1、28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形及其应用及其应用 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 28.2.2 28.2.2 应用举例应用举例( (第第3 3课时课时) ) 宜宾是国家级历史文化名城宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一大观楼是其标志性建筑之一 ( (如图如图) ).喜爱数学的小伟决定用喜爱数学的小伟决定用所学所学的知识测量大观楼的高的知识测量大观楼的高 度度,如图所示如图所示,他站在点他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点处利用测角仪测得大观楼最高点P的的 仰角为仰角为45,又前进了又前进了12 m到达点到达点A处处,测得点测得点P的仰角为的仰角为60
2、.请请 你帮助小伟算一算大观楼的高度你帮助小伟算一算大观楼的高度( (测角仪的高度忽略不计测角仪的高度忽略不计,结果结果 保留整数保留整数) ). 导入新知导入新知 图图 图图 1. 正确理解正确理解方向角方向角、坡度坡度的概念的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决能运用解直角三角形知识解决方向角、方向角、坡度坡度 的问题的问题. 素养目标素养目标 3. 能够解决与解直角三角形有关的能够解决与解直角三角形有关的实际问题实际问题,如如 航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等. 方向角的定义：方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于指北或
3、指南方向线与目标方向线所成的小于90的角的角 叫做叫做方向角方向角. . 北偏东北偏东30 南偏西南偏西45 30 45 B O A 东东 西西 北北 南南 探究新知探究新知 知识点 1 方向角的有关问题方向角的有关问题 也叫西南方向也叫西南方向 探究新知探究新知 注意注意 （1）因为方向角是）因为方向角是指北或指南方向线与目指北或指南方向线与目 标方向线所成的角，所以方向角通常都写标方向线所成的角，所以方向角通常都写 成“成“北偏北偏”, , “南偏南偏”, ,的形式的形式. . （2）解决实际问题时，可利用正）解决实际问题时，可利用正南、南、正北正北、 正西正西、正东正东方向线构造直角三角
4、形方向线构造直角三角形来求解来求解. . （3）观测点不同，所得的方向角也不同，）观测点不同，所得的方向角也不同， 但各个观测点的但各个观测点的南北方南北方向线是互相平行向线是互相平行的，的， 通常借助于此性质进行通常借助于此性质进行角度转换角度转换. . 例例1 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏的北偏 东东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80 n mile的的A处，处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，处， 这时，海轮所在的这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多有多 远（结
5、果取整数）？远（结果取整数）？ 65 34 P B C A 探究新知探究新知 有关方向角的实际问题有关方向角的实际问题距离距离 素养考点素养考点 1 解：解：如图如图 ，在，在RtAPC中中， PC=PA cos（9065） =80cos25 800.91 =72.505. 在在RtBPC中，中，B=34， 因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东34方向时，方向时， 它距离灯塔它距离灯塔P大约大约130n mile sin PC B PB ， 72.505 130 n mile . sinsin34 PC PB B 65 34 P B C A 探究新知探究新知
6、探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程一般过程是：是： （1）将实际问题）将实际问题抽象为数学问题抽象为数学问题（画出平面图形，转（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）；化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解解 直角三角形直角三角形； （3）得到）得到数学问题数学问题的答案；的答案； （4）得到）得到实际问题实际问题的答案的答案 巩固练习巩固练习 美丽美丽的东昌湖滨位于江北水城的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布周边景点密布.如图所
7、示如图所示，A、B 为湖滨的两个景点为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点为湖心一个景点.景点景点B在景点在景点C的正东的正东， 从景点从景点A看看，景点景点B在北偏东在北偏东75方向方向，景点景点C在北偏东在北偏东30方方 向向.一游客自景点一游客自景点A驾船以每分钟驾船以每分钟20 m的速度行驶了的速度行驶了10分钟到达分钟到达 景点景点C，之后又以同样的速度驶向景点之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点该游客从景点C到景到景 点点B需用多长时间需用多长时间( (精确到精确到1分钟分钟) )? 解解: :根据题意根据题意,得得AC=2010=200( (m) ). 如图所示如图所示,过点过
