1、1 2021 届第一学期高三年级第二次质量检测届第一学期高三年级第二次质量检测 数数 学学 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 |230 , |2Ax xxBx x=，则AB=( ) A. | 13xx B. | 13xx C. | 12xx D. | 12xx 2.在复平面内，复数 |34 | 12 i i + 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量(2,2),(1,
2、)abx=，若(2 )aab+，则b=( ) A.10 B.2 C.10 D.2 4.已知命题 1 :(0,),sinpxxx x +，命题:,1 x qxR e ，则下列为真命题的是() A.()pq B.()()pq C.()pq D.pq 5.爱美之心，人皆有之健身减肥己成为很多肥胖者业余选择的项目，为了了解运动健身减肥 的效果，某健身房调查了 40 名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱状图 1 所 示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图 2 所示，对比健身前后，关于这 40 名 肥胖者，下面结论不正确的是( ) A.他们健身后，体重在区间90，100)内的人数增加
3、了 4 个 B.他们健身后，体重在区间100，110)内的人数没有改变 C.因为体重在100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D.他们健身后，原来体重在区间110，120)内的肥胖者体重都有减少 6.设为锐角，若 4 cos 65 += ，则cos2 6 的值为( ). A. 12 25 B. 12 25 C. 24 25 D. 24 25 2 7.九章算术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股九章，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题，在第六章“均 输”中有这样一道题目： “今有五人分五钱，令上二人
4、所得与下三人等，向各得几何？”其 意思为： “现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之 和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 6 D. 5 6 8.若函数 1 2 2,1 ( ) log (1),1 x x f x xx + = + 在(, a上的最大值为 4，则a的取值范围为( ) A.1,)+ B.(,1 C.1，15 D.0，15 二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每个小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部
5、分选对的得 3 分. 9.如图是函数( )sin()0,0 2 f xAx =+ 的部分图象， 将函数( )f x的图象向 右平移 8 个单位长度得到函数( )yg x=的图象，则下列命题正确的是( ) A.( )yg x=是奇函数_50 B.函数( )g x的图象的对称轴是直线() 4 xkkZ =+ C.函数( )g x的图象的对称中心是,0 () 4 k kZ D.函数( )g x的单调递减区间为 3 ,() 44 kkkZ + 10.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快 掌握垃圾分类的方法， 某市垃圾处理厂连续 8 周对有害垃圾错误分类情况进行了
6、调查， 经整 理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵 轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据统计图分析，下列结论正确的是() A.当0,2)x时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B.当2,4)x时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 3 C.当4,6)x时有害垃圾错误分类的重量相对于当2,4)x时增长了 30% D.当6,8x时有害垃圾错误分类的重量相对于当0,2)x时减少了 1.8吨 11.在公比q为整数的等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项和， 14 18aa+=， 23 12aa+=，则下列说法正确的是( ) A.2q = B
7、.数列2 n S +是等比数列 C. 8 510S = D.数列lg n a是公差为 2 的等差数列 12.太极图被称为“中华第一图” ，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成 的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义：能够将圆O的 周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个 “太极函数” ， 设圆O： 22 1xy+=， 则下列说法中正确的是( ) A.函数 3 yx=是圆O的一个太极函数 B.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C.函数sinyx=是圆O的一个太极函数 D.函数( )f x的图象关于原点对称是( )f x为圆O的太极函数
8、的充要条件 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。共 20 分. 13.已知( )f x为奇函数，当0 x时， 3 ( )2 x f xexe=+，则曲线( )yf x=在(1,(1)f处 的切线方程是_. 14.若 3 1 2 n x x 的展开式中第四项为常数项，则n=_. 15.在ABC中，2,| 1ABACAMAM+=， 动点P在ABC内， 则()PAPBPC+的 最小值为_. 16.我校 5 位同学报考了北京大学“强基计划”第 I 专业组，并顺利通过各项考核，已知 5 位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、 物理学类、 力学类这三个专业中的某 一个专业，则这三个专
9、业都有我校学生的概率是_.(结果用最简分数表示). 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知ABC中，3AB =，D是边BC上一点， . (1)求AC的长； (2)求ABD的面积. 4 18.(12 分)已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足() * 21 nn aSnN=. (1)求数列 n a的通项公式； (2)设() 2 log1 nn bS=+，求数列 1 1 nn b b + 的前n项和 n T. 19.(12 分 ) 设 三 角 形ABC的 内 角ABC、 、所 对 的 边 长 分 别 是abc、 、， 且
10、 222 sincossinsinsin1BCAAC+=+ (1)求B的大小； (2)若ABC不是钝角三角形，求 2a c 的取值范围。 20.(12 分)已知数列 n a是等差数列， n S是前n项和，且 265 16,30aaS+=. (1)求数列 n a的通项公式； (2)记 1 2 n n n a b + =，数列 n b的前n项和为 n T，求 n T的取值范围. 21.(12 分)已知a是常数，函数( )(ln )lnf xxaxxx=. (1)讨论函数( )f x在区间(0,)+上的单调性； (2)若01a，证明：()1 a f e . 22.(12 分)2019 年 3 月 5
11、 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术 不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风” ，教育部 2014 年印发的学术论文抽检办法通知中 规定：每篇抽检的学术论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上(含 3 位)专家 评议意见为“不合格”的学术论文，将认定对“存在问题学术论文”.有且只有 1 位专家评 议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外 2 位同行专家(不同于前 3 位专家)进行复评， 2 位复评专家中有 1 位以上(含 1 位)专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存 在问题学术论文”.设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)pp， 且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立. (1)若求抽检一篇学术论文，被认定为存在问题学术论文的概率； (2)现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的总评审费用 1500 元； 若某次评审抽检论文总数为 3000 篇，求该次评审费用期望的最大值及对应P的值. 5
