5 分） 已知A，B，C是球O球面上的三点，6ACBC，6 3AB ， 且四面体OABC 的体积为24 3，则球O的表面积为 400 【解答】解：由已知6ABBC可知，
29、三角形ABC为等腰三角形， 则取边AB的中点为M，连接CM，如图所示： 则CMAB， 在直角三角形AMC中，6AC ，3 3AM ，所以 22 3CMACAM， 且 1 sin 2 CM A AC ，所以三角形ABC的外接圆半径 1 6 2sin BC r A ， 且 11 3 6 39 3 22 ABC SCMAB ， 设点O到平面ABC的距离为h，则 1 9 324 3 3 O ABC Vh ， 解得8h ， 所以四面体的外接球半径 2222 6810Rrh， 所以四面体的外接球的表面积为 2 4400SR， 故答案为：400 16 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy
30、Tab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点P是双曲 线T右支上一点， 12 F PF的角平分线交x轴于点M，|(PMc c为半焦距） ， 且 2 2OMMF （点O为坐标原点） ，则双曲线T的离心率为 6 34 17 【解答】解：由 2 2OMMF，设|OMt，则 2 | 2MFt， 12 | | 3OFOFt， 11 22 |3 2 |22 PFMFttct PFMFtt ， 又 12 | 2PFPFa，解得 1 | 4PFa， 2 | 2PFa， 第 15 页（共 22 页） 又 1 3 tc，则 1 4 | 3 MFc， 2 2 | 3 MFc， 在 1 PMF中， 222
31、1 44 16()2cos 33 accccPMF， 在 2 PMF中， 222 2 11 4()2cos 33 accccPMF， 由 11 PMFPMF ，可得 12 coscosPMFPMF ， 即有 2222 251442672caca ， 化为 22 72 17 ca， 可得 6 34 17 c e a ， 故答案为： 6 34 17 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sntn，且 2 a， 4 a， 8 a成等比数列
32、 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）当2n时， 22 1 (1)(1)21 nnn aSSntnnt nnt ， 又 2 a， 4 a， 8 a成等比数列， 2 (7)(3)(15)ttt，解得：1t ， 2 (2) n an n， 又 1 2a 也适合上式， 2 n an； （2）由（1）可得： 2 111 11 () 22(2)82 n nn b a annnn ， 2 2 1 111111111 32335 () 8 13243528 2(1)(2)16(32) n nnn T nnnnnn
33、18（12 分） 在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且满足(2)coscosacBbC （1）求角B的大小； （2） 现给出三个条件2ac； AC边上的中线BD长为 7 2 ； 角B的平分线交边AC于 第 16 页（共 22 页） M，且1BM 从中选出两个可以确定ABC的条件，写出您的选择，并以此为依据求出 ABC的面积 【解答】解： （1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， (2)coscosacBbC， 2sincossincossincosABCBBC，即2sincossin()sinABBCA， sin0A， 1 cos 2 B ， 由于(0, )B
34、，故 3 B （2）选： 2ac， 3 B ， 由余弦定理得， 222 2cosbacacB， 2222 42 2cos3 3 bccc cc ，即3bc， 2 A ， 1 () 2 BDBABC， 222 1 |(|2| ) 4 BDBABA BCBC， 22 71 (22 cos4) 443 cccc ，即 2 77 44 c，解得1c ， 2 33 22 ABC Sc 选： 2ac， 3 B ， 由余弦定理得， 222 2cosbacacB， 2222 42 2cos3 3 bccc cc ，即3bc， 2 A ， BM平分ABC， 6 ABM ， 又1BM ， 3 2 ABc， 2 3
35、3 3 28 ABC Sc 第 17 页（共 22 页） 选： 1 () 2 BDBABC， 222 1 |(|2| ) 4 BDBABA BCBC， 22 71 (2cos) 443 caca ，即 22 7aacc， 又BM平分ABC， 1 sin 2 ABCABMBCM SacBSS 11 1 sin1 sin 2626 ca ， 化简得，3acac， 两边平方得， 222 3()7a cacac， 解得， 185 6 ac ， 13255 sin 2324 ABC Sac 19 （12 分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习 惯，由此产生了一批外卖平台
36、已知某外卖点餐平台只做 5 种价格订制套餐外卖，套餐最低 20 元，最高 80 元现从该平台随机抽取一天中 100 份点餐进行统计按点餐价格统计结果如 表： 点餐价格（单位：元） 20 30 40 60 80 点餐份数 15 30 30 20 5 如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率 （1）若此外卖平台一天的点餐总收入为 40000 元，试估计该平台一天用户的点餐份数； （2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动规则为：每点一份套餐 付款后即返还一个现金红包， 红包有三种： 5 元红包获奖率为80%， 30 元红包获奖率为15%， 60 元红包获奖率为5% （）
37、假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐求该平台在活动期间 客户一次消费中吃免费套餐的概率 （）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出 一份套餐所得利润为X，求X的期望 第 18 页（共 22 页） 【解答】解： （1）设卖出一份套餐所得收入为W元， 则200.15300.3400.3600.2800.0540EW 总收入为 4000 元，平台一天用户的点餐份数为 40000 1000 40 份 （2）( ) i “该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐”为事件A， 情形有两类：红包为 30 元且点餐为 30 元以内； 红包为 60 元且点餐
