1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年吉林省通化市通化县高二 （上） 期末数学试卷 （理学年吉林省通化市通化县高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （4 分）已知 0 :pxR， 0 3 0 3xx，那么p为( ) AxR ， 3 3xx B 0 xR， 0 3 0 3xx CxR ， 3 3xx D 0 xR， 0 3 0 3xx 2 （4 分）过点(2,1)且
2、与直线320 xy垂直的直线方程为( ) A2310 xy B2370 xy C3240 xy D3280 xy 3 （4 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A46 B48 C36 D32 4 （4 分）已知A为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴 的距离为 9，则(p ) A2 B3 C6 D9 5 （4 分）已知椭圆的焦点为( 1,0)和(1,0)，点(2,0)P在椭圆上，则椭圆的标准方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 4 y x D 22 1 43 yx 6 （4 分）以
3、点(2, 1)为圆心且与直线3450 xy相切的圆的方程为( ) A 22 (2)(1)3xy B 22 (2)(1)3xy C 22 (2)(1)9xy D 22 (2)(1)9xy 7 （4 分）如图， 1111 ABCDABC D为正方体，下面结论错误的是( ) 第 2 页（共 13 页） A/ /BD平面 11 CB D B 1 ACBD C 1 AC 平面 11 CB D D异面直线AD与 1 CB所成的角为60 8 （4 分）若平面的一个法向量(2n ，1，1)，直线l的一个方向向量为(1a ，2，3)， 则l与所成角的正弦值为( ) A 17 6 B 21 6 C 21 6 D
4、21 3 9 （4 分） “3a ”是“直线220axya和直线3(1)70 xaya平行”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 10 （4 分） 若圆 22 (1)xym与圆 22 48160 xyxy内切， 则实数m的值为( ) A1 B11 C121 D1 或 121 二、非选择题：填空题共二、非选择题：填空题共 4 道小题每题道小题每题 5 分共分共 20 分：分： 11 （5 分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球 面上，则这个球的表面积是 12 （5 分）已知( 1,0)A ，(1,0)B，
5、且0MA MB，则动点M的轨迹方程是 13 （5 分）已知双曲线 22 2 1(0) 2 xy a a 和抛物线 2 8yx有相同的焦点，则双曲线的离心 率为 14 （5 分）下列各项中，描述正确的是 （填序号） xR ，不等式 2 243xxx成立； 已知:0 |(2)(3)0pxxx；:0q则“p或q”为假； 第 3 页（共 13 页） 命题“若0ab且0c ，则 cc ab ”的逆否命题是真命题； 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 三三.解答题共解答题共 5 道小题每题道小题每题 12 分：分： 15 （12 分）已知直线l与圆C相交于点(1,0)P和点(0,1)Q （1
6、）求圆心所在的直线方程； （2）若圆C的半径为 1，求圆C的标准方程 16 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，22ABAD， 3PDBDAD，且PD 底面ABCD （1）证明：BC 平面PBD； （2）若Q为PC的中点，求三棱锥APBQ的体积 17 （12 分）中心在原点，一焦点为 1(0 F，5 2)的椭圆被直线32yx截得的弦的中点横 坐标是 1 2 ，求此椭圆的方程 18（12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 点 0 ( 2 , )Dy在抛物线C上， 且| 3DF ， 直线1yx与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点 （1）求抛
7、物线C的方程； （2）求OAB的面积 19 （12 分）如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE，G为BE 的中点 （）求证：AG 平面ADF； （）若3ABBC，求二面角DCAG的余弦值 第 4 页（共 13 页） 第 5 页（共 13 页） 2020-2021 学年吉林省通化市通化县高二 （上） 期末数学试卷 （理学年吉林省通化市通化县高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项
8、中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （4 分）已知 0 :pxR， 0 3 0 3xx，那么p为( ) AxR ， 3 3xx B 0 xR， 0 3 0 3xx CxR ， 3 3xx D 0 xR， 0 3 0 3xx 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为xR， 3 3xx， 故选：C 2 （4 分）过点(2,1)且与直线320 xy垂直的直线方程为( ) A2310 xy B2370 xy C3240 xy D3280 xy 【解答】解：设过点(2,1)且与直线320 xy垂直的直线方程为230 xym， 把点(2,1)代入可得：430m，解得7m 要求的直
