1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 2U ，1， 0， 1，2，0A， 2 |20Bx xx， 则()( UA B ) A 1 B1 C 1，1，2 D 2，1，1 2 （5 分）设xR，则“ 1 1 x ”是“ 1 ( )1 2 x ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）函数 2sin
2、( ) xx x f x ee 在，的大致图象是( ) A B C D 第 2 页（共 17 页） 4 （5 分）已知某校一次数学测验所有学生得分都在80，150内，根据学生得分情况绘制 的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是( ) A0.015 B0.020 C0.030 D0.040 5（5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的所有顶点都在球O的表面上， 若球O的体积为36， 则正方体 1111 ABCDABC D的体积为( ) A2 3 B3 3 C12 3 D24 3 6 （5 分）设 0.8 1 ( ) 3 a ， 0.9 3b ， 0.7 log0.8c ，则a，b，
3、c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 7 （5 分）已知抛物线 2 1 20 xy的焦点F与双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一个焦点重合， 且点F到双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 1641 xy C 22 1 4116 yx D 22 1 916 yx 8（5 分） 设函数( )2sin()f xx，xR， 其中0，| 若 5 () 2 8 f ， 11 ()0 8 f ， 且( )f x的最小正周期大于2，则( ) A 2 3 ， 12 B 2 3 ， 11 12 C 1 3 ， 11
4、 24 D 1 3 ， 7 24 9 （5 分）已知函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k? ，若函数( )()( )g xfxf x有且只有四个不同的 零点，则实数k的取值范围是( ) 第 3 页（共 17 页） A(, 4) B(4,) C(，0)(4，) D(，4)(4，) 二、填空图、本大题共二、填空图、本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 10 （5 分）已知i是虚数单位，则 53 1 i i 11 （5 分）在 6 1 (2)x x 的展开式中常数项是 12 （5 分）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线20
5、xy的距离为 2 5 5 ，若 点(0, 3)M在圆C上，则圆C的方程为 13 （5 分）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校从中随机选取 3 种作为 教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为 14 （5 分）已知0a ，0b ，且 111 223ab ，则2ab的最小值为 15 （5 分） 在菱形ABCD中， 2 3 BAD ，2AB ，点M，N分别为BC，CD边上的点， 且满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解
6、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16（14 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且满足sin4 sinaAbB， 222 3()acabc （）求cos A的值； （）求sin(2)BA的值 17 （15 分）如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，/ /BCAD，点M 是棱PD上一点，且2ABBC，4ADPA （）若:1:2PM MD ，求证：/ /PB平面ACM； （）求二面角ACDP的正弦值； （）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 6 3 ，求MD的长 第 4 页（共 17 页） 18 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0)
7、xy Cab ab 的离心率为 5 3 ，短轴的两个端点和右焦点构 成的三角形面积为2 5 （）求椭圆C的方程； （）已知斜率为k的直线l经过点(,0)Aa，且直线l与椭圆C交于点(P P不在x轴上） ， 若点Q在y轴的负半轴上，APQ是等边三角形，求k的值 19 （15 分）已知等比数列 n a满足 32 10aa， 123 125a a a （）求数列 n a的前n项和 n S； （）若数列 n b满足 1 1b ，且 *32 11 1() 23 n n bbb bbnN n ， （）求 n b的通项公式； （）求 21 1 n ii i ab 20 （16 分）已知函数( )21 x f
