1、3.角平分线角平分线 华东师大八年级上册华东师大八年级上册 在一个三角形居住区内修有在一个三角形居住区内修有 一个学校一个学校P P，P P到到ABAB、BCBC、CACA三边三边 的距离都相等的距离都相等, ,请在三角形居住区请在三角形居住区 内标出学校内标出学校P P的位置的位置,P,P在何处？在何处？ A B C 新课导入新课导入 不利用工具，请你将一张用 纸片做的角分成两个相等的角。 你有什么办法？ A O B C 再打开纸片再打开纸片 ，看看折看看折 痕与这个角有何关系痕与这个角有何关系？ （对折对折） 推进新课推进新课 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验：将AOB对折
2、，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕，你能得出什么结论？ ( (2 2) )猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的 距离相等距离相等. . 证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 OP=OP （公共边） PDO PEO（A.A.S.） PD=PE（全等三角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E D D 1 2 已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC 上，上，PDOAPDOA于点于
3、点DD，PEOBPEOB于点于点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE (3)验证猜想验证猜想 符号语言符号语言 题设题设： 1= 2, PD OA， PE OB 结论：结论：PD=PE P P A A O O B B C C E E D D 1 2 (4)角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 判断题判断题（ ） 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） BD = DC ( ) AD C B 角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。的距离相等。 随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习随堂练
4、习随堂练习随堂练习随堂练习 如图，在RtABC 中， 做完本做完本题题后，你后，你对对角平分角平分线线, ,又增加了什么又增加了什么认认 识识? ? 思考思考 角平分线的性质，为我们证明两条线段 相等 又提供了新的方法与途径途径。 A B C BD是角平分线 ， DEAB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ D 答：答： DE=DC。 BD是ABC的平分线 且DEBA， DE=DC。 为什么？ DCBC， 已知：如图已知：如图,PDOA，PEOB， 点点D、E为垂足，为垂足，PDPE 求证：点求证：点P在在AOB的平分线上的平分线上 O C B 1 A 2 P D E 证明：证明： PDOA
5、，PEOB， 在在Rt PDO 与与Rt PEO中中 PDO= PEO=900 PD=PE（已知）（已知） OP=OP（公共边）（公共边） RtPDO Rt PEO(H.L.) 1=2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上 角平分线上的点角平分线上的点 到角两边的距离到角两边的距离 相等。相等。 逆命题逆命题 角的内部到角两边的距角的内部到角两边的距 离相等的点在角的平分离相等的点在角的平分 线上线上. 题设题设PD=PE PDOA， PEOB 结论结论 OC平分平分 AOB A C B E D P M H K 例题例题如图，在如图，在ABC的的 顶点顶点 B的外角的平分线的外角的平分线B
6、D与与 顶点顶点 C的外角的平分线的外角的平分线CE相交于点相交于点P 求证：点到三边求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等的距离相等 证明：过点证明：过点P作作PMAB、 PKBC、PHAC，垂足分别，垂足分别 为为M、K、H。 BD平分平分CBM PMAB、PKBC PKPM 同理同理PKPH PKPMPH 即点即点P到三边到三边AB、BC、AC的距的距 离相等离相等 思 考 分 析 思 考 分 析 思 考 分 析 若求证点若求证点P在在BAC的平分线的平分线 上，又该如何证明呢？上，又该如何证明呢？ （第 1 题） 1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离
7、相等 提示：作提示：作AOB的平的平 分线，交直线分线，交直线l 于于P就就 是所求的点是所求的点 随堂演练随堂演练 练习：练习： 如图,求作一点P,使PC=PD, 并且点P到AOB的两边的距离相等. C D A B O P 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:
8、( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 3、如图，如图，O是三条角平分线的交点，是三条角平分线的交点， ODBC于于D，OD=3， ABC的的 周长为周长为15，求，求S ABC A B C O M N G D 这节课我们学到了什么？这节课我们学到了什么？ 掌握了角平分线的性质定理及其掌握了角平分线的性质定理及其 逆定理逆定理. 利用角平分线性质定理证明两条利用角平分线性质定理证明两条 线段相等线段相等. 课堂小结课堂小结 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业课后作业
