1、27.2 27.2 相似三角形相似三角形 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 27.2.1 27.2.1 相似三角形相似三角形的的判定判定 ( (第第4 4课时课时) ) 观察两副三角尺如图，其中同样角度（观察两副三角尺如图，其中同样角度（30与与60， 或或45与与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看）的两个三角尺大小可能不同，但它们看 起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角 相等，它们一定相似吗？相等，它们一定相似吗？ 导入新知导入新知 1. 掌握“掌握“两角对应相等两角对应相等，两个三角形相似”的判，两个三角形相似”的
2、判 定方法定方法. . 2. 能够运用能够运用三角形相似三角形相似的条件解决简单的问题的条件解决简单的问题. 素养目标素养目标 3. 掌握判定两个掌握判定两个直角三角形相似直角三角形相似的方法，并能的方法，并能 进行相关计算与推理进行相关计算与推理. 作作ABC和和ABC ，使得，使得AA ，BB ，这时，这时 它们的第三个角满足它们的第三个角满足CC吗？分别度量这两个三角形的吗？分别度量这两个三角形的 边长，计算边长，计算 ，你有什么发现？，你有什么发现？ AC CA CB BC BA AB 、 满足：满足：C = C 探究新知探究新知 知识点 1 两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的
3、两个三角形相似 这两个三角形是这两个三角形是 相似相似的的 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ ABC和和ABC相似吗？相似吗？ 一样一样 ABC和和ABC相似相似 探究新知探究新知 你能试着证明你能试着证明ABCABC吗？吗？ 如图，已知如图，已知ABC和和ABC中中，A=A, B=B， 求证求证: : ABCABC. 证明：证明：在在ABC的边的边AB（或延长线）上，截取（或延长线）上，截取AD=AB， 过点过点D作作DE/BC，交，交AC于点于点E，则有，则有ADEABC. ADE=B, B=B, ADE=B. 又又A=A ，AD
4、=AB, ADEABC. ABCABC. A B C D E A B C 探究新知探究新知 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似. . A=A，B=B， ABC ABC. 符号语言：符号语言： C A B A B C 归纳：归纳： 探究新知探究新知 例例1 如图所示如图所示，在在ABC和和ABC中中，B B90，AA，判断这两个三判断这两个三 角形是否相似角形是否相似 C B A C B A 解：解： BB90， AA， ABCABC. 探究新知探究新知 利用两角相等判断三角形相似利用
5、两角相等判断三角形相似 素养考点素养考点 1 A B D C ACD ACB B ADC 巩固练习巩固练习 如如图图，点点 D 在在 AB上上，当当 ( (或或 ) )时时，ACDABC. 例例2 弦弦AB和和CD相交于相交于O内一点内一点P,求证求证:PA PB=PC PD. A C D 证明证明: :连接连接AC、BD. A、D都是弧都是弧CB所对的所对的圆周角圆周角, , A=D. 同理同理: C=B. PACPDB. PAPC PDPB 即即PA PB=PC PD. A B P O O D C B P 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用三角形相似求等积式利用三角形相似求等积式
6、 . 如图如图，O 的弦的弦 AB，CD 相交于点相交于点 P，若若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则则 PD = . 6 O D C B A P 巩固练习巩固练习 ADAE . ACAB 解：解： EDAB，EDA=90. 又又C=90 ，A=A， AED ABC. 如图如图，在在 RtABC 中，中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是是 AC 上一点，上一点，AE = 5，EDAB，垂足为，垂足为D. 求求AD的的 长长. D A B C E 8 5 4. 10 AC AE AD AB 探究新知探究新知 知识点 2 两直角三角形相似的判定两直角三角形相似的判定
7、由此得到一个判定直角三角形相似的方法：由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似有一个锐角相等的两个直角三角形相似. . 归纳：归纳： 探究新知探究新知 已知：已知： ABCA1B1C1. 求证：求证： 你能证明吗？你能证明吗？ 可要仔细哟！可要仔细哟！ H L A B C A1 B1 C1 RtABC 和和 RtA1B1C1， ， . 1111 k CB BC BA AB 探究新知探究新知 如图，在如图，在 RtABC 和和 RtABC 中，中，C=90， C=90， . 求证：求证：RtABC RtABC. ABAC A BA C C A A B B C 要
8、证明两个三角形要证明两个三角形 相似，即是需要相似，即是需要 证明什么呢？证明什么呢？ 目标：目标： BCABAC BCA BAC 探究新知探究新知 证明：证明：设设 ，则，则AB=kAB，AC=kAC. 由由 ，得，得 . Rt ABC Rt ABC. 22 BCABAC， 22 .BCABAC . kB C k B C ABAC k A BA C 勾股定理勾股定理 BCABAC B CA BA C CB CAkBAk CB ACAB CB BC 222222 C A A B B C 探究新知探究新知 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角边直角边与与 另一个直角三
