1、2020-2021 学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Mx|4x1，Nx|x2x60，则 MN（ ） Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x1 Dx|1x3 2已知 i 是虚数单位，若复数，则 z 的共轭复数 （ ） A B C D 3中国清朝数学家李善兰在 859 年翻译代数学中首次将“function”译做“函数”，沿 用至今为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值 x，有一个确 定的 y 和
2、它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式已知 函数 f（x）由如表给出，则 f（f（2）+1）的值为（ ） x x0 0 x2 x2 y 1 2 3 A1 B2 C3 D4 4某校的辩论社由 4 名男生和 5 名女生组成，现从中选出 5 人组成代表队参加某项辩论比 赛要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ） A80 B81 C120 D125 5已知实数 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为（ ） A5 B6 C7 D8 6若 1a2，则的图象可能是（ ） A B C D 7 设非零向量 ， 的夹角为 若， 且， 则 等于 （ ） A30
3、 B60 C120 D150 8已知 f（x）2sin（x+）（0）在区间是单调函数，若，且 将曲线 yf（x）向右平移 1 个单位长度，得到曲线 yg（x），则函 数 yxg（x）2 在区间4，4上的零点个数为（ ） A3 B4 C5 D6 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题）小题）. 9设 m，n 是两条直线， 是两个平面，以下判断正确是（ ） A若 m，则 m B若 m，m，则 C若 m，n，则 mn D若 m，则 m 102020 年 11 月 23 日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县 等 9 个县退出贫困县序列，至此，贵州全省 66 个贫困县全部实现脱贫
4、摘帽，标志着全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽某研究性学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他 们过去 7 年（2013 年至 2019 年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人 均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如图： 根据如图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”、“乙”） 情况的判断，正确的是（ ） A过去 7 年，“甲”的极差小于“乙”的极差 B过去 7 年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去 7 年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数 D过去 7 年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率 11设 F 是抛物线 y24x 的焦点，
5、过 F 且斜为的直线与抛物线的一个交点为 A半径为 |FA|的圆 F 交抛物线的准线于 B， C 两点， 且 B 在 C 的上方， B 关于点 F 的对称点为 D 以 下结论正确的是（ ） A线段 CD 的长为 8 BA，C，F 三点共线 CCDF 为等边三角形 D四边形 ABCD 为矩形 12设 f（x）esinx+ecosx，其中x表示不超过 x 的最大整数如2.62，3.24以 下结论正确的是（ ） Af（x）是偶函数 Bf（x）是周期函数 Cf（x）的最小值是 Df（x）的最大值是 2e 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知曲线在 x2 处的切线与直线 ykx+2
6、 垂直，则实数 k 14已知 a0，b0，且 a+b1，则的最小为 15双曲线的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的 离心率为 ，若 E 上的点 A 满足 AF2F1F2，其中 F1、F2分别是 E 的左，右焦点， 则 sinAF1F2 16已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为，底面为等边三角形若球 O 与该三棱柱 的各条棱都相切，则球 O 的体积为 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题）小题）. 17在，（bc）sinB+csin（A+B）asinA，2asinBbtanA 这三个条 件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题 问题：已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a
7、，b，c，若 _，且， 求 B 的大小 18设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a12，Snan+1+20 （1）求an的通项公式； （2）设 bnlog2an，设数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 19某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相同的 4 个白球和 4 个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出 3 个球，记下 这 3 个球的颜色后放回箱子再次授拌均匀 如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多， 则该次游戏得 3 分，否则得 1 分假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等解 决以下问题： （1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为 ，
