1、8.3 8.3 实际问题与二元一次方程实际问题与二元一次方程组组 ( (第第2 2课时课时) ) 人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册 1把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折 法？法？ 2把长方把长方形纸片折成面积之比为形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，的两个小长方形， 又有哪些折法？又有哪些折法？ 导入新知导入新知 2. 进一步进一步经历和体验经历和体验方程组解决实际问题的方程组解决实际问题的 过程，提高运用方程组解决问题的能力过程，提高运用方程组解决问题的能力. 1. 学会运用二元一次方程组解决学会运用二元一次方
2、程组解决较复杂较复杂的实际的实际 问题问题 . 素养目标素养目标 如图，长青化工厂与如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连这家工两地有公路、铁路相连这家工 厂从厂从A地购买一批每吨地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨元的原料运回工厂，制成每吨8 000 元的产品运到元的产品运到B地地. . 公路运价为公路运价为1. 5元元/(/(t km) )，铁路运价为，铁路运价为1.2 元元/(/(t km) )，这两次运输共支出公路运费，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路元，铁路运费运费 97 200元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？元这批产品的销售款比原料费与
3、运输费的和多多少元？ 素养考点素养考点 1 知识点 列二元一次方程组解答较复杂问题列二元一次方程组解答较复杂问题 列二元一次方程组解答列二元一次方程组解答运费问题运费问题 探究新知探究新知 问题问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多 少元？”我们必须知道什么？少元？”我们必须知道什么？ 销销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路 运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此，我们必运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此，我们必 须知道须知道产品的数量和原料的数量产品的数
4、量和原料的数量 销售款销售款 原料费原料费 运输费（公路和铁路）运输费（公路和铁路） 产品数量产品数量 原料数量原料数量 探究新知探究新知 问题问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处 理，列表直观、简洁本题涉及哪两类量呢？理，列表直观、简洁本题涉及哪两类量呢？ 一类是公路运费，铁路运费，价值；一类是公路运费，铁路运费，价值； 另一类是产品数量，原料数量另一类是产品数量，原料数量 探究新知探究新知 产品产品x吨吨 原料原料y吨吨 合计合计 公路运费公路运费( (元元) ) 铁路运费铁路运费( (元元) ) 价值价值( (元元) ) 问
5、题问题3 你能完成教材上的表格吗？你能完成教材上的表格吗？ 产品产品x吨吨 原料原料y吨吨 合计合计 公路运费公路运费( (元元) ) 1.520 x 1.510y 1.5(20 x+10y) 铁路运费铁路运费( (元元) ) 1.2110 x 1.2120y 1.2(110 x+120y) 价值价值( (元元) ) 8 000 x 1 000y 探究新知探究新知 问题问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？ 1.5201015000 1.211012097200 xy xy ， 探究新知探究新知 是原方程组的解是原方程组的解 1.5201015
6、 000 1.211012097 200 xy xy ， 21 000 11128 100 xy xy ， 解解：先化简，得先化简，得 10002yx 由，得由，得 代入代入 ，得，得 1112100028100 xx（） 300 x 400.y 300 400 x y ， 代入代入 ，得，得 探究新知探究新知 问题问题5 这个实际问题的答案是什么？这个实际问题的答案是什么？ 销售款：销售款：8 000300=2 400 000元；元； 原料费：原料费：1 000400=400 000元；元； 运输费：运输费：15 000+97 200=112 200元元 2400000-400000-112
7、200=1887800元元 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元元 探究新知探究新知 思考：思考： （1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ 当当直接将所求的结果当作未知数直接将所求的结果当作未知数无法列出无法列出 方程方程时，考虑选择设间接未知数时，考虑选择设间接未知数 （2）如何更好地分如何更好地分析数析数量关系比较复杂的实际问题？量关系比较复杂的实际问题？ 探究新知探究新知 实际问题实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题数学问题 方程方程( (组组) ) 解 方 程 （ 组 ）
