1、8.4 8.4 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册 1.解二解二元一次方程组有哪几种方法？元一次方程组有哪几种方法？ 2.解解二元一次方程组的基本思路是什么？二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组二元一次方程组 代入代入 加减加减 消元消元 一元一次方程一元一次方程 化化二元二元为为一元一元 化归转化思想化归转化思想 代入消元法和加减消元法代入消元法和加减消元法 消元法消元法 【思考思考】若若含含有有3个未知个未知数的方程组如何求解？数的方程组如何求解？ 导入新知导入新知 1. 了解三元一次方程组的了解三元一次方程组的概念概念.
2、2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程能解简单的三元一次方程组，在解的过程 中进一步中进一步体会“消元”思想体会“消元”思想. 素养目标素养目标 3. 会解会解较复杂较复杂的三元一次方程组的三元一次方程组. 问问题题： 1题目中有几个条件？题目中有几个条件？ 2问题中有几个未知量？问题中有几个未知量？ 3根据等量关系你能列出方程组吗？根据等量关系你能列出方程组吗？ 小明手头有小明手头有12张面额分别是张面额分别是1元、元、2元、元、5元的纸币，共元的纸币，共 计计22元，其中元，其中1元纸币的数量是元纸币的数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍求倍求1元、元、 2元、元、5元的纸币各多少张？
3、元的纸币各多少张？ 探究新知探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念三元一次方程组的概念 1元元 2元元 5元元 合合 计计 （三个量关系）每张面值（三个量关系）每张面值 张数张数 = 钱数钱数 5z 12 22 1元纸币的数量是元纸币的数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍，倍， 即即x=4y 探究新知探究新知 面值面值 张数张数 钱数钱数 x y z x 2y 注注 分析分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们 自然会想到设自然会想到设1元、元、2元、元、5元的纸币分别是元的纸币分别是x张、张、y张、张、 z 张，根据题意可以得到下列三个方
4、程张，根据题意可以得到下列三个方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y. 探究新知探究新知 对对于这个问题于这个问题的解必的解必须同时满足上面三个条件，因须同时满足上面三个条件，因 此，我们把三个方程合在一起写成此，我们把三个方程合在一起写成 12, 2522, 4 . xyz xyz xy 这这个方程组中含有个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数是的项的次数是 . 三三 1 探究新知探究新知 含含有有三三个未知数个未知数，且每个方程中含未知数的项的，且每个方程中含未知数的项的次次 数都是数都是1，并且一共有，并且一共有三个方程
5、三个方程，像这样的方程组叫做，像这样的方程组叫做 三元一次方程组三元一次方程组 探究新知探究新知 由此，我们得出由此，我们得出三元一次方程组三元一次方程组的定义的定义 探究新知探究新知 例例 下下列是三元一次方程组的是列是三元一次方程组的是( ( ) ) A. B. C. D. 素养考点素养考点 1 三元一次方三元一次方程组的程组的判断判断 6 7 52 2 zyx yx x 7 1 34 xyz xyz xy 2 1 9 xy yz xz D 4 -2 -239 -3 yz x xyz y 下列下列方程组不是三元一次方程组的方程组不是三元一次方程组的是是( ( ) ) 1 2 10 x xy
6、 xz A. B. 321 240 323 xyz xyz xyz C. 10 2 15 xy xz yz D. 1 347 12 xyz xyz xyz D 提示提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定不一定要要 求每一个一次方程都含有三个未知数求每一个一次方程都含有三个未知数 巩固练习巩固练习 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程 的公共解，叫做这个的公共解，叫做这个三元一次方程组的解三元一次方程组的解. . 怎样解三元一次方程组呢？怎样解三元一次方程组呢？ 23, 1, 220. x
7、yz xy xyz 能不能像以前一样“消元”，能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？把“三元”化成“二元”呢？ 知识点 2 探究新知探究新知 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 347 239 5978 xz xyz xyz ， ， 例例1 解解三元一次方程组三元一次方程组 解解：3，得，得 11x10z=35. 与组成方程组与组成方程组 解这个方程组，得解这个方程组，得 347, 111035. xz xz 5, -2. x z 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法 分析：分析：方程中方程中 只含只含x, z, 因此因此,可可