8、点A作作ADBC于点于点D. 在在RtADC中中, , , , DC=AC sin CAD=200 sin 30=100. 在在RtADB中中, . . 310030cos200cosCADACAD 75tan3100tanBADADBD -100 3tan75 100CBDB DC- . . CB20=5 3tan75527 ( (分分) ). . 例例2 海中有一个小岛海中有一个小岛A，它周围，它周围8海里内海里内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行， 在在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，方向上， 航行航行12海里到达海里到达C点，这时测
9、得小岛点，这时测得小岛A在在 北偏东北偏东30方向上，如果渔船不改变航方向上，如果渔船不改变航 线继续向东航行，有没有触礁的危险？线继续向东航行，有没有触礁的危险？ B A C 60 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 有关方向角的实际问题有关方向角的实际问题预测路线预测路线 30 解：解：过过A作作AFBC于点于点F， 则则AF的长是的长是A到到BC的最短距离的最短距离. . BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF =6030 =30. 北北 东东 A C B 60 30 D E F 探究新知探究新知 又又ABC =DBFDBA = 9060
10、=30=BAC， BC=AC=12海里海里， ， 故渔船继续向正东方向行驶，故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险没有触礁的危险 北北 东东 A C B 60 30 D E F 探究新知探究新知 8392.1036 cos306 3AFAC ( (海里海里) )， 如如图所示，图所示，A、B两城市相距两城市相距200km. .现计划在这两座城市间现计划在这两座城市间 修筑一条高速公路修筑一条高速公路( (即线段即线段AB) )，经测量，森林保护中心，经测量，森林保护中心P在在A 城市的北偏东城市的北偏东30和和B城市的北偏西城市的北偏西45的方向上已知森的方向上已知森 林保护区的范围在以林
11、保护区的范围在以P点为圆心，点为圆心，100km为半径的圆形区域内，为半径的圆形区域内， 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 ( (参考数据参考数据： 1.732， 1.414) )? 32 巩固练习巩固练习 北北 东东 解：解：过点过点P作作PCAB于点于点C 则则APC30，BPC45， ACPC tan30，BCPC tan45. ACBCAB， PC tan30PC tan45200， 即即 ， 解得解得 PC126.8km100km. 答：答：计划修筑的这条高速公路不会计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区穿越保护区 C 巩固练习
12、巩固练习 200 3 3 PCPC 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际 情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝 或山或山的高度的高度h时，时，我们无法直接测量我们无法直接测量，我们又该如何呢？我们又该如何呢？ h h l l 知识点 2 坡度、坡角有关的问题坡度、坡角有关的问题 探究新知探究新知 【思考思考】如图，从山脚到山顶有两条路如图，从山脚到山顶有两条路AB与与BC， 问哪条路比较陡？问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A
13、 B C 探究新知探究新知 坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，用字母，用字母 表示表示. 坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平距离和水平距离l的比叫做的比叫做 坡度坡度，用字母，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成表示，如图，坡度通常写成 的的形式形式. tan h i l h l 坡度越大坡度越大 坡角越大坡角越大 坡面越陡坡面越陡 探究新知探究新知 水平面水平面 坡面坡面 （1）斜坡的坡度是）斜坡的坡度是 ，则坡角，则坡角 =_度度. （2）斜坡的坡角是）斜坡的坡角是45 ，则坡比是 ，则坡比是 _. （3）斜坡长是）斜坡长是12
