1、第二十七章第二十七章27.2.3 27.2.3 用平行线判定三角形相似用平行线判定三角形相似人教版数学九年级下册1.1.了解相似比的定义了解相似比的定义.2.2.掌握判定两个三角形相似的方法：掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似这两个三角形相似.学习目标学习目标判定两个三角形全等时，除了可以判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，验证它们所有的角和边
2、分别相等外，还可以使用简便的判定方法（还可以使用简便的判定方法（SSSSSS，SASSAS，ASAASA，AAS).AAS).类似地，判定两个三类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？定方法呢？导入新知导入新知1知识点知识点平行线截三角形相似平行线截三角形相似如图，在如图，在ABC中，中，DE/BC，且，且DE分别交分别交AB，AC于点于点D，E，ADE与与ABC有什么关系？有什么关系？合作探究合作探究解析：解析：直觉告诉我们，直觉告诉我们，ADE与与ABC相似，我们通过相似相似，我们通过相似的定义证明它，即证明的定义证明它，即证明A=A,A
3、DE=B,AED=C,由前面的结论可得，由前面的结论可得，而而 中的中的DE不在不在ABC的边的边BC上，不上，不能直接利用前面的结论能直接利用前面的结论.但从要证的但从要证的 可以看可以看出，除出，除DE外，外，AE，AC，BC都在都在ABC的边上，因的边上，因此只需将此只需将DE平移到平移到BC边上去，使得边上去，使得BF=DE，再证明，再证明 就可以了就可以了(如图如图).只要过点只要过点E作作EF/AB，交，交BC于点于点F，BF就是平移就是平移DE所得的线段所得的线段.=.ADAEDEABACBC=.ADAEABACDEBC=AEDEACBC=AEBFACBC先证明两个三角形的角分别
4、相等先证明两个三角形的角分别相等.如图，在如图，在ADE 与与ABC 中，中，A=A.DE/BC，ADE=B，AED=C.再证明两个三角形的边成比例再证明两个三角形的边成比例.过点过点E作作EF/AB，交，交BC于点于点F.DE/BC，EF/AB，=.ADAE BFAEABACBCAC，四边形四边形DBFE是平行四边形，是平行四边形，DE=BF.这样，我们证明了这样，我们证明了ADE和和ABC的角分别相等，的角分别相等，边成比例，所以边成比例，所以 ADEABC.因此，我们有如下因此，我们有如下判定判定三角形相似的定理：三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成平行于三角形
5、一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似.=.ADAEDEABACBC=.DEAEBCAC例例1 如图，在如图，在 ABCD中，中，F是是AD边上的任意一点，连边上的任意一点，连接接BF并延长交并延长交CD的延长线于点的延长线于点E，则图中与，则图中与DEF相似的三角形共有相似的三角形共有()A1个个B2个个C3个个D4个个导引：导引：由于四边形由于四边形ABCD是平行四边形，因此是平行四边形，因此FDBC，DEAB.于是可从图中找出符合于是可从图中找出符合“A”型相似的型相似的DEF与与CEB，符合，符合“X”型相似的型相似的DEF与与ABF.故选故选B.
6、B利用平行线寻找相似三角形的方法：利用平行线寻找相似三角形的方法：在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，也是今后解本类题目的首要之选也是今后解本类题目的首要之选新知小结新知小结用平行线判定三角形相似的定理：用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似角形相
7、似数学表达式：如图，数学表达式：如图，DEBC，ABCADE.合作探究合作探究ADE=B，AED=C.但从要证的 可以看应角所夹的边是对应边；解析：直觉告诉我们，ADE与ABC相似，我们通过相似在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一池塘的两个点D，E，使DEBC，ABCADE.利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角过点E作EF/AB，交BC于点F.C3个 D4个S ABCDACBC；C3个 D4个型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，过点E作EF/AB，交BC于点F.如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，且，且AD=3，DB=2
8、.写写出图中的相似三角形，并指出其相似比出图中的相似三角形，并指出其相似比.解：解：DEBC，ADEABC.其相似比为其相似比为3=.5ADADABADDB 巩固新知巩固新知【中考中考河南河南】如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E分别是分别是AB，AC的中点，则下列结论：的中点，则下列结论：BC2DE；ADEABC；.其中正确的有其中正确的有()A3个个 B2个个 C1个个 D0个个2ADABAEAC A2知识点知识点相似三角形性质的应用相似三角形性质的应用如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直接测量距离，小明做了接测量距离，小明做了ABC，取
9、，取池塘的两个点池塘的两个点D，E，使，使DEBC，测出测出BC，AD，AB的长就可以算出的长就可以算出DE的长，你知道为什么吗？的长，你知道为什么吗？原来由原来由DEBC可以得到可以得到ABCADE，所以，所以AD AB=DE BC.合作探究合作探究通过建立相似三角形数学模型可以解通过建立相似三角形数学模型可以解决实际问题决实际问题.新知小结新知小结例例2 如图，在如图，在 ABCD中，中，AEEB，AF2，则，则FC等等于于_导引：导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，就有对应边的比相等，就能求出就有对应边的比相等，就能求出FC的
