1、对数与对数函数对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式将一般对数转 化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底 数为 2,10，1 2的对数函数的图象. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数 yax(a0，且 a1) 与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 1对数的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 提醒：指数式与对数式的关系 2对数的性质、换底
2、公式与运算性质 (1)对数的性质： loga10；a logaN N；logaabb(a0，且 a1) (2)换底公式： logablogcb logca(a，c 均大于 0 且不等于 1，b0) (3)对数的运算性质： 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(M N)logaMlogaN； logaM NlogaMlogaN； logaMnnlogaM(nR) 3对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 ylogax(a0 且 a1)叫做对数函数 图象 a1 0a1 性质 定义域：(0，) 值域：R 当 x1 时，y0，即过定点(1,0) 当 0 x1 时，y0； 当 x1 时，y
3、0 当 0 x1 时，y0； 当 x1 时，y0 在(0，)上为增函数 在(0，)上为减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函 数，它们的图象关于直线 yx 对称 常用结论 1换底公式的三个重要结论 (1)logab 1 logba； (2)logambn n mlogab； (3)logab logbc logcdlogad. 2对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐 增大 一、易错易误辨析(正确
4、的打“”，错误的打“”) (1)函数 ylog2(x1)是对数函数 ( ) (2)log2x22log2x. ( ) (3)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同 ( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)， 且过点(a,1)， 1 a，1 ， 函数图象不在第二、三象限 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1(log29) (log34)( ) A1 4 B 1 2 C2 D4 D (log29) (log34)lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 3 lg 2 2lg 2 lg 3 4.故选 D
5、 2已知 a2 1 3，blog 21 3，clog1 2 1 3，则( ) Aabc Bacb Ccba Dcab D 因为 0a1，b0，clog1 2 1 3log231.所以 cab.故选 D 3函数 y的定义域是_ 1 2，1 由 (2x1)0，得 02x11. 1 2x1. 函数 y的定义域是 1 2，1 . 4函数 yloga(4x)1(a0，且 a1)的图象恒过点_ (3,1) 当 4x1，即 x3 时，yloga111. 所以函数的图象恒过点(3,1) 考点一 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路 典例 1 (1)设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m 等于( ) A
6、10 B10 C20 D100 (2)计算 log23 log38( 3) log34 的值为( ) A2 B3 C4 D5 (3)(2020 全国卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领 域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天) 的 Logistic 模型：I(t) K 1e 0.23t53，其中 K 为最大确诊病例数，当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 (1)A (2)D (3)C (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 则1 a
7、1 b 1 log2m 1 log5mlogm2logm5logm102. 解得 m 10.故选 A (2)log23 log38log283，( 3) log34 3 1 2log343log322， log23 log38( 3) log34 5，故选 D (3)由题意可得，当 I(t*)0.95K 时，0.95K， 1 19e 0.23(t*53) ，ln 190.23(t*53)，t*5313，t*66，故选 C 点评：对数运算中 logab 1 logba是常用的性质之一 跟进训练 1(2020 全国卷)设 alog342，则 4 a( ) A 1 16 B 1 9 C 1 8 D
8、1 6 B 法一： 因为 alog342， 所以 log34a2， 则有 4a329， 所以 4 a1 4a 1 9， 故选 B 法二：因为 alog342，所以alog342，所以 log34 a2，所以 4a3 21 32 1 9，故选 B 法三：因为 alog342，所以a 2 1 log34log43，所以 4 a 2 3，两边同时平方得 4a9，所以 4 a1 4a 1 9，故选 B 2 (2019 北京高考)在天文学中， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两 颗星的星等与亮度满足 m2m15 2lg E1 E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k 1,2)已知太阳的星等是
9、26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度 的比值为( ) A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D10 10.1 A 由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7) 5 2lg E1 E2，所以 lg E1 E210.1， 所以E1 E210 10.1，故选 A 考点二 对数函数的图象及其应用 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性 (单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结 合法求解 典例
10、2 (1)(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，yloga x1 2 (a0，且 a1)的图象可能是( ) A B C D (2)当 0 x1 2时，4 xlogax，则 a 的取值范围是( ) A 0， 2 2 B 2 2 ，1 C(1， 2) D( 2，2) (1)D (2)B (1)对于函数 yloga x1 2 ，当 y0 时，有 x1 21，得 x 1 2， 即 yloga x1 2 的图象恒过定点 1 2，0 ， 排除选项 A、 C； 函数 y 1 ax与 yloga x1 2 在各自定义域上单调性相反，排除选项 B，故选 D (2)构造函数 f (x)4x