14、米，坡高米，坡高6米，则坡比是米，则坡比是_. l h 30 1 : 1 1: 3 1: 3 巩固练习巩固练习 完成完成下列各下列各题题: : 例例1 如图，防洪大堤的横截面是梯形如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中其中ADBC， =60，汛期来临前对其进行了加固，汛期来临前对其进行了加固，改造后改造后的背水面坡角的背水面坡角 =45若原坡长若原坡长AB=20m，求改造，求改造后的后的坡长坡长AE(结果结果保留根保留根号号) 探究新知探究新知 利用坡度、坡角解答大坝问题利用坡度、坡角解答大坝问题 素养考点素养考点 1 解：解：过点过点A作作AFBC于点于点F， 在在RtABF中，中，
15、ABF =60， 则则AF=AB sin60= ( (m) )， 在在RtAEF中，中，E=45， 则则 ( (m) ). . 故改造后的坡长故改造后的坡长AE 为为 m. 10 3 10 6 sin45 AF AE 10 6 F 探究新知探究新知 如如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 ( (横断面为横断面为 梯形梯形ABCD) ) 急需加固，背水坡的坡角为急需加固，背水坡的坡角为45，高，高10 米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是： 沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽沿背水坡面用土石进
16、行加固，并使上底加宽 2米，加固后米，加固后 背水坡背水坡EF的坡比的坡比 求加固后坝底增加的宽度求加固后坝底增加的宽度AF. . ( (结果保留根号结果保留根号) ) A B C D E F 45 巩固练习巩固练习 3:1i 3:1i 10 32 1010 38AFFGAG ( (米米).). A B C D E F 45 G H 解：解：作作DGAB于于G，EHAB于于H， 则则GH=DE=2米，米，EH=DG=10米米. . ( (米米) )， ( (米米).). 又又AG=DG=10米，米， 故故加固后坝底增加的宽度加固后坝底增加的宽度AF为为 米米. . 10 38 巩固练习巩固练习
17、 3:1i 例例2 如图，一山坡的坡度为如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚小刚从山脚A出发，沿山坡出发，沿山坡 向上走了向上走了240m到达点到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升这座山坡的坡角是多少度？小刚上升 了多少米（角度精确到了多少米（角度精确到0.01，长度精确到，长度精确到0.1m）？）？ i=1:2 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用坡度、坡角解答山坡问题利用坡度、坡角解答山坡问题 在在RtABC中中，B=90，A=26.57， AC=240m， 解：解： 用用表示坡角的大小，由题意可得表示坡角的大小，由题意可得 因此因此 26.57. 答：答：这座山坡的坡
18、角约为这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约，小刚上升了约107.3 m 从而从而 BC=240sin26.57107.3（m） 因此因此 sin 240 BCBC AC ， 1 tan0.5 2 ， 探究新知探究新知 B A C i=1:2 如如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测点出发时，测 得坡面得坡面AB的坡度为的坡度为1 : 2，走，走 米米到达山顶到达山顶A处这时，处这时， 他发现山的另一坡面他发现山的另一坡面AC的最低点的最低点C的俯角是的俯角是30请求出请求出 点点B和点和点C的水平距离的水平距离 520 A C B D 30
19、答案：答案：点点B和点和点C的水平距离为的水平距离为 米米. . 40+20 3 巩固练习巩固练习 E 1.如图如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高 和坝底宽（精确到和坝底宽（精确到0.1m）参考数据）参考数据： ， 连接中考连接中考 414. 12 .732.13 连接中考连接中考 解：解：在在RtCDE中中， ， ， DC DE C sin )(714 2 1 30sinmDCDE CD CE C cos EF=AD=6m，AF=DE=7m. 四边形四边形AFED是矩形，是矩形， 答：答：该坝的坝高和坝底宽分别为该坝的
20、坝高和坝底宽分别为7m和和25.1m 在在RtABF中，中，B=45， BF=AF=7m. BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m） 12.12124.123714 2 3 30cosDCCE. . 2.如如图，图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点米到达点C，再经过一段坡度，再经过一段坡度 （或坡比）为（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为、坡长为10 米的斜坡米的斜坡CD 到达点到达点 D，然后，然后 再沿水平方向向右行走再沿水平方向