8、 xeax，( )2(1)g xaln x，aR （）若( )f x在点(0，(0)f的切线倾斜角为 4 ，求a的值； （）求( )f x的单调区间； （）若对于任意0 x，)，( )( )f xg xx恒成立，求a的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 2U ，1， 0， 1，2，0A， 2 |20Bx xx
9、， 则()( UA B ) A 1 B1 C 1，1，2 D 2，1，1 【解答】解：集合 2U ，1，0，1，2，0A， 2 |20 | 21Bx xxxx ， 2 UA ，1，1，2， 则() 1 UA B 故选：A 2 （5 分）设xR，则“ 1 1 x ”是“ 1 ( )1 2 x ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 1 1 x 得0 x 或1x ， 由 1 ( )1 2 x 得0 x ， 则“ 1 1 x ”是“ 1 ( )1 2 x ”的必要不充分条件， 故选：B 3 （5 分）函数 2sin ( ) xx x
10、 f x ee 在，的大致图象是( ) A 第 6 页（共 17 页） B C D 【解答】解： 2sin()2sin ()( ) xxxx xx fxf x eeee ， ( )f x为奇函数，排除选项C和D， 又 2222 2sin 2 2 ( )0 2 f eeee ，排除选项B， 故选：A 4 （5 分）已知某校一次数学测验所有学生得分都在80，150内，根据学生得分情况绘制 的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是( ) A0.015 B0.020 C0.030 D0.040 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：由频率分布直方图可得(0.0030.0070.020.01220.0
11、30.008) 101a， 解得0.020a 故选：B 5（5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的所有顶点都在球O的表面上， 若球O的体积为36， 则正方体 1111 ABCDABC D的体积为( ) A2 3 B3 3 C12 3 D24 3 【解答】解：由题意可知正方体的体对角线的长度，就是外接球的直径， 球O的体积为36，所以外接球的半径为R，可得 3 4 36 3 R， 所以3R ，所以正方体的对角线的长度：6，棱长为a， 222 6aaa， 解得2 3a 正方体 1111 ABCDABC D的体积为： 3 24 3a 故选：D 6 （5 分）设 0.8 1 ( ) 3
12、a ， 0.9 3b ， 0.7 log0.8c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 【解答】解： 0.80.80.9 1 1( )33 3 ab ， 0.70.7 log0.8log0.71c ， 则a，b，c的大小关系为cab 故选：D 7 （5 分）已知抛物线 2 1 20 xy的焦点F与双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一个焦点重合， 且点F到双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 1641 xy C 22 1 4116 yx D 22 1 916 yx 【解答】解：抛物线
13、2 1 20 xy的焦点坐标为(0,5)， 双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一条渐近线的方程为0byax， 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4， 第 8 页（共 17 页） 22 5 4 b b ab ，即4b ， 5c ，3a， 双曲线方程为： 22 1 916 yx 故选：D 8（5 分） 设函数( )2sin()f xx，xR， 其中0，| 若 5 () 2 8 f ， 11 ()0 8 f ， 且( )f x的最小正周期大于2，则( ) A 2 3 ， 12 B 2 3 ， 11 12 C 1 3 ， 11 24 D 1 3 ， 7 24 【解答】解：由( )
14、f x的最小正周期大于2，得 42 T ， 又 5 ()2 8 f ， 11 ()0 8 f ，得 1153 4884 T ， 3T，则 2 3 ，即 2 3 2 ( )2sin()2sin() 3 f xxx， 由 525 ()2sin()2 838 f ，得 5 sin()1 12 5 2 122 k ，kZ 取0k ，得 12 2 3 ， 12 故选：A 9 （5 分）已知函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k? ，若函数( )()( )g xfxf x有且只有四个不同的 零点，则实数k的取值范围是( ) A(, 4) B(4,) C(，0)(4，) D(，4