8、 以由消去以由消去y, 得到一个只含得到一个只含x, z 的方程的方程, 与方程与方程 组成一个二元一组成一个二元一 次方程组次方程组. 把把 x5，z-2 代入，得代入，得 因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为 5 1 3 -2 x y z ， ， 1 . 3 y 你还有其它解你还有其它解 法吗？试一试，法吗？试一试， 并与这种解法并与这种解法 进行比较进行比较. . 探究新知探究新知 347 239 5978 xz xyz xyz ， ， 例例1 解解三元一次方程组三元一次方程组 解解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加
9、减”进行“加减”进行 ，把，把 转化为转化为 ， 使解三元一次方程组转化为解使解三元一次方程组转化为解 ，进而再，进而再 转化为解转化为解 . . 三元一次三元一次 方程组方程组 二元一次二元一次 方程组方程组 一元一次一元一次 方程方程 消元消元 消元消元 消元消元 “三元”“三元” “二元”“二元” 二元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程一元一次方程 探究新知探究新知 解解方程组方程组 解解：由方程得由方程得 x=y+1. 把把分别代入得分别代入得 2y+z=22, 3y-z=18. 解解由组成的二元一次方程组，得由组成的二元一次方程组，得 y=8,z=6. 把把y=8代入，得代入，得
10、x=9. x=9, y=8, z=6. 23, 1, 220. xyz xy xyz 类似二元一次方程组类似二元一次方程组 的“消元”的“消元”, ,把“三把“三 元”化成“二元”元”化成“二元”. . 巩固练习巩固练习 所以原方程组的解是所以原方程组的解是 例例2 在在等等式式 y=ax2bxc中中, ,当当x=1时时, ,y=0; ;当当x=2时时, ,y=3; ; 当当x=5时时, ,y=60. . 求求a,b,c的值的值. . 解解: :根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组 abc= 0， 4a2bc=3， 25a5bc=60. ， 得得 ab=1; ，得，得 4ab=
11、10. 与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组 ab=1， 4ab=10. 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 三元一次方程组求字母的值三元一次方程组求字母的值 ab=1， 4ab=10. a=3， b=-2. 解这个方程组，得解这个方程组，得 把把 代入，得代入，得 a=3， b=-2 c=-5. a=3， b=-2， c=-5. 因此因此 探究新知探究新知 即即a,b,c的的值分别为值分别为3，-2，-5. 已知已知 是是方程组方程组 的解的解, ,则则a+b+c的值是的值是_. . 3 2 1 z y x 7 3 2 azcx czby byax 3 巩固练习巩固练习 例例3 幼幼
12、儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应 包含包含35单位的铁、单位的铁、70单位的钙和单位的钙和35单位的维生素单位的维生素. .现有一批营现有一批营 养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、 C三种食物，下表给出的是每份（三种食物，下表给出的是每份（50g) )食物食物A、B、C分别所含分别所含 的铁、钙和维生素的量（单位）的铁、钙和维生素的量（单位） 食物食物 铁铁 钙钙 维生素维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 素养考点素养考点 3 探究新知
13、探究新知 利用三元一次方程组解答实际问题利用三元一次方程组解答实际问题 解解：( (1) )由该食谱中包含由该食谱中包含35单位的铁、单位的铁、70单位的钙和单位的钙和35单位单位 的维生素，得方程组的维生素，得方程组 551035, 20101070, 515535. xyz xyz xyz （1）如果设食谱中）如果设食谱中A、B、C三种食物各为三种食物各为x、y、z份，请列出份，请列出 方程组，使得方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿 营养标准中的要求营养标准中的要求. . （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的）解该三元一次方程组，
14、求出满足要求的A、B、C的份数的份数. . 探究新知探究新知 ( (2) )-4,-,得得 551035, 103070, 1050. xyz yz yz + +, ,得得 551035, 103070, 3570. xyz yz z 通过回代，得通过回代，得 z=2,y=1,x=2. . 答：答：该食谱中包含该食谱中包含A种食物种食物2份，份，B种食物种食物1份，份，C种食物种食物2份份. . 探究新知探究新知 某某农场农场300名职工耕种名职工耕种51公顷土地公顷土地,计划种植水稻计划种植水稻,棉花和蔬菜棉花和蔬菜, 已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金已知种植农作物每公顷