8、求 的分布列及其数学期望； （2）如果顾客当天在该商场的逍费满一定金额可选择参与 4 次或 5 次游戏，当完成所选 择次数后的游戏的平均得分不小于 2 时即可获得一份奖品若某顾客当天的消费金额满 足条件，他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由 20如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBDBC1，PAPB，平面 PBD 平面 ABCD （1）求证：PDAB； （2）已知二面角 PACD 的余弦值为线段 PC 上是否存在点 M，使得 BM 与平 面 PAC 所成的角为 30？证明你的结论 21已知 A 是椭圆的一个顶点，F1，F2分别是 C 的左，右焦点， AF1F2是面积为 的等边三
9、角形 （1）求 C 的方程； （2）若过点 P（0，2）的直线 l 交 C 于不同的两点 M，N，求|PM|+|PN|的取值范围 22已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设，若 g（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 g（x1） +g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Mx|4x1，Nx|x2x60，则 MN（ ） Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x1 Dx|1x3 解：集合 Mx|4x1， Nx|x2x60 x|2x3， MNx|2x1 故选：C 2已知 i 是虚数单位，若复
10、数，则 z 的共轭复数 （ ） A B C D 解：复数， z 的共轭复数 ， 故选：A 3中国清朝数学家李善兰在 859 年翻译代数学中首次将“function”译做“函数”，沿 用至今为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值 x，有一个确 定的 y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式已知 函数 f（x）由如表给出，则 f（f（2）+1）的值为（ ） x x0 0 x2 x2 y 1 2 3 A1 B2 C3 D4 解：根据题意，f（x）， 则 f（2）1，f（f（2）
11、+1）f（2）3， 故选：C 4某校的辩论社由 4 名男生和 5 名女生组成，现从中选出 5 人组成代表队参加某项辩论比 赛要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ） A80 B81 C120 D125 解：根据题意，要求 5 人的代表队中至少一名男生，且女生人数要比男多， 分 2 种情况讨论： 5 人的代表队中有 2 男 3 女，有 C42C5360 种选法， 5 人的代表队中有 1 男 4 女，有 C41C5420 种选法， 则一共有 60+2080 种选法， 故选：A 5已知实数 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为（ ） A5 B6 C7 D8 解：由约
12、束条件作出可行域如图， 令 z2x+y，化为 y2x+z， 联立，解得 A（3，2）， 由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 8 故选：D 6若 1a2，则的图象可能是（ ） A B C D 解：根据题意，且 1a2， 当 x0 时，f（x）x+，有0，则 f（x）0，函数图象在 x 轴的下方，排除 A、B， 当 x0 时，f（x）x，此时 f（）0，而 1，函数与 x 轴的交点 在（1，0）的右侧，排除 C， 故选：D 7 设非零向量 ， 的夹角为 若， 且， 则 等于 （ ） A30 B60 C120 D150 解：非零向量 ， 的夹角为 ，
13、若，且， （ +2 ）（3 ）3+523+5| |2 |cos80， cos，60， 故选：B 8已知 f（x）2sin（x+）（0）在区间是单调函数，若，且 将曲线 yf（x）向右平移 1 个单位长度，得到曲线 yg（x），则函 数 yxg（x）2 在区间4，4上的零点个数为（ ） A3 B4 C5 D6 解：因为 f（x）2sin（x+）， 又， 所以 f（x）max2，故， 所以为波峰（也是对称点）， 又 f（x）2sin（x+）（0）在区间是单调函数， 所以且上也一定单调， 所以 f（0）f（1），则， 故， 作出简图如图所示， 由图易知， 因为将曲线 yf（x）向右平移 1 个单位长
14、度，得到曲线 yg（x）， 则， 所以函数 yxg（x）2 的零点个数， 即函数 yg（x）的图象与的交点的个数， 即函数的图象与图象的交点个数， 作出简图， 故函数的图象与图象的交点个数为 5 个， 所以函数 yxg（x）2 在区间4，4上的零点个数为 5 个 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多个选在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9设 m，n 是两
15、条直线， 是两个平面，以下判断正确是（ ） A若 m，则 m B若 m，m，则 C若 m，n，则 mn D若 m，则 m 解：若 m，则 m 或 m，故选项 A 错误； 若 m，m，则 或 与 相交，故选项 B 错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项 C 正确； 垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故选项 D 正确 故选：CD 102020 年 11 月 23 日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县 等 9 个县退出贫困县序列，至此，贵州全省 66 个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽某研究性学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个