9、线方程为：2370 xy， 故选：B 3 （4 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A46 B48 C36 D32 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面为等腰梯形的直 四棱柱； 如图所示： 第 6 页（共 13 页） 所以 1 (24)4448 2 V 故选：B 4 （4 分）已知A为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴 的距离为 9，则(p ) A2 B3 C6 D9 【解答】解：A为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴 的距离为 9， 因为抛物线上的
10、点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：9126 2 p p； 故选：C 5 （4 分）已知椭圆的焦点为( 1,0)和(1,0)，点(2,0)P在椭圆上，则椭圆的标准方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 4 y x D 22 1 43 yx 【解答】解：设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由题意可得1c ，2a ，3b ， 即有椭圆方程为 22 1 43 xy 故选：B 6 （4 分）以点(2, 1)为圆心且与直线3450 xy相切的圆的方程为( ) A 22 (2)(1)3xy B 22 (2)(1)3xy C 22 (2
11、)(1)9xy D 22 (2)(1)9xy 【解答】解： 22 |324( 1)5| 3 34 r ，所求圆的方程为 22 (2)(1)9xy 故选：C 第 7 页（共 13 页） 7 （4 分）如图， 1111 ABCDABC D为正方体，下面结论错误的是( ) A/ /BD平面 11 CB D B 1 ACBD C 1 AC 平面 11 CB D D异面直线AD与 1 CB所成的角为60 【解答】解：A中因为 11 / /BDB D，正确；B中因为ACBD，由三垂线定理知正确； C中由三垂线定理可知 111 ACB D， 11 ACBC，故正确； D中显然异面直线AD与 1 CB所成的角
12、为45 故选：D 8 （4 分）若平面的一个法向量(2n ，1，1)，直线l的一个方向向量为(1a ，2，3)， 则l与所成角的正弦值为( ) A 17 6 B 21 6 C 21 6 D 21 3 【解答】解：由题意设l与所成角为，设向量n与a的夹角为， 平面的一个法向量(2n ，1，1)，直线l的一个方向向量为(1a ，2，3)， 222222 2 1 1 21 321 sin|cos| | | |6 211123 n a n a 故选：B 9 （4 分） “3a ”是“直线220axya和直线3(1)70 xaya平行”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D即不
13、充分也不必要条件 第 8 页（共 13 页） 【解答】解：若“3a ”成立，则两直线的方程分别是3260 xy与3240 xy，两 直线平行； 反之，当“直线220axya与直线3(1)70 xaya平行”成立时，有 2 31 a a ， 且27aa ，所以3a 或2a ； 所以“3a ”是“直线210axy 与直线640 xyc平行”的充分不必要条件， 故选：A 10 （4 分） 若圆 22 (1)xym与圆 22 48160 xyxy内切， 则实数m的值为( ) A1 B11 C121 D1 或 121 【解答】解：根据题意，圆 22 (1)xym，必有0m ，其圆心为( 1,0)，半径R
14、m， 圆 22 48160 xyxy，即 22 (2)(4)36xy，其圆心为(2, 4)，半径6r ， 两圆的圆心距9165d ， 若两圆内切，则有|6| 5m ，解可得1m 或 121， 故选：D 二、非选择题：填空题共二、非选择题：填空题共 4 道小题每题道小题每题 5 分共分共 20 分：分： 11 （5 分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球 面上，则这个球的表面积是 50 【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个 球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： 222 3455
15、 2， 所以球的半径为： 5 2 2 ；则这个球的表面积是： 2 5 2 4 ()50 2 故答案为：50 12 （5 分） 已知( 1,0)A ，(1,0)B， 且0M A M B， 则动点M的轨迹方程是 22 1xy 【解答】解：设动点( , )M x y，则( 1,)MAxy ，(1,)MBxy 由0MA MB，得 2 ( 1)(1)()0 xxy ，即 22 1xy 故答案为： 22 1xy 第 9 页（共 13 页） 13 （5 分）已知双曲线 22 2 1(0) 2 xy a a 和抛物线 2 8yx有相同的焦点，则双曲线的离心 率为 2 【解答】解：抛物线 2 8yx的焦点(2,
16、0)，则双曲线的焦点坐标(2,0)，可得 2 24a ， 解得2a ， 双曲线的离心率为： 2 2 2 故答案为：2 14 （5 分）下列各项中，描述正确的是 （填序号） xR ，不等式 2 243xxx成立； 已知:0 |(2)(3)0pxxx；:0q则“p或q”为假； 命题“若0ab且0c ，则 cc ab ”的逆否命题是真命题； 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 【解答】 解： 不等式 2 243xxx可变形为 2 230 xx， 因为 2 23 20 xx对xR 恒成立，所以xR ，不等式 2 243xxx成立，故选项正确； 因为(2)(3)0 xx，则23x ，所以0