15、)(4，) 【解答】解：因为函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 xx f x xx k k? ，则 2 (3),0 () 2 ,0 xx fx xx k k? ， 第 9 页（共 17 页） 所以函数 2 2 ,0 ( )()( )2 ,0 ,0 xxx g xfxf xx xxx kk k kk ， 当0k时， 2, 0 ( ) 0,0 xx g x x ，所以( )g x只有一个零点，不符合题意； 当0k时，因为 2 2 ,0 ()2 ,0 ,0 xxx gxx xxx kk k kk ，所以()( )gxg x，则( )g x为偶函数， 所以( )g x有且仅有四个不同的零点可转化为
16、 2 ( )(0)g xxxxkk有且仅有两个不同的 零点， 所以( )2(0)g xxxk， 当0k时，( )0(0)g xx恒成立，此时( )(0)g x x 最多一个零点，不符合题意， 当0k时，令( )20(0)g xxxk，则 2 x k ， 令( )20(0)g xxxk，则0 2 x k ， 所以( )g x在(0,) 2 k 上单调递减，在(,) 2 k 上单调递增， 要使( )g x在(0,)上有且仅有两个不同的零点， 则有 2 ( )( )( )0 222 min g xg kkk kk， 解得0k或4k，又0k， 所以4k， 综上所述，所以实数k的取值范围是(4,) 故选
17、：B 二、填空图、本大题共二、填空图、本大题共 6 个小题个小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 10 （5 分）已知i是虚数单位，则 53 1 i i 14i 【解答】解： 53(53 )(1)5533 14 1(1)(1)2 iiiii i iii 故答案为：14i 11 （5 分）在 6 1 (2)x x 的展开式中常数项是 60 【解答】解：在 6 1 (2)x x 的展开式中，通项公式为 3 6 6 2 16 ( 1) 2 r rrr r TCx ， 第 10 页（共 17 页） 令 3 60 2 r ，求得4r ，可得展开式的常数项是 42 6 260C， 故答案为：
18、60 12 （5 分）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线20 xy的距离为 2 5 5 ，若 点(0, 3)M在圆C上，则圆C的方程为 22 113 () 24 xy 【解答】解：由圆C的圆心在x轴的正半轴上，设圆C的圆心为(a，0)(0)a ，半径为r， 则圆的方程为 222 ()(0)xayr a， 由点(0, 3)M在圆上，且圆心到直线210 xy 的距离为 2 5 5 ， 得 22 3ar且 22 |21|2 5 5 21 a ，解得 1 2 a ， 2 13 4 r 圆C的方程为 22 113 () 24 xy 故答案为： 22 113 () 24 xy 13 （5 分）现
19、有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校从中随机选取 3 种作为 教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为 9 10 【解答】解：有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件， 某学校从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学”的教学工具， 基本事件总数 3 5 10nC， 其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取包含的基本事件个数 2112 3232 9mC CC C， 则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为 9 10 m P n 故答案为： 9 10 14 （5 分）已知0a ，0b ，且 111 223ab ，则2ab的最小值为 36 2 【解答】解
20、：0a ，0b ，且 111 223ab ， 11 2(2)2(2)63(2)2(2)()6 22 ababab ab ， 6(2)3(2)6(2) 3(2) 96 92636 2 2222 baba abab ， 当且仅当 6(2)3(2) 22 ba ab 且 111 223ab ，即 3 2 1 2 b ，13 2a 时取等号， 第 11 页（共 17 页） 故2ab的最小值为36 2 故答案为：36 2 15 （5 分） 在菱形ABCD中， 2 3 BAD ，2AB ，点M，N分别为BC，CD边上的点， 且满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的最小值为 3 2 【解答】解：