9、角形的斜边和一条直角边对应成比例，另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似. . 判定两直角三角形相似的定理判定两直角三角形相似的定理 H L A B C ABCA1B1C1. 即即 如果如果 那么那么 A1 B1 C1 1111 , ABBC k ABBC RtABC 和和 RtA1B1C1. 探究新知探究新知 例例 如如图，已知：图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2， ，当，当 AB 的长为的长为 时时，ACB 与与ADC相似相似 2CD C A B D 探究新知探究新知 素养考点素养考点 3 直角三角形相似的判定直角三
10、角形相似的判定 解析：解析：ADC = 90，AD = 2， ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1） 当当 RtABC RtACD 时，时，有有 AC : AD AB : AC， 即即 ，解得解得 AB=3； 2 222 226.ACADCD C A B D 2 2 探究新知探究新知 2CD 6:2:6AB （2）当）当 RtACB RtCDA 时，有时，有 AC : CD AB : AC ， 即即 ，解得，解得 当当 AB 的长为的长为 3 或或 时，这两个直角三角形相似时，这两个直角三角形相似 3 2 探究新知探究新知 6:2:6AB23A
11、B C A B D 2 2 如图如图，在在 RtABC 中，中， ABC = 90 ， ，BDAC 于于D. 若若 AB=6，AD=2，则，则 AC= ，BD= ， BC= . 18 D B C A 4 2 12 2 巩固练习巩固练习 1.如图如图，在，在ABC中，点中，点D是边是边AB上的一点 上的一点，ADC=ACB， AD=2，BD=6，则边则边AC的长为（的长为（ ） A2 B4 C6 D8 连接中考连接中考 B 2.学校门口的栏杆如图所示学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置，栏杆从水平位置BD绕绕O点旋转点旋转 到到AC位置，已知位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为垂足分别为B
12、，D， AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆则栏杆C端应下降的垂直距离端应下降的垂直距离 CD为（为（ ） A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m C 连接中考连接中考 1. 如图，如图，ABC中中，AE 交交 BC 于点于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则则DC的长等于的长等于（ ） A. 15 4 B. 12 5 C. 20 3 D. 17 4 A C A B D E 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 如图，在如图，在 ABC 和和 ABC 中，若中，若A=60，B =40，A = 60，当，当C= 时，时，AB
13、C ABC. C A B B C A 80 课堂检测课堂检测 3. 如图，如图，ABC中，中，DEBC，EFAB， 求证：求证：ADEEFC. A E F B C D 证明证明: : DEBC，EFAB， AEDC， AFEC. ADEEFC. 课堂检测课堂检测 证明：证明： 在在 ABC中中，A=40，B=80， C=180AB=60. 在在DEF中中，E=80，F=60. B=E，C=F. ABC DEF. 4. 如图如图，ABC 和和 DEF 中中，A=40，B=80， E=80 ，F=60 求证求证：ABC DEF. A C B F E D 课堂检测课堂检测 证明：证明： ABC 的高
14、的高AD、BE交于点交于点F， FEA=FDB=90， AFE =BFD （对顶角相等对顶角相等） FEA FDB， 1. 如图如图，ABC 的高的高 AD、BE 交于点交于点 F 求证：求证： . AFEF BFFD D C A B E F 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 解：解： A= A, ,ABD=C, , ABD ACB , , AB : AC=AD : AB, , AB2 = AD AC. AD=2, , AC=8, , AB =4. 2.已知已知: :如图如图, ,ABD=C，AD=2, , AC=8，求求AB. 课堂检测课堂检测 A B C D 如如图图
15、，BE是是ABC的外接圆的外接圆O的直径的直径，CD是是 ABC 的高的高， 求证：求证：AC BC = BE CD. O D C B A E 证明：证明： 连接连接CE， 又又BE是是ABC的外接圆的外接圆O的直径的直径， BCE= 90=ADC， AC BC = BE CD. ACCD BEBC ， 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 ACDEBC. A=E，BCE=ADC， 则则A=E. 两角分两角分 别相等别相等 的两个的两个 三角形三角形 相似相似 利用利用两角两角判定三角形相似判定三角形相似 直角三角形直角三角形相似的判定相似的判定 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