11、和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件，当 0a1 时， 画出两个函数在 0，1 2 上的图象，可知 f 1 2 g 1 2 ，即 2loga1 2，则 a 2 2 ，所以 a 的取值范围为 2 2 ，1 . 母题变迁 1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax 有解”，a 的取值范围是 _ 0， 2 2 若方程 4xlogax 在 0，1 2 上有解，则函数 y4x与函数 ylogax 的 图象在 0，1 2 上有交点 由图象可知 0a1， loga1 22， 解得 0a 2 2 ，即 a 的取值范围为 0， 2 2 . 2若将本例(2)变为：当 0 x1 4时， xlo
12、gax，则实数 a 的取值范围为 _ 1 16，1 若 xlogax 在 x 0，1 4 上恒成立，则 0a1，且 y x的图象 在 ylogax 图象的下方，如图所示， 由图象知 1 4loga 1 4， 所以解得 1 16a1. 即实数 a 的取值范围是 1 16，1 . 跟进训练 1.已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列 结论成立的是( ) Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1，c1 D0a1,0c1 D 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知 0a1,0c1. 2已知不等式 x2logax0 对 x 0，1 2 恒成立，则实数 a
13、的取值范围为 _ 1 16，1 由 x 2logax0 得 x2logax，设 f 1(x)x2，f 2(x)logax，要使 x 0，1 2 时，不等式 x2logax 恒成立，只需 f 1(x)x2在 0，1 2 上的图象在 f 2(x) logax 图象的下方即可当 a1 时，显然不成立； 当 0a1 时，如图所示 要使 x2logax 在 x 0，1 2 上恒成立，需 f 1 1 2 f 2 1 2 ，所以有 1 2 2loga1 2， 解得 a 1 16， 所以 1 16a1. 即实数 a 的取值范围是 1 16，1 . 考点三 对数函数的性质及其应用 比较对数值的大小 比较对数值大
14、小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助 1,0 等中间量进行比较 典例 31 (1)已知 alog37 2，b 1 4 1 3，clog1 3 1 5，则 a，b，c 的大小关系为 ( ) Aabc Bbac Ccba Dcab (2)(2019 天津高考)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小 关系为( ) Aacb Babc Cbca Dcab (3)(2020 全国卷)设
15、 alog32，blog53，c2 3，则( ) Aacb Babc Cbca Dcab (1)D (2)A (3)A (1)clog1 3 1 5log35，log35log3 7 2log331， 即 ca1，又 1 4 1 3 1 4 0 1. cab，故选 D (2)alog52log551 2， blog0.50.2log0.50.51， c0.5 0.2 1 2 1 51 2， 0.5 0.2 1，acb，故选 A (3)2332，23 2 3，log 32log33 2 32 3，ac. 3352，35 2 3，log 53log55 2 32 3，bc，acb，故选 A 点评：
16、本例 T(1)和 T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为 同底，利用了性质 mlogaam，本例 T(2)主要使用中间量比较大小 解简单对数不等式 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax logab 借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0 a1 两种情况讨论 logaxb 需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调性求 解 典例 32 (1)若 loga3 41(a0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ (2)若 loga(a21)loga2a0，则 a 的取值范围是_ (1) 0，3 4
17、 (1，) (2) 1 2，1 (1)当 0a1 时，loga 3 4logaa1，0 a3 4； 当 a1 时，loga3 4logaa1，a1. 实数 a 的取值范围是 0，3 4 (1，) (2)由题意得 a0 且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1， 同时 2a1，所以 a1 2.综上，a 1 2，1 . 点评：在对数不等式中，真数大于 0 是隐含条件，不能忘记！ 与对数函数有关的复合函数的单调性 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与 1 的关系，分 a1
18、与 0a1 两种 情况 判断内层函数和外层函数的单调性， 运用复合函数“同增异 减”原则判断函数的单调性 典例 33 (1)(2020 新高考全国卷)已知函数 f (x)lg(x24x5)在(a， )单调递增，则 a 的取值范围是( ) A(，1 B(，2 C2，) D5，) (2)设函数 f (x)log1 3 (4x24ax3a)在(0,1)上是增函数，则 a 的取值范围是 _ (1)D (2)2,4 (1)由 x24x50，得 x1 或 x5，即函数 f (x)的定义 域为(，1)(5，)令 tx24x5，则 t(x2)29，所以函数 t 在( ，1)上单调递减，在(5，)上单调递增，又
19、函数 ylg t 在(0，)上单调 递增，从而函数 f (x)的单调递增区间为(5，)，由题意知(a，)(5，)， a5，故选 D (2)令 t4x24ax3a，由 ylog1 3 t 在(0，)是减函数可得 t4x24ax3a 在(0,1)上是减函数，且 t0 在(0,1)上恒成立， 又 t4x24ax3a4 xa 2 2 a23a， a 21， 44a3a0， 解得 2a4. 点评：已知 f (x)logag(x)在区间m，n上是增函数，对于这类问题，应从两 个方面考虑：一是根据 a 与 1 的关系确定 g(x)在m，n上的单调性，二是 g(x)0 在 xm，n时恒成立，此时只需 g(x)
20、min0 即可 跟进训练 1已知 alog27，blog38，c0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) Acba Babc Cbca Dcab A alog27log242,1blog38log392，c0.30.21， cba，故选 A 2设函数 f (x)若 f (a)f (a)，则实数 a 的取值范围 是( ) A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 3函数 ylog1 3 (x23x2)的单调递增区间为_，值域为_ (，1) R 由 x23x20 得 x2 或 x1，即函数的定义域为x|x2 或 x1， 当 x 在定义域内变化时
21、，x23x2 取遍(0，)内的每一个值， 值域为 R. 令 tx23x2(t0)，t 在(2，)上单调递增，在(，1)上单调递减， 而函数 ylog1 3 t 在其定义域内是单调递减函数， ylog1 3 (x23x2)在(，1)上单调递增，在(2，)上单调递减，即 函数 ylog1 3 (x23x2)的单调递增区间为(， 1)， 单调递减区间为(2， ) 4已知 a0，若函数 f (x)log3(ax2x)在3,4上是增函数，则 a 的取值范 围是_ 1 3， 要使 f (x)log3(ax2x)在3,4上单调递增， 则 yax2x 在3,4上单调递增， 且在3,4上 yax2x0 恒成立， 即 1 2a3， 9a30， 解得 a1 3.