16、家庭、对他 们过去 7 年（2013 年至 2019 年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人 均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如图： 根据如图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”、“乙”） 情况的判断，正确的是（ ） A过去 7 年，“甲”的极差小于“乙”的极差 B过去 7 年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去 7 年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数 D过去 7 年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率 解： 极差是一组数据中最大的数减去最小的数， 甲的极差为： 4.23.60.6， 乙的极差为： 4.13.40.7；故 A 正确
17、； 甲 的 平 均 值 为 ：； 乙 的 平 均 数 为 ： ；故 B 错误； 甲的中位数为：3.7；乙的中位数为：3.8，；故 C 正确； 过去 7 年甲的平均增长率为：；乙的平均增长率为：；故 D 正确； 故选：ACD 11设 F 是抛物线 y24x 的焦点，过 F 且斜为的直线与抛物线的一个交点为 A半径为 |FA|的圆 F 交抛物线的准线于 B， C 两点， 且 B 在 C 的上方， B 关于点 F 的对称点为 D 以 下结论正确的是（ ） A线段 CD 的长为 8 BA，C，F 三点共线 CCDF 为等边三角形 D四边形 ABCD 为矩形 解：由抛物线的方程可得：F（1，0），准线方
18、程为：x1， 过 F 且斜为的直线的方程为：y（x1），代入抛物线方程可得： 3x210 x+30，解得 x3 或， 令 A 的坐标为（3，2），则|FA|3+14， 所以圆 F 的方程为：（x1）2+y216， 令 x1，则 B（1，2），C（1，2）， 设 B 关于点 F 的对称点为 D（m，n）， 所以，得 D（3，2）， 选项 A：|CD|3（1）4，A 错误， 选项 B：，所以，所以 A，F，C 三点共线， B 正确， 选项 C：因为 FCFDr4，且 CD4，所以三角形 CDF 为等边三角形，C 正确， 选项 D：由 A，B，C，D 的坐标可得：ABCD，ABBC，ABCD， 所以
19、四边形 ABCD 为矩形，D 正确， 故选：BCD 12设 f（x）esinx+ecosx，其中x表示不超过 x 的最大整数如2.62，3.24以 下结论正确的是（ ） Af（x）是偶函数 Bf（x）是周期函数 Cf（x）的最小值是 Df（x）的最大值是 2e 解：根据题意，f（x）esinx+ecosx 依次分析选项： 对于 A，f（x）f（x）不恒成立，f（x）不是偶函数，A 错误， 对于 B，f（x+2）esin（x+2）+ecos（x+2）esinx+ecosxf（x），则 f（x）是周期为 2 的周期函数，B 正确， 对于 C，当 2kx2k+时，f（x），取得最小值，C 正确， 对
20、于 D，f（x）的最大值是 1+e，D 错误， 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 20 分分. 13已知曲线在 x2 处的切线与直线 ykx+2 垂直，则实数 k 解：由，得 yx21， 则， 曲线在 x2 处的切线与直线 ykx+2 垂直， 3k1，即 k 故答案为： 14已知 a0，b0，且 a+b1，则的最小为 解：a0，b0，且 a+b1， ， 当 且 仅 当， 即 时取等号， 的最小值为： 故答案为： 15双曲线的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的 离心率为 ，若 E 上的点 A 满足 AF2F1F2，其中 F1、F2分
21、别是 E 的左，右焦点， 则 sinAF1F2 解：双曲线 E 的渐近线方程为 yx， ， ca， 离心率 e 不妨取点 A 在第一象限， F2（c，0），且 AF2F1F2， A（c，）， tanAF1F2 ， sinAF1F2 故答案为：； 16已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为，底面为等边三角形若球 O 与该三棱柱 的各条棱都相切，则球 O 的体积为 解：由已知可得，三棱柱 ABCA1B1C1为正三棱柱，如图， 设上下底面的中心发布为 H，G，由对称性可知，球 O 的球心为 HG 的中点， 取 AA1的中点 E，连接 OE，连接 AG 并延长，交 BC 于 F，连接 OF， 则O
22、EOF， 设三角形ABC的边长为2a， 则OEAG， ， ，解得 a， 球 O 的半径为 OE， 则球 O 的体积为 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在，（bc）sinB+csin（A+B）asinA，2asinBbtanA 这三个条 件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题 问题：已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 _，且， 求 B 的大小 解：若选择：在ABC 中，根据正弦定理，即 所以由，得， 因为 0B，则 sinB0，
23、 所以 则，即 又因为 0A，即 所以，则 若选择：在ABC 中，因为 A+B+C，则 A+BC， 所以 sin（A+B）sin（C）sinC 所以由（bc）sinB+csin（A+B）asinA， 得（bc）sinB+csinCasinA 根据正弦定理， 所以（bc）b+c2a2， 即 b2+c2a2bc 根据余弦定理， 又因为 0A，所以 若选择：由 2asinBbtanA，得， 即 2asinBcosAbsinA， 在ABC 中，根据正弦定理， 所以 2sinAsinBcosAsinBsinA， 因为 A，B（0，），sinA0，sinB0， 所以 2cosA1，即 所以 不妨设 b2，
