1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 2 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 M3，4，5，N1，2，5，则集合1，2可 以表示为（ ） AMN B （UM）N CM（UN） D （UM）（UN） 2若复数+3 1+2（R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ） A6 B4 C4 D6 3若等比数列an的前 n 项和= 3 2，则 a2（ ） A4 B12 C24 D36 4已知
2、命题 p：xR，x20，命题 q：xR，2xx2，则下列说法中正确的是（ ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题 5设 a0.36，blog36，clog510，则（ ） Acba Bbca Cacb Dabc 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 3 B5 2 C7 3 D5 3 7已知 1 + 1 0 2 2 0 若 + 的最小值是 2，则 a（ ） A1 B2 C3 D4 8若 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ，且 f（ 8）1 则实数 m 的值等于（ ） A
3、1 B3 或 1 C3 D1 或 3 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A14 B15 C16 D17 10 ABC中， BAC120， AB2， AC1， D是边BC上的一点 （包括端点） ， 则 的取 值范围是（ ） A1，2 B0，1 C0，2 D5，2 11如图过拋物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为（ ） Ay2= 3 2x By23x Cy2= 9 2x Dy29x 12已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）1，且当 x0 时，有 xf（x）f（x） ， 则不等式
4、 f（x）x 的解集是（ ） A （1，0） B （1，+） C （1，0）（1，+） D （，1）（1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知 2 = 2 3，则 cos（） 14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 15在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M，则满足AMB 为锐角的概率为 16A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，A
5、D 4，AB23，则该球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Snn2，nN* （1）证明：数列an是等差数列； （2）设 bn= 2+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 18 （12 分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个 等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度 测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频 数统计表如下： 表 1：男生 等级 优秀
6、合格 尚待改进 频数 15 x 5 表 2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y （1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格 的概率； （2）从表二中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结 果优秀与性别有关” 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 19 （12 分）如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形
7、，四边形 ABCD 为直角梯 形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4 （）求证：AC平面 BCE； （）求三棱锥 EBCF 的体积 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 2（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 M3，4，5，N1，2，5，则集合1，2可 以表示为（ ） AMN B （UM）N CM（UN） D （UM）（UN） 【解答】解：M3，4，5，
8、N1，2，5， MN5， （UM）N1，2， M（UN）3，4， （UM）（UN）， 故选：B 2若复数+3 1+2（R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ） A6 B4 C4 D6 【解答】解：+3 1+2 = (+3)(12) (1+2)(12) = (+6)+(32) 5 为纯虚数， + 6 = 0 3 2 0，解得：a6 故选：A 3若等比数列an的前 n 项和= 3 2，则 a2（ ） A4 B12 C24 D36 【解答】解：= 3 2， 1= 1= 31 2 = 3 2， a2S2S1（9a2）（3a2）6a， a3S3S2（27a2）（9a2）18a， an为等比数列
9、， （6a）2（3a2）18a， 解得 a2，或 a0（舍） ， a2， a2S2S16a12， 故选：B 4已知命题 p：xR，x20，命题 q：xR，2xx2，则下列说法中正确的是（ ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题 【解答】解：因为命题 p：xR，x20 是真命题，例如 x3， 而命题 q：xR，2xx2，是假命题，例如 x1， 由复合命题的真值表可知命题 p（q）是真命题 故选：C 5设 a0.36，blog36，clog510，则（ ） Acba Bbca Cacb Dabc 【解答】解：a0.361，b= 6 3
10、 =1+ 2 3，c= 10 5 =1+ 2 5， lg 5lg 3lg20， 0 2 5 2 3， acb 故选：B 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 3 B5 2 C7 3 D5 3 【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图， 三棱柱的底面是等腰直角三角形， 其面积 S= 1 2 121，高为 1； 故其体积 V1111； 三棱锥的底面是等腰直角三角形， 其面积 S= 1 2 121，高为 1； 故其体积 V2= 1 3 11= 1 3； 故该几何体的体积 VV1+V2= 4 3； 故选：A 7已知 1 + 1 0 2 2 0 若 + 的最小值是 2，
11、则 a（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由已知得线性可行域如图所示，则 zax+y 的最小值为 2 若 a2，则（1，0）为最小值最优解， a2， 若 a2，则（3，4）为最小值最优解，不合题意， 故选：B 8若 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ，且 f（ 8）1 则实数 m 的值等于（ ） A1 B3 或 1 C3 D1 或 3 【解答】解：因为 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ， 所以函数的对称轴是 x= 4 2 = 8，就是函数取得最值，又 f（ 8）1， 所以12+m，所以 m1 或3 故
12、选：B 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A14 B15 C16 D17 【解答】解：第一次循环： = 2 2 3，n2； 第二次循环： = 2 2 3 + 2 3 4，n3； 第三次循环： = 2 2 3 + 2 3 4 + 2 4 5，n4； 第 n 次循环： = 2 2 3 + 2 3 4 + 2 4 5 + + 2 +1 = 2 2 +1，nn+1 令2 2 +1 3解得 n15 输出的结果是 n+116 故选：C 10 ABC中， BAC120， AB2， AC1， D是边BC上的一点 （包括端点） ， 则 的取 值范围是（ ） A1，2 B0，1 C0，2 D5，2
