1、28.2.2 应用举例第2课时第二十八章 锐角三角函数1.测量高度时测量高度时,仰角与俯角有何区别仰角与俯角有何区别?2.解答下面的问题解答下面的问题如图如图,有两建筑物有两建筑物,在甲建筑物上从在甲建筑物上从A到到E点点挂一长为挂一长为30米的宣传条幅米的宣传条幅,在乙建筑物的在乙建筑物的顶部顶部D点测得条幅顶端点测得条幅顶端A点的仰角为点的仰角为45,条幅底端条幅底端E点的俯角为点的俯角为30.求甲、乙两建求甲、乙两建筑物之间的水平距离筑物之间的水平距离BC.AEDCB甲甲乙乙1.1.能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的实际问题的实
2、际问题.2.2.培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法学思想和方法.以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于向线构成的小于90的角，叫做方位角的角，叫做方位角.如图所示：如图所示：3045BOA东东西西北北南南方位角方位角4545西南西南O东北东北东东西西北北南南西北西北东南东南北偏东北偏东30南偏西南偏西45例例1 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏的北偏东东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80 n mile的的A处，处，它沿正南方向航
3、行一段时间后，到达位它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这处，这时，海轮所在的时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远有多远（精确到（精确到0.01 n mile）？）？6534PBCA【例题例题】如图如图，在，在RtAPC中中PC=PAcos（9065）80cos25=72.505在在RtBPC中，中，B=34因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，方向时，它距离灯塔它距离灯塔P大约大约130n milesinP CBP B，72.5.5130n m ilesinsin 34P CP BB6534
4、PBCA解析：解析：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但，但是，当我们要测量如图所示的山高是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，
5、积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略.与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山的，而山坡是坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡我们可以把山坡“化整为零化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可的，可以量出这段坡长以量出这段坡长li，测出相应的仰角，测出相应的仰角ai，这样就可以算出这段
6、，这样就可以算出这段山坡的高度山坡的高度hi=lisinai.hiliai 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积零为积零为整整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“”“化曲化曲为直，以直代曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地想，它在数
7、学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容了解这方面的内容 如图，坡面的铅垂高度（如图，坡面的铅垂高度（h）和水平距离（）和水平距离（l）的比叫做坡面）的比叫做坡面坡度坡度（或坡比）（或坡比）.记作记作i，即，即i=.19.4.5 坡度通常写成坡度通常写成1 m的形式，如的形式，如i=1 .坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，记作，记作，有有i =tan 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.hl垂直高度水平距离hl在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾
8、斜程度倾斜程度.6 hlilhi:i 坡度或坡比坡度或坡比l水平长度水平长度铅垂铅垂高度高度坡角坡角1.斜坡的坡度是斜坡的坡度是 ，则坡角，则坡角=_度度.2.斜坡的坡角是斜坡的坡角是45，则坡比是，则坡比是 _.3.斜坡长是斜坡长是12米，坡高米，坡高6米，则坡比是米，则坡比是_.lh301:11:31:3【例题例题】如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指是指坡面的铅直高度坡面的铅直高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角和和;（2）斜坡）斜坡AB和和DCDC的长（精确到的长（精确到0.1
9、m）.BADFEC6mi=1:3i=1:1.5（1）在在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF：33.7在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3D EiC E18.4【解析解析】BADFEC6mi=1:3i=1:1.5（2）在在RtAFB中，中，1,1.5A FB FBF=9m且且AF=6m22226911710.8ABAEBFm在在RtCDE中，中，1,3D EE C且且EC=18mDE=6m222261836019.0DCDEECm如图，一山坡的坡度为如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚小刚从山脚A出发，沿山坡向上出发，沿山坡向上走了走了240m到达点到达点C.
10、这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到少米（角度精确到0.01，长度精确到，长度精确到0.1m）？）？i=1:2【跟踪训练跟踪训练】在在RtABC中，中，B=90，A=26.57，AC=240m解解析析：用用表示坡角的大小，由题意可得表示坡角的大小，由题意可得因此因此 26.57答：这座山坡的坡角约为答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约，小刚上升了约107.3 m从而从而 BC=240sin26.57107.3（m）因此因此sin240B CB CA C1tan0.521.正确理解方向角、正确理解方向角、坡度坡度的概念的概念.2.能运
11、用解直角三角形知识解决方向角、能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度坡度的问题；的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的 数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解 决问题的综合能力决问题的综合能力.1.（2020大连）如图，小明在一条东西走向公路的大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测处，测得图书馆得图书馆A在他的北偏东在他的北偏东60方向，且与他相距方向，且与他相距200m，则图，则图书馆书馆A到公路的距离到公路的距离AB为（）为（）A100m B C D1003m20033
12、mA100 2m由题意得，由题意得，AOB=90-60=30AB=1/2OA=100（m）解析：解析：分析：分析：2.（2021南通）如图，一艘轮船位于灯塔南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东的南偏东60方向，距离灯塔方向，距离灯塔50海里的海里的A处，它沿正北方向航行一段时间处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔后，到达位于灯塔P的北偏东的北偏东45方向上的方向上的B处，此时处，此时B处处与灯塔与灯塔P的距离为的距离为 海里（结果保留根号）海里（结果保留根号）25 6过点过点P作作PCAB，在，在RtAPC中由锐角三角中由锐角三角函数定义求出函数定义求出PC的长，再在的长，再在RtB
13、PC中由锐中由锐角三角函数定义求出角三角函数定义求出PB的长即可的长即可解：过解：过P作作PCAB于于C，如图所示：，如图所示：由题意得：由题意得：APC=30，BPC=45，PA=50海里海里 在在RtAPC中，中，cosAPC=PC/PA PC=PAcosAPC=50 =（海里）（海里）在在RtPCB中，中，cosBPC=PC/PB，PB=PC cosBPC=（海里）（海里）答案：答案：3225 325 32225 625 63.3.如图，在一海域执行护航任务的海军某军舰由东向西行驶如图，在一海域执行护航任务的海军某军舰由东向西行驶在航行到在航行到B B处时，发现灯塔处时，发现灯塔A A在军舰的正北方向在军舰的正北方向500500米处；米处；当该军舰从当该军舰从B B处向正西方向行驶至达处向正西方向行驶至达C C处时，发现灯塔处时，发现灯塔A A在在军舰的北偏东军舰的北偏东6060的方向的方向.求该军舰行驶的路程求该军舰行驶的路程（计算过程和结果均不取近似值（计算过程和结果均不取近似值)【解析解析】A=60A=60,BC=ABBC=ABtanA=500tanA=500tan60tan60=500 3.