15、所需的劳动力人数及投入的设备资金 如下表如下表: 巩固练习巩固练习 农作物品种农作物品种 每公顷需劳每公顷需劳 动力动力 每公顷需投每公顷需投 入资金入资金 水稻水稻 4人人 1万元万元 棉花棉花 8人人 1万元万元 蔬菜蔬菜 5人人 2万元万元 已知该农场计划在设备上投入已知该农场计划在设备上投入67万元万元,应该怎样安排三种农作应该怎样安排三种农作 物的种植面积物的种植面积,才能使所有的职工都有工作才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正而且投入的资金正 好够用好够用? 解解: :设安排设安排x公顷种水稻公顷种水稻,y公顷种棉花公顷种棉花,z公顷种蔬菜公顷种蔬菜. 依题意依题意,得得 答
16、答: :安排安排15公顷种水稻公顷种水稻, ,20公顷种棉花公顷种棉花, ,16公顷种蔬菜公顷种蔬菜. . 51, 485300, 267. xyz xyz xyz 巩固练习巩固练习 15, 20, 16. x y z 解得：解得： 小明妈妈到文具店购买三种学习用品小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为其单价分别为2元、元、4元、元、6 元元,购买这些学习用品需要购买这些学习用品需要56元元,经过协商最后以每种单价均下调经过协商最后以每种单价均下调 0.5元成交元成交,结果只用了结果只用了50元就买下了这些学习用品元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的则小明妈妈的 购买方法有购买方法有(
17、 ( ) ) A.6种种 B.5种种 C.4种种 D.3种种 解析：解析：设设分别购买学习用品的数量为分别购买学习用品的数量为x,y,z.由题意由题意得得 , 即即 -得得:y+2z=16,所以所以y=16-2z,所以满足所以满足x、y、z之间之间 关系的取值可以是关系的取值可以是:当当y=2时时,z=7,x=3.当当y=4时时,z=6,x=2. 当当y=6时时,z=5,x=1.所以小明妈妈有所以小明妈妈有3种不同的购买方法种不同的购买方法. D 50565 . 05 . 05 . 0 56642 zyx zyx 12 2832 zyx zyx 连接中考连接中考 1.方程方程 ，3xyz0,2
18、x8y1,6xy2z0， x2y10中中，三三元一次方程的个数是元一次方程的个数是( ( ) ) A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个 D. 4个个 B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1 40 x z 2.若若x2y3z10，4x3y2z15，则则xyz的值为的值为 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 解解析析: : 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加 得，得，5x+5y+5z=25，所以，所以x+y+z=5. . D 课堂检测课堂检测 3.解方程组解方程组 则则x_，y_，z_. . xyz11， yzx5， z
19、xy1. 解析：解析：通过观察未知数的系数，可采取通过观察未知数的系数，可采取 + +求出求出y， + + 求出求出z，最后再将，最后再将y与与z的值代入任何一个方程求出的值代入任何一个方程求出x 即可即可. . 6 8 3 课堂检测课堂检测 若若|ab1|(b2ac)2|2cb|0， 求求a，b，c的值的值 解：解：因为三个因为三个非负数的和等于非负数的和等于0，所以每个非负数都为，所以每个非负数都为0. 可可得方程组得方程组 解解得得 10, 20, 20. ab bac cb 3, 4, 2. a b c 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 解：解：设原三位数百位、十
20、位、个位上的数字分别为设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z. . 由题意，得由题意，得 答：答：原三位数是原三位数是368. . 一一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数，百位上的数 字与十位上的数字之和比个位上的数字大字与十位上的数字之和比个位上的数字大1. .将百位与个位上的数将百位与个位上的数 字对调后得到的新三位数比原三位数大字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数，求原三位数 4 3 3 , 4 1, 1001010010495. yz xyz zyxxyz 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 3, 6, 8. x y z 解得：解得： 三元一次方程组三元一次方程组 三元一次方三元一次方 程组的程组的概念概念 三元一次方三元一次方 程组的程组的解法解法 三元一次方三元一次方 程组的程组的应用应用 课堂小结课堂小结 含有含有三三个未知数个未知数 每个方程中含未知数每个方程中含未知数 的项的的项的次数都是次数都是1 一共有一共有三个方程三个方程 通过代入消元法或通过代入消元法或 加减消元法加减消元法转化为转化为 二二元元一次方程组一次方程组 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