38、为 60 元以内， 故P（A）0.450.150.950.050.115 ( )ii每订一份套餐所得红包的期望为0.850.15300.056011.5EH ， 由 （1） 知该平台平时卖出一份套餐收入期望为40元， 1 2011.58.5 2 EXEWEH元 20 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 4ABAA， 1 3 A AB ，BCAC，平 面 11 AA B B 平面ABC，E，F分别为AB， 11 BC的中点 （1）求证：/ /EF平面 11 A ACC； （2）若二面角 1 AACB的正切值为 2，求锐二面角CEFB的余弦值 【解答】 （1）证明：取BC中点
39、D，连DE， 则/ /DEAC，DE 平面 11 AAC C，AC 平面 11 AAC C，/ /DE平面 11 AAC C， 又 1 / /DFCC，DF 平面 11 AAC C， 1 CC 平面 11 AAC C，/ /DF平面 11 AAC CC，DEDFD， 平面/ /DEF平面 11 AAC C，EF 平面DEF， / /EF平面 11 A ACC （2）解：取AC中点G，连GE，则GEAC 在菱形 11 ABB A中， 1 3 A AB ， 1 AEAB，平面 1 AA B，B 平面ABC， 第 19 页（共 22 页） A，E 平面ABC，AC 平面ABC， 1 AEAC， 又
40、1 AEGEE，AC平面 1 A EG， 1 ACAG， 1 AGE为二面角的 1 AACB平面角， 1 tan2AGE， 1 4AA ， 1 2 3AE ， 3EG ，2 3BC ，4AB ，2AC ， 以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0C， 0 ，0)，(0A， 2 ，0)，(2 3,0,0)B，( 3,1,0)E， 1,( 3,1,2 3) A， ( 3,0,0)( 3, 1,2 3)DDFAA，(2 3, 1,2 3)F， (2 3, 1,2 3)CF，( 3,1,0)CE ，( 3, 2,2 3)EF ， ( 3, 1,0)EB 设平面CEF的法向量为 1111 (,)
41、nx y z， 由 1 1 0 0 nCE nEF 得 11 111 30 322 30 xy xyz ， 可取 1 3 (1,3,) 2 n 设平面HEF的法向量为 2222 (,)nxyz， 由 2 2 0 0 nEB nEF 得 22 222 30 322 30 xy xyz ， 可取 2 1 (1, 3, ) 2 n ， 12 12 12 3 13 11 17 4 cos, |85517 22 nn n n nn 第 20 页（共 22 页） 故所求锐二面角CEFB的余弦值为 11 17 85 21 （12 分）如图所示，已知A，B，C是焦距为 4 的椭圆 22 22 :1(0) xy
42、 Gab ab 上的三 点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且0BC BA，| 2|BCBA （1）求椭圆G的方程； （2） 过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆 22 :2O xy的两条切线， 切点分别为M，N， 若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当EOF的面积最小时求PMN与EOF的 面积之比 【解答】解： （1）因为0BC BA，BCBA，| 2|BCBA，AOB为等腰直角三角形， ( , ) 2 2 a a B， 代入椭圆方程得 22 3ab，又2c ， 2 6a， 2 2b ，椭圆方程为 22 1 62 xy （2）设 0 (P x， 0) y， 1 (M x， 1) y，
43、 2 (N x， 2) y， 第 21 页（共 22 页） PM方程为 11 2x xy y，PN方程为 22 2x xy y， 又PM与PN交于点 0 (P x， 0) y， 1010 2x xy y， 2020 2x xy y， 则MN方程为 00 2x xy y， 0 2 (,0)E x ， 0 2 (0,)F y ， 00 2 | EDF S x y ， 又 22 0000 2 1 | 6212 xyx y ， 00 |3x y， EDF S的最小值为 2 3 3 ， 此时 22 00 1 622 xy ，EOF的面积最小， 不妨令 0 3x ， 0 1y ， 此时( 3, 1)P，则
44、MN方程为32xy， 原点O到MN距离为 1 1d ，P到MN距离为 2 1d ，| 2 2 12MN ，1 PMN S， 3 2 PMN OEF S S 22 （12 分）已知函数 3 ( )2(1) 2 x f xeax，aR （1）讨论函数( )f x的单调区间； （2）若 22 1 ( )2(1) 2 f xxa对0 x，)恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）( )2(1) x fxea， 当1a时，( ) 0fx，( )f x在R上单调递增， 当1a 时，令( )0fx，得2(1)xlna， 当2(1)xlna时，( )0f x ，( )f x在(，2(1)lna 上单调递减
45、， 当2(1)xlna时，( )0fx，( )f x在( 2(1)lna ，)上单调递增， 综上，当1a时，( )f x在R上单调递增； 当1a 时，( )f x在(，2(1)lna 上单调递减，在( 2(1)lna ，)上单调递增； （2）设 22 1 ( )( )2(1) 2 g xf xxa，则 2 13 ( )2(1) 22 x g xexa， 因为若 22 1 ( )2(1) 2 f xxa对0 x，)恒成立， ( ) 0g x对0 x，)恒成立，又( )(22) x g xexa， 令( )( )h xg x，则( )1 0 x h xe ， 第 22 页（共 22 页） ( )h
46、 x单调递增，( )(0)21h xha ， 当21 0a ，即 1 2 a时，( )( ) 0h xg x，( )g x在0，)上单调递增， 2 5 ( )(0)2(1)0 2 min g xga， 55 11 22 a 剟， 又 1 2 a， 51 1 22 a 剟， 当210a ，即 1 2 a 时， 则存在唯一的 0 0 x ，)使 0 ()0h x， 0 0 2(1)0 x exa， 当 0 (0,)xx时，( )( )0h xg x，当 0 (xx，)时，( )( )0h xg x， 即 0 (0,)xx时，( )g x单调递减， 0 (xx，)时，( )g x单调递增， 故 00 2 0 13 ( )()0 22 xx min g xg xee，解得 0 03 x e， 0 03xln， 又 0 0 2(1) x aex，而 x ex在0，)上单调递增， 12(1) 33aln ，解得 113 22 ln a ， 综上，实数a的取值范围为 5 13 1, 22 ln