13、【解答】解：D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，可设 = + (1 ) （0 1） BAC120，AB2，AC1， =21cos1201 = + (1 ) ( ) = (2 1) 2 + (1 ) 2 （21）4+1 7+2 01， （7+2）5，2 的取值范围是5，2 故选：D 11如图过拋物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为（ ） Ay2= 3 2x By23x Cy2= 9 2x Dy29x 【解答】解：如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D， 设|BF|a，则由已知得
14、：|BC|2a， 由定义得：|BD|a， 故BCD30， 在直角三角形 ACE 中， |AF|3，|AC|3+3a， 2|AE|AC| 3+3a6，从而得 a1， BDFG， 1 = 2 3， 求得 p= 3 2， 因此抛物线方程为 y23x， 故选：B 12已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）1，且当 x0 时，有 xf（x）f（x） ， 则不等式 f（x）x 的解集是（ ） A （1，0） B （1，+） C （1，0）（1，+） D （，1）（1，+） 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， 令 g（x）= () ，g（x）为偶函数， 又当 x0 时，xf（x）f（x
15、） ， g（x）= ()() 2 0； g（x）在（0，+）上是增函数，在（，0）上是减函数； 又 f（1）1，f（1）1，g（1）1； 当 x0 时，不等式 f（x）x， () 1，即 g（x）g（1） ， 有 x1； 当 x0 时，不等式 f（x）x， () 1，即 g（x）g（1） ， 有1x0； 当 x0 时，f（0）0，不等式 f（x）x 不成立； 综上，不等式 f（x）x 的解集是（1，0）（1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知 2 = 2 3，则 cos（） 1 9 【解答】解： 2 = 2 3， cos（）cos（
16、12sin2 2）= 1 9 故答案为： 1 9 14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 甲 【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立； 假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分； 故答案为：甲 15 在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M， 则满足AMB 为锐角的概率为 1 8 【解答】解：如果AEB 为直角，动点 E 位于以 AB 为直径的圆上（如图所示） 要使AMB 为锐角，则点 M
17、位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分） ； 因为半圆的面积为1 2 22= 2，正方形的面积为 4416， 所以满足AMB 为锐角的概率 = 1 2 16 = 1 8 故答案为：1 8 16A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD 4，AB23，则该球的表面积为 32 【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离 为球的半径， AD4，AB23，ABC 是正三角形，所以 AE2，AO22 所求球的表面积为：4（22）232 故答案为：32 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或
18、演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Snn2，nN* （1）证明：数列an是等差数列； （2）设 bn= 2+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 【解答】 （1）证明：当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1n2（n1）2 2n1 当 n1 时，上式也成立，an2n1 当 n2 时，anan1（2n1）（2（n1）1）2， 数列an是等差数列，以 1 为首项，2 为公差 （2）解：bn= 2+（1）nan22n 1+（1）n（2n1） ， 数列bn的前 2n 项和（21+23+22n 1）+（1+3）+（
19、5+7）+（4n3） +（4n1） ） = 2(421) 41 +2n = 242 3 +2n 2 3 18 （12 分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个 等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度 测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频 数统计表如下： 表 1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表 2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y （1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格 的概
20、率； （2）从表二中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结 果优秀与性别有关” 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 【解答】解： （1）设从高一年级男生中抽出 m 人，则 500 = 45 500+400，m25 x251555，y20182 表 2 中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 a，b，c，尚待改进的 2 人为 A， B， 则从这 5 人中任选 2 人的所
21、有可能结果为 （a，b） ， （a，c） ， （a，A） ， （a，B） ， （b，c） ， （b，A） ， （b，B） ， （c，A） ， （c，B） ， （A， B）共 10 种， 记事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格” 则 C 的结果为： （a，A） ， （a，B） ， （b，A） ， （b，B） ， （c，A） ， （c，B） ，共 6 种， P（C）= 6 10 = 3 5，故所求概率为 3 5； （2） 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 10.90.1，P（K22.706）
22、= 45(1551510)2 30152520 = 9 8 =1.1252.706 没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” 19 （12 分）如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯 形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4 （）求证：AC平面 BCE； （）求三棱锥 EBCF 的体积 【解答】 （I）证明：过 C 作 CMAB，垂足为 M， ADDC，四边形 ADCM 为矩形， AMMB2， AD2，AB4， AC22，CM2，BC22 AB2AC2+BC2，即 ACBC， AF平面 ABCD，AFBE， EB平面 ABCD， AC平面 ABCD，ACEB， EBBCB， AC平面 BCE； （II）解：AF平面 ABCD， AFCM， CMAB，ABAFA， CM平面 ABEF， VEBCFVCBEF= 1 3 1 2 = 1 6 2 4 2 = 8 3