8、 数学问题的解数学问题的解 双检验 实际问题实际问题 的答案的答案 探究新知探究新知 一批货一批货物物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货 车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表( (两次两种货两次两种货 车都满载车都满载) )： 第一次第一次 第二次第二次 甲种货车的车辆数（辆）甲种货车的车辆数（辆） 2 5 乙种货车的车辆数（辆）乙种货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货吨数（吨）累计运货吨数（吨） 15.5 35 现现租用该公司租用该公司3辆甲种货车和辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完辆
9、乙种货车一次刚好运完 这批货，如果按每吨付运费这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运元计算，你能算出货主应付运 费多少元吗？费多少元吗？ 巩固练习巩固练习 解解: :设甲、乙两种货车每辆每次分别运货设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、吨、y吨吨， 解得解得 x=4， y=2.5. 2x+ 3y=15.5， 5x+ 6y=35. 总运费为：总运费为： 30(3x+ 5y)=30(34+ 52.5)=735(元元). 巩固练习巩固练习 第一次第一次 第二次第二次 甲种货车的车辆数（辆）甲种货车的车辆数（辆） 2 5 乙种货车的车辆数（辆）乙种货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货吨
10、数（吨）累计运货吨数（吨） 15.5 35 答答: :货货主应付运主应付运费费735元元. 例例2 某某牛奶加工厂现有鲜奶牛奶加工厂现有鲜奶9吨吨,若在市场上直接销售鲜奶若在市场上直接销售鲜奶,每吨每吨 可获利润可获利润500元元,若制成酸奶销售若制成酸奶销售,每吨可获利润每吨可获利润1200元元,若制成奶若制成奶 片销售片销售,每吨可获利润每吨可获利润2000元元.该厂生产能力如下该厂生产能力如下:每天可加工每天可加工3吨吨 酸奶或酸奶或1吨奶片吨奶片,受人员和季节的限制受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行两种方式不能同时进行.受受 季节的限制季节的限制,这批牛奶必这批牛奶必须在须在4天
11、内加工并销售完毕天内加工并销售完毕, ,为此该厂制为此该厂制 定了两套方案定了两套方案: : 方案一方案一: :尽可能多的制成奶片尽可能多的制成奶片, ,其余直接销售鲜牛奶其余直接销售鲜牛奶 方案二方案二: :将一部分制成奶片将一部分制成奶片, ,其余制成酸奶销售其余制成酸奶销售, ,并恰并恰好好4天天完成完成 ( (1) )你认为哪种方案获利最多你认为哪种方案获利最多, ,为什么为什么? (? (2) )本题解出之后本题解出之后, ,你还你还 能提出哪些问题能提出哪些问题? ? 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 列二元一次方程组解答列二元一次方程组解答利润问题利润问题 其余其余5吨直接
12、销售吨直接销售, ,获利获利5005=2500( (元元), ), 共获利共获利: :8000+2500=10500( (元元).). 方案二方案二: :设生产奶片用设生产奶片用x 天天, ,生产酸奶用生产酸奶用y天天 另：设另：设x吨鲜奶制成奶片吨鲜奶制成奶片, ,y 吨鲜奶制成酸奶吨鲜奶制成酸奶 x+y=4, x+3y=9. x+y=9, 4. 13 xy 方案一方案一: :生产奶片生产奶片4天天, ,共制成共制成4吨奶片吨奶片, ,获利获利 20004=8000 ( (元元) ) 1.512000+2.531200 =12000 ( (元元).). 共获利共获利: : 1.52000+7
13、.51200 =3000+9000=12000 ( (元元).). 共获利共获利: 探究新知探究新知 x=1.5, y=2.5. 解得：解得： x=1.5, y=7.5. 解得：解得： 北北京京和上海都有某种仪器可供外地使用和上海都有某种仪器可供外地使用, ,其中北京可提供其中北京可提供10台，台， 上海可提供上海可提供4台台. .已知重庆需要已知重庆需要8台，武汉需要台，武汉需要6台，从北京、台，从北京、 上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示. .有关部门计划有关部门计划 用用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆元运送这些仪器，请