21、因为且满足 | | BMCN BCCD ，0，1 则有BMBC，CNCD， 所以AMABBMABBCABCD， (1)ANABBCCNABADCDABADBAABAD， 所以 22 2 ()(1)(1)(1)AM ANABADABADABAB ADAD 2 4(1)2(1)4 2 222 当 1 2 时，AM AN有最小值为 3 2 故答案为： 3 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16（14 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且满足sin4 sin
22、aAbB， 222 3()acabc （）求cos A的值； （）求sin(2)BA的值 【解答】解： （1）由正弦定理知， sinsin ab AB ， sin4 sinaAbB， 22 4ab，即2ab， 222 3()acabc， 222 12 33 bcaacbc ， 第 12 页（共 17 页） 由余弦定理知， 222 3 cos 23 bca A bc （2）由（1）知， 3 cos 3 A ， (0, )A， 2 6 sin1 3 Acos A， 由正弦定理知， sinsin ab AB ， sin4 sinaAbB， 22 sin4sinAB， A，(0, )B， sin2si
23、nAB，即 16 sinsin 26 BA， 又A为钝角，B为锐角， 2 30 cos1 6 Bsin B， 5 sin22sincos 3 BBB， 2 2 cos212sin 3 BB ， 故 53262 615 sin(2)sin2 coscos2 sin() 33339 BABABA 17 （15 分）如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，/ /BCAD，点M 是棱PD上一点，且2ABBC，4ADPA （）若:1:2PM MD ，求证：/ /PB平面ACM； （）求二面角ACDP的正弦值； （）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 6 3 ，求MD的长 【解答】
24、解：（） 证明： 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，/ /BCAD， 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 点M是棱PD上一点，:1:2PM MD ，2ABBC，4ADPA (0P，0，4)，(0A，0，0)，(2B，0，0)，(2C，2，0)，(0M， 4 3 ， 8) 3 ， 第 13 页（共 17 页） (2PB ，0，4)，(2AC ，2，0)， 4 8 (0, ) 3 3 AM ， 设平面ACM的法向量(nx，y，) z， 则 220 48 0 33 n ACxy n AMyz ，取2x ，得(2n ，2，1)， 440PB n，PB平
25、面ACM，/ /PB平面ACM （）(0D，4，0)，(2PC ，2，4)，(0PD ，4，4)， 设平面CDP的法向量(ma，b，) c， 则 2240 440 m PCabc m PDbc ，取1b ，得(1m ，1，1)， 平面ACD的法向量(0p ，0，1)， 设二面角ACDP的平面角为， 则 |1 |cos| | |3 P m pm ， 二面角ACDP的正弦值为 2 16 1() 33 （）设(M a，b，) c，PMPD，(01)剟， 则(a，b，4)(0c，4，4 )，0a，4b，44c，(0M，4，44 )， (0AM ，4，44 )，平面CDP的法向量(1m ，1，1)， 直
26、线AM与平面PCD所成角的正弦值为 6 3 ， |cosAM， 22 |46 | 3| | 16(44 )3 AM m m AMm ，解得 1 2 ， 22 11 442 2 22 MDPD 第 14 页（共 17 页） 18 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 5 3 ，短轴的两个端点和右焦点构 成的三角形面积为2 5 （）求椭圆C的方程； （）已知斜率为k的直线l经过点(,0)Aa，且直线l与椭圆C交于点(P P不在x轴上） ， 若点Q在y轴的负半轴上，APQ是等边三角形，求k的值 【解答】解： （）根据题意可得 222 5 3 1 22 5 2
27、c a bc cab ， 解得 2 9a ， 2 4b ， 2 5c ， 所以椭圆的方程为 22 1 94 xy （）由（）知，3a ， 所以( 3,0)A ， 所以直线AP方程为3yxkk， 设 1 (P x， 1) y，(0, )Qy， 联立 22 3 1 94 yx xy kk 得 2222 (49)5481360 xxkkk， 所以 2 1 2 54 3 49 x k k ， 2 1 2 8136 3 49 x k k ， 第 15 页（共 17 页） 所以 2 1 2 1227 49 x k k ， 2 11 22 122724 33 4949 yx kk kkkk kk ， 所以