17、 |(2)(3)0 xxx，则p为真命题，因为 0 ，所以q是假命题，所以“p或q”为真命题，故选项错误； 因为0ab，所以 11 ab ，又0c ，则 cc ab ，故原命题为真命题，所以其逆否命题为真 命题，故选项正确； 根据二面角的平面角的定义可知，二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系， 故选项正确 故答案为： 三三.解答题共解答题共 5 道小题每题道小题每题 12 分：分： 15 （12 分）已知直线l与圆C相交于点(1,0)P和点(0,1)Q （1）求圆心所在的直线方程； （2）若圆C的半径为 1，求圆C的标准方程 【解答】解： （1）因为(1,0)P和点(0,1)Q 所
18、以直线PQ的斜率为1 PQ k，PQ中点 1 1 ( , ) 2 2 M， 第 10 页（共 13 页） 因为以圆心所在的直线与PQ垂直，所以所求直线的斜率为 1， 所以圆心所在的直线方程为 11 22 yx，变形可得yx； （2）由（1）知，圆心所在的直线为yx， 设圆的方程为 22 ()()1xaya， 将(1,0)P代入圆的方程，则有 22 (1)1aa，解得0a 或 1， 所以圆心的坐标为(0,0)或(1,1)， 所以圆C的标准方程为 22 1xy或 22 (1)(1)1xy 16 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，22ABAD， 3PDBDAD，且PD
19、 底面ABCD （1）证明：BC 平面PBD； （2）若Q为PC的中点，求三棱锥APBQ的体积 【解答】 （1）证明： 222 ADBDAB，ADBD， / /ADBC，BCBD 又PD 底面ABCD，PDBC PDBDD，BC平面PBD （2）解：三棱锥APBQ的体积 A PBQ V 与三棱锥AQBC的体积相等， 而 11111 133 24434 A QBCQ ABCP ABCP ABCD VVVV 所以三棱锥APBQ的体积 1 4 A PBQ V 17 （12 分）中心在原点，一焦点为 1(0 F，5 2)的椭圆被直线32yx截得的弦的中点横 坐标是 1 2 ，求此椭圆的方程 第 11
20、页（共 13 页） 【解答】解：设椭圆： 22 22 1(0) yx ab ab ，则 22 50ab 又设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，弦AB中点 0 (x， 0) y 0 1 2 x ， 0 31 2 22 y 由 22 11 22222 22 220121212 222 22 120 22 22 1 33 1 AB yx xyyxxyya ab ab abxxby yx ab k 解，得： 2 75a ， 2 25b ， 故椭圆的方程为： 22 1 7525 yx 18（12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 点 0 ( 2 , )Dy
21、在抛物线C上， 且| 3DF ， 直线1yx与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点 （1）求抛物线C的方程； （2）求OAB的面积 【解答】解： （1）根据题意， 0 (2,)Dy在抛物线 2 2ypx，上且| 3DF 由抛物线定义得23 2 p ，2p 故抛物线的方程为 2 4yx； （2）由方程组 2 1 4 yx yx ，消去y得 2 610 xx ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 6xx； 直线1yx过抛物线 2 4yx的焦点F， 12 |628ABxxp 又O到直线1yx的距离 2 2 d ， ABO的面积 1 |2 2 2 SAB d 19 （
22、12 分）如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE，G为BE 的中点 （）求证：AG 平面ADF； 第 12 页（共 13 页） （）若3ABBC，求二面角DCAG的余弦值 【解答】 （）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ADAB， 矩形ABCD菱形ABEFAB，AD平面ABEF， AG 平面ABEF，ADAG， 菱形ABEF中，60ABE，G为BE的中点AGBE，即AGAF ADAFA，AG平面ADF； （）解：由（）可知AD，AF，AG两两垂直， 以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系， 设33ABBC，则 3 1, 2
23、BCAG， 故(0A，0，0)， 33 ( ,1) 22 C，(0D，0，1)， 3 ( ,0,0) 2 G， 则 33 ( ,1) 22 AC ，(0,0,1)AD ， 3 ( ,0,0) 2 AG ， 设平面ACD的法向量 1111 ( ,)nx y z， 由 1111 11 33 0 22 0 n ACxyz n ADz ，取 1 3y ，得 1 (1, 3,0)n ， 设平面ACG的法向量 2222 (,)nxy z， 由 2222 22 33 0 22 3 0 2 n ACxyz n AGx ，取 2 2y ，得 2 (0,2, 3)n ， 设二面角DCAG的平面角为，则 12 12 2 321 cos 7| |27 n n nn ， 由图可知为钝角， 第 13 页（共 13 页） 二面角DCAG的余弦值为 21 7