14、你设计一种方案，使武汉、重庆 能得能得到所到所需仪器，而且运费正好够用需仪器，而且运费正好够用. . 运费表运费表 单位：（元单位：（元 / 台）台） 终点终点 起点起点 武汉武汉 重庆重庆 北京北京 400 800 上海上海 300 500 巩固练习巩固练习 解解: :设从北京运往武汉设从北京运往武汉x台，则运往重庆台，则运往重庆(10-x)台，台，设从上海运往设从上海运往 武汉武汉y台，则运往重庆台，则运往重庆(4-y)台，台， 解方程组得解方程组得 x=4， y=2. x+ y=6， 400 x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000. 答答: :从北京运往武汉从北
15、京运往武汉4台，运往重庆台，运往重庆6台，从上海运往武汉台，从上海运往武汉2台，台， 运往重庆运往重庆2台台. . 巩固练习巩固练习 运费表运费表 单位：（元单位：（元 / 台）台） 终点终点 起点起点 武汉武汉 重庆重庆 北京北京 400 800 上海上海 300 500 例例3 某某车间每天能生产甲种零件车间每天能生产甲种零件600个或乙种零件个或乙种零件300个，个， 或丙种零件或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各个，甲、乙、丙三种零件各1个就可个就可以配以配成一成一 套，要在套，要在63天内的生产中天内的生产中, ,使生产的零件全使生产的零件全部成部成套，问甲、套，问甲、 乙、丙三
16、种零件各应生产几天？乙、丙三种零件各应生产几天？ 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 列二元一次方程组解答列二元一次方程组解答配套问题配套问题 解解：设甲零件生产设甲零件生产x天，乙零件生产天，乙零件生产y天，则丙零件生产天，则丙零件生产 （63-x-y)天，根据题意，得天，根据题意，得 所以所以63-x-y=18. . 答答：甲、乙、丙三种零件各应生产甲、乙、丙三种零件各应生产15天、天、30天和天和18天天. . 解得解得 某某车间有车间有22名工人，每人每天可以生产名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或个螺钉或2 000个个 螺母螺母. . 1个螺钉需要配个螺钉需要配 2个螺母，
17、为使每天生产的螺钉和螺母个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母 刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？ 分析分析： 将题中出现的量在表格中呈现将题中出现的量在表格中呈现 产品类型产品类型 所需人数所需人数 生产总量生产总量 螺钉螺钉 x 螺母螺母 y 螺母总产量是螺钉的螺母总产量是螺钉的2倍倍 人数和为人数和为22人人 1200 x 2000y 巩固练习巩固练习 解解：设生产螺钉的设生产螺钉的x人，生产螺母的人，生产螺母的y人人. . 依题意，可列方程组：依题意，可列方程组： 22, 2 12002000 . xy xy 解方程组，得解方程组，得 1
18、0, 12. x y 答：答：设生产螺钉的设生产螺钉的10人，生产螺母的人，生产螺母的12人人. . 巩固练习巩固练习 总结总结：解决配套问题要弄清解决配套问题要弄清： （1）每套产品中每套产品中各部分的比例各部分的比例； （2）生产各部分的工人数之和生产各部分的工人数之和= =工人总数工人总数. . D 某出租车起步价所包含的路程为某出租车起步价所包含的路程为02km，超过，超过2km的部分按每千的部分按每千 米另收费津津乘坐这种出租车走了米另收费津津乘坐这种出租车走了7km，付了，付了16元；元；盼盼乘坐盼盼乘坐 这种出租车走了这种出租车走了13km，付了，付了28元设这种出租车的起步价为
19、元设这种出租车的起步价为x元元， 超过超过2km后每千米收费后每千米收费y元，元，则下列方程则下列方程组组正确的是正确的是（ ） A B C D 2813 167 yx yx 2813 16)27( yx yx 28)213( 167 yx yx 28)213( 16)27( yx yx 连接中考连接中考 1.小小明家去年结余明家去年结余5000元，估计今年可结余元，估计今年可结余9500元，并且今年元，并且今年 收入比去年高收入比去年高15，支出比去年低，支出比去年低10，求去年的收入与支出，求去年的收入与支出 各是多少？各是多少？ 解解：设去年收入设去年收入x元，支出元，支出y元，根据题意
20、，得元，根据题意，得 5000, (1) (1 15%)(1 10%)9500. (2) xy xy 答答：去年小明家收入去年小明家收入20000元，支出元，支出15000元元. . 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 解得解得 20000 15000. x y ， 2.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖，如果每台挖 掘机每天平均挖土掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土，每台装卸机每天平均运土300m3，要，要 使挖出的土及时运走，使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？问挖掘机有多少台？