28、2 2 1 2 24 1 |1| 3| 49 APx k k k ， 2 |9AQy， 2 2222 11 22 122724 |()()() 4949 PQxyyy kk kk ， 因为APQ是等边三角形， 所以| | |APAQPQ， 所以 22 222 222 24 1122724 9()() 494949 yy kkk kkk ， 解得0k 19 （15 分）已知等比数列 n a满足 32 10aa， 123 125a a a （）求数列 n a的前n项和 n S； （）若数列 n b满足 1 1b ，且 *32 11 1() 23 n n bbb bbnN n ， （）求 n b的通
29、项公式； （）求 21 1 n ii i ab 【解答】解： （）由等比数列 n a满足 32 10aa， 123 125a a a ， 可得 2 3 125a ，即 2 5a ， 3 15a ， 则等比数列 n a的公比为 3， 所以 2 5 3n n a ， 5 (13 ) 5 3 (31) 136 n n n S ； （） （）由 1 1b ，且 *32 11 1() 23 n n bbb bbnN n ， 可得 12 1bb，即 2 2b ， 当2n时， 12 1 1 21 n n bb bb n ，又 12 11 1 21 nn n bbb bb nn ， 两式相减可得 1 1(1)
30、 n nn b bb n ，化为 12 1 12 nn bbb nn ， 第 16 页（共 17 页） 所以 n bn，对1n 也成立， n bn，*nN； （） 211 1233 521 1 n niinn i Maba ba ba ba b 2 5 15 35 3 55 3(21) 3 n n ， 221 355 35 355 3(21) n n Mn ， 上面两式相减可得 221 5 210(1333)5 3(21) 3 nn n Mn 1 1 51 3 105 3(21) 31 3 n n n ， 化简可得 1 21 1 5 5(1) 3 3 n n ii i abn 20 （16 分
31、）已知函数( )21 x f xeax，( )2(1)g xaln x，aR （）若( )f x在点(0，(0)f的切线倾斜角为 4 ，求a的值； （）求( )f x的单调区间； （）若对于任意0 x，)，( )( )f xg xx恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （）( )21 x f xeax，( )2 x f xea， 若( )f x在点(0，(0)f的切线倾斜角为 4 ， 则切线斜率tan1(0)121 4 fa k，解得：0a ； （）( )2 x f xea，xR， 当0a时，( )0fx，( )f x在R递增， 当0a 时，令( )0fx，解得：2xln a，令( )0fx，
32、解得：2xln a， 故( )f x在(,2 )ln a递减，在( 2 ,)ln a 递增， 综上：当0a时，( )f x在R递增， 当0a 时，( )f x在(,2 )ln a递减，在( 2 ,)ln a 递增； （）若对于任意0 x，)，( )( )f xg xx恒成立， 即21 2(1)0 x eaxaln xx 在0 x，)上恒成立， 设( )2(1)21 x h xealn xaxx，(0)x，问题转化为( )0 min h x， 第 17 页（共 17 页） 则 2 ( )(21) 1 x a h xea x ， 下面先证明：1 x ex ，令( )1 x p xex， 则( )1
33、 x p xe，令( )0p x，解得：0 x ，令( )0p x，解得：0 x ， 故( )p x在(,0)递减，在(0,)递增，故( )(0)0 min p xp， 故1 x ex ， 故 22(21) ( )(21) (1)(21) 111 x aax xa h xeaxa xxx ， 1 2 a时，21 0 xa ，( ) 0h x，( )h x在0，)递增，( )(0)0 min h xh，成立， 1 2 a 时，210a ，令( )0h x，解得：21xa，令( )0h x，解得：21xa， 故( )h x在(0,21)a 递减，在(21,)a递增， 故 212 ( )(21)22
34、(2 ) a min h xhaealn aa ， 令2at，则1t ，则 12 ( ) t H tetlntt ， 1 ( )1 2 t H telntt ， 1 11 ( )220 t Htet tt ，故( )H t在(1,)递增， 而H（1）10 ，H（2）320eln， 故存在 0 (1,2)t 使得 0 ( )0H t，故 0 1 00 21 t etlnt ， 故( )H t在 0 (1, )t递减，在 0 (t，)递增， 故 0 122 000000000000 ( )( )21(1)(1) t min H tH tet lntttlntt lntttlntt ， 下面证明1lnx x，令( )1(1)q xlnxxx，则 1 ( )10q x x ， 故( )q x在(1,)递减，故( )q xq（1）0，故1lnx x，故 00 (1)0lntt， 而 0 10t ，故 0 ( )0h t，故 1 2 a 时，存在实数x使得( )0h x ，原命题不成立， 综上： 1 2 a， 故a的取值范围是(， 1 2