21、向右行走40 米到达点米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一均在同一 平面内）在平面内）在E处测得建筑物顶端处测得建筑物顶端A的仰角为的仰角为24，则建筑物，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91， tan24=0.45）（ ） A21.7米米 B22.4米米 C27.4米米 D28.8米米 A 连接中考连接中考 1. 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，C岛在岛在B岛岛 的北偏西的北偏西40方向，则从方向，则从C岛看岛看A，B两岛的视角两岛的视角 ACB等于等于 90 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课
22、堂检测课堂检测 2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到处观测到 灯塔灯塔M在北偏东在北偏东60方向上，航行半小时后到达方向上，航行半小时后到达B处，此时观处，此时观 测到灯塔测到灯塔M在北偏东在北偏东30方向上，那么该船继续航行到达离灯方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是（塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10分钟分钟 B. 15分钟分钟 C. 20分钟分钟 D. 25分钟分钟 B 课堂检测课堂检测 3. 如图，海上如图，海上B、C两岛分别位于两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘岛的正东和正北方向
23、，一艘 船从船从A岛出发，以岛出发，以18海里海里/ /时的速度向正北方向航行时的速度向正北方向航行2小时到达小时到达C 岛，此时测得岛，此时测得B岛在岛在C岛的南偏东岛的南偏东43方向，则方向，则A、B两岛之间的两岛之间的 距离为距离为 ( (结果精确到结果精确到0.1海里海里，参考参考数据：数据： sin43=0.68， cos43=0.73，tan43=0.93) ) 33.5海里海里 课堂检测课堂检测 水库水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高，坝高23m，斜坡，斜坡AB 的坡度的坡度i=13，斜坡，斜坡CD的坡度的坡度i=12.5，求：，求： ( (1)
24、) 斜坡斜坡CD的坡角的坡角 ( (精确到精确到 1) )； A D B C i=1:2.5 23 6 i=1:3 解：解： 斜坡斜坡CD的坡度的坡度i = tan = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算，由计算器可算 得得22.故故斜坡斜坡CD的坡角的坡角 为为22. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 解：解：分别过点分别过点B , C作作BEAD于于E ，CFAD于于F ， 由题意可知由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在在RtABE中，中， ( (2) ) 坝底坝底AD与斜坡与斜坡AB的长度的长度 ( (精确到精确到0.1m). ). E F A
25、 D B C i=1:2.5 23 6 i=1:3 1 3 BE i AE ， 课堂检测课堂检测 在在RtABE中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得 2222 692372.7 mABAEBE. 在在RtDCF中，同理可得中，同理可得 故坝底故坝底AD的长度为的长度为132.5m，斜坡，斜坡AB的长度为的长度为72.7m. . AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5( (m) ) FD=2.5CF=2.523=57.5( (m) )， 课堂检测课堂检测 A D B C i=1:2.5 23 6 i=1:3 E F 解：解：作作DEAB于于E ， CFAB于于F ， 由题意由题意
26、可知，可知，DECF4 (米米)，CDEF12 (米米) 一段一段路基的横断面是梯形，高为路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是米，上底的宽是12 米米，路基，路基的的 坡面与地面的倾角分别是坡面与地面的倾角分别是45和和30，求路基下底的宽，求路基下底的宽 (精确到精确到 0.1米，米， ， ). 45 30 4米米 12米米 A B C D 732. 13 414. 12 在在RtADE中，中， 4 tan45 , DE i AEAE E F 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 在在RtBCF中，同理可得中，同理可得 因此因此 ABAEEFBF4126.9322.9 ( (米米) ) 答：答： 路基下底的宽约为路基下底的宽约为22.9米米 ( (米米) ). 4 6.93 tan30 BF ( (米米) ). 45 30 4米米 12米米 A B C D E F 课堂检测课堂检测 利用方向角、利用方向角、 坡度解直角坡度解直角 三角形三角形 坡度问题坡度问题 方向角方向角问题问题 坡角坡角 坡度坡度( (或坡比或坡比) ) tan h i l 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