21、装卸机有多少台？ 解解：设挖掘机设挖掘机x台，装卸机台，装卸机y台，根据题意列出方程组得台，根据题意列出方程组得 解得解得 21 750300 . xy xy ，6 15. x y ， 答答：挖掘机有挖掘机有6台，装卸机有台，装卸机有15台台. . 课堂检测课堂检测 3.一个工厂共一个工厂共42名工人名工人, ,每个工人平均每小时生产圆形铁片每个工人平均每小时生产圆形铁片120片片 或长方形铁片或长方形铁片80片片. .已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组 成一个圆柱形密封的铁桶成一个圆柱形密封的铁桶. .你认为如何安排工人的生产你认为如何安排工人的生产
22、, ,才能使才能使 每天生产的铁片正好配套每天生产的铁片正好配套? ? 解解：设生产圆形铁片的工人设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人人，生产长方形铁片的工人y人人， 解得解得 24 18. x y ， 答答：生产圆形铁片的工人：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人人，生产长方形铁片的工人18人人. . 课堂检测课堂检测 42 1202 80 . xy xy ， 根据题意列方程组得根据题意列方程组得 某某村村18位农民筹集位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地万元资金，承包了一些低产田地. .根据市场根据市场 调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦调查，他
23、们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦. . 种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表： 作物品种作物品种 每公顷所需人数每公顷所需人数 每公顷投入资金每公顷投入资金/ /万元万元 蔬菜蔬菜 5 1.5 荞麦荞麦 4 1 在现有情况下在现有情况下, ,这这18位农民应承包多少公顷田地位农民应承包多少公顷田地, ,怎样安排种植怎样安排种植 才能使所有人都参与种植才能使所有人都参与种植, ,且资金正好够用？且资金正好够用？ 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 作物品种作物品种 种植面积种植面积/公顷公顷 需要人数
24、需要人数 投入资金投入资金/万元万元 蔬菜蔬菜 x 5x 1.5x 荞麦荞麦 y 4y y 合计合计 - 18 5 分析：分析：将将题中出现的量在表格中呈现题中出现的量在表格中呈现 解解：设蔬菜种植设蔬菜种植x 公顷公顷, ,荞麦种植荞麦种植y 公顷，公顷， 根据题意可列出方程组：根据题意可列出方程组： 5418, 1.55. xy xy 解得解得： 2, 2. x y 课堂检测课堂检测 故，承包田地的面积为：故，承包田地的面积为： x+y=4 ( (公顷公顷).). 人员安人员安排为：排为： 5x=52=10( (人人) )；4y=42=8( (人人).). 答答：这这18位农民应承包位农民
25、应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2 公顷，并安排公顷，并安排10人种植蔬菜，人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所人种植荞麦，这样能使所 有人都参与种植且资金正好够用有人都参与种植且资金正好够用. . 课堂检测课堂检测 李大叔李大叔销售牛肉干，销售牛肉干，已知甲客户购买了已知甲客户购买了12包五香味的和包五香味的和10包原包原 味的共花了味的共花了146元，乙客户购买了元，乙客户购买了6包五香味的和包五香味的和8包原味的共花包原味的共花 了了88元元. . （1）现在老师带了）现在老师带了200元，能否买到元，能否买到10包五香味牛肉干和包五香味牛肉干和20包包 原味
26、牛肉干？原味牛肉干？ 解解：设五香味每包设五香味每包x元，原味每包元，原味每包y元元. . 依题意，可列方程组：依题意，可列方程组： 1210146, 6888. xy xy 解得解得 8, 5. x y 102010 8 20 5 180 xy 元 所以老师带所以老师带200元能买到所需牛肉干元能买到所需牛肉干. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 解解：设刚好买五香味设刚好买五香味x包，原味包，原味y包包. . 25, 0 x y ； 85200 xy元 （2）现在老师想刚好用完这）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干元钱，你能想出哪些牛肉干 的包数组
27、合形式？的包数组合形式？ 200 55 25 88 y xy 因因为为x，y为非负整数为非负整数 20, 8 x y ； 10, 24 x y ； 15, 16 x y ； 5, 32 x y ； 0, 40 x y ； 课堂检测课堂检测 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们 往往可以往往可以借助列方程组借助列方程组的方法来处理这些问题的方法来处理这些问题. 3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的， 应根据具体问题灵活选用应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