24、由，得 由 b2+c2a2bc，得 解得 所以 因为 ba，所以，所以 18设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a12，Snan+1+20 （1）求an的通项公式； （2）设 bnlog2an，设数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 解：（1）由 Snan+1+20，得 Snan+12 则当 n2 时，Sn1an2 得 SnSn1an+1an 所以 anan+1an，即 an+12an 又因为 a12，且 a2a1+242a2， 所以an是公比为 2 的等比数列 所以 证明：（2）由知， 则 所以 19某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相同的 4 个白球和
25、4 个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出 3 个球，记下 这 3 个球的颜色后放回箱子再次授拌均匀 如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多， 则该次游戏得 3 分，否则得 1 分假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等解 决以下问题： （1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为 ，求 的分布列及其数学期望； （2）如果顾客当天在该商场的逍费满一定金额可选择参与 4 次或 5 次游戏，当完成所选 择次数后的游戏的平均得分不小于 2 时即可获得一份奖品若某顾客当天的消费金额满 足条件，他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由 解：（1）依题意， 的取值为 0，1，2，
26、3 因为， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P （2）依题意，在一次游戏中，得 3 分的概率为： 设 n 次游戏中，得 3 分的次数为 X，则 XB（n，） 所以 若该顾客选择完成 4 次游戏，由 3X+（4X）8，得 X2， 其获奖的概率为， 若该顾客选择完成 5 次游戏，由 3X+（5X）10，得， 其获奖的概率为 因为，所以该顾客应选择完成 4 次游戏，会有更大的获奖概率 20如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBDBC1，PAPB，平面 PBD 平面 ABCD （1）求证：PDAB； （2）已知二面角 PACD 的余弦值为线段 PC 上是否存在点 M，使得 BM 与平 面 PA
27、C 所成的角为 30？证明你的结论 【解答】（1）证明：因为 ADBDBC1， 所以四边形 ABCD 是平行四边形，且 ADBD， 因为平面 PBD平面 ABCD，平面 PBD平面 ABCDBD，AD平面 ABCD， 所以 AD平面 PBD，所以 ADPD， 因为 PAPB，所以PADPBD， 所以PDBPDA90，即 BDPD， 又因为 ADBDD，所以 PD平面 ABCD， 因为 AB平面 ABCD，所以 PDAB （2）解：设 PDt（t0）， 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DB，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1
28、，0），D（0，0，0），P（0，0，t）， 所以， 设平面 PAC 的一个法向量为， 由， 取 z01，得 x0t，y02t，即 ， 取为平面 ACD 的一个法向量， 则， 因为二面角 PACD 的余弦值为， 所以，解得 t1，所以 P（0，0，1）， 假设这样的点 M 存在，设，其中 01， 由，得， 则， 设 BM 与平面 PAC 所成的角为 ， 则， 因为 30，所以，解得， 所以，存在这样的点 M，即当时，BM 与平面 PAC 所成的角为 30 21已知 A 是椭圆的一个顶点，F1，F2分别是 C 的左，右焦点， AF1F2是面积为 的等边三角形 （1）求 C 的方程； （2）若过点
29、 P（0，2）的直线 l 交 C 于不同的两点 M，N，求|PM|+|PN|的取值范围 解：（1）依题意，A 是 C 短轴的端点， 因为AF1F2是面积为的等边三角形，所以|AF1|F1F2|2， 设|F1F2|2c，则 c1，且 ， 所以 a2， 所以， 即 C 的方程为 （2）当 l 的斜率存在时，设其方程为 ykx+2， 联立方程，消去 y 得：， 整理得：（4k2+3）x2+16kx+40， 由0，即（16k）244（4k2+3）0，得， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则， 则， 同理， 则|PM|+|PN| .， 令 t4k2+3，则 t4，且 4k2t3，4k2+4t+
30、1， 则， 由 t4，得， 因为 f（x）3x22x+1 在单调递减，且 f（0）1， ， 则，所以 5（|PM|+|PN|）216， 所以， 当 l 的斜率不存在时，M，N 即为 C 短轴端点，且都在 P 的下方， 此时， 综上，|PM|+|PN|的取值范围是 22已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设，若 g（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 g（x1） +g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数 的取值范围 解：（1）因为，所以 f（x）1aex， 当 a0 时，因为 ex0，所以 f（x）0， 此时 f（x）的单调递增区间为（，+）， 当 a0 时，令 f（x）0，得， 当时，f（x）0，当时，f（x）0， 此时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为； （2）因为，所以 g（x）e2xaex+a， 依题意，解得 a4， 因为 x1，x2是 g（x）的极值点，所以 ，则 x1+x2lna， g（x1）+g（x2） alnaa， 所以，由 g（x1）+g（x2）（x1+x2），可得 alnaalna， 因为 a4，lna0所以等价于， 令，则，x（4，+）， 因为，所以 （x）0， 所以 （x）在（0，+）单调递增，且， 所以， 所以 的取值范围是