10、长的长在在 ABCD中，中，ABCD，ABCD，AEFCDF.AEEB，AE AB CD.CF2AF4.4.AEAFCDCF 1212合作探究合作探究利用证三角形相似求线段的长的方法：利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角当三角形被平行线所截形成形被平行线所截形成“A”型或型或“X”型的图形，型的图形，并并且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段线段的长的长新知小
11、结新知小结【中考中考眉山眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学这是我国古代数学九章算术九章算术中的中的“井深几何井深几何”问问题，它的题意可以由图获得，题，它的题意可以由图获得，则井深为则井深为()A1.25尺尺 B57.5尺尺 C6.25尺尺 D56.5尺尺1B巩固新知巩固新知【中考中考哈尔滨哈尔滨】如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别为分别为AB，AC边上的点，边上的点，DEBC，点，点F为为BC边上一点，连接边上一点，连接AF交交DE于点于点G，
12、则下列结论中一定正确的是，则下列结论中一定正确的是()A.B.C.D.2 ADAEABEC AGAEGFBD BDCEADAE AGACAFECC【中考中考恩施州恩施州】如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，ADEEFC，AD BD5 3，CF6，则则DE的长为的长为()A6 B8 C10 D123C【中考中考贵港贵港】如图，】如图，ABCD的对角线的对角线AC，BD交于交于点点O，CE平分平分BCD交交AB于点于点E，交，交BD于点于点F，且，且ABC60，AB2BC，连接，连接OE.下列结论：下列结论：ACD30；S ABCDACBC；OE:AC :6；SOCF2SOEF，其中成立的有，
13、其中成立的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个43D确定相似三角形的对应边和对应角的方法：确定相似三角形的对应边和对应角的方法：(1)有公共角的，公共角一般是对应角；有公共角的，公共角一般是对应角；(2)有对顶角的，对顶角一般是对应角；有对顶角的，对顶角一般是对应角；(3)相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对 应角所夹的边是对应边；应角所夹的边是对应边；(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对 应边所夹的角是对应角应边所夹的角是对应角 1知识小结知识小结归纳新知归纳新知如图所示，如图所示，AOBC
14、OD，下列各式中正确的有，下列各式中正确的有()2易错小结易错小结ABBOCDCO；A易错点：易错点：对相似三角形的对应关系理解模糊而出错对相似三角形的对应关系理解模糊而出错.ABAOCDDO；AOBOODCO；.AOBOCODO A1个个 B2个个 C3个个 D4个个相似相似ABOCDO课后练习课后练习利用平行线寻找相似三角形的方法：如图，在ABC中，DEBC，且AD=3，DB=2.A1个 B2个 C3个 D4个如图，在ABC中，DEBC，且AD=3，DB=2.通过建立相似三角形数学模型可以解决实际问题.利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角如图，在ABC中，DE/BC，且DE分别交AB，
15、AC于点D，E，ADE与ABC有什么关系？也是今后解本类题目的首要之选在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有OE:AC :6；解析：直觉告诉我们，ADE与ABC相似，我们通过相似的三角形与原三角形相似.在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ADE=B，AED=C.先证明两个三角形的角分别相等.就可以了(如图).也是今后解本类题目的首要之选通过建立相似三角形数学模型可以解决实际问题.型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对例
16、1 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与DEF相似的三角形共有()如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.只要过点E作EF/AB，交例1 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与DEF相似的三角形共有()AEEB，AE AB CD.型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，BCCB对应边对应边成比例成比例C【答案答案】CB【答案答案】A解：解：ADEABC，DOECOB.过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相AEFCDF.AEFCDF.等构建包含已知与未知线
17、段的比例式，即可求出线段线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”ABCADE.(1)有公共角的，公共角一般是对应角；的三角形与原三角形相似.AEFCDF.ADEABC.解析：直觉告诉我们，ADE与ABC相似，我们通过相似ADE=B，AED=C.在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有只要过点E作EF/AB，交25尺 D56.型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，利用平行线寻找相似三角形的方法：应角所夹的边是对应边；C3个 D4个【中考哈尔滨】如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DEBC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是()型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，AEEB，AE AB CD.利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角只要过点E作EF/AB，交【中考贵港】如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC60，AB2BC，连接OE.再见再见
