1、函数的图象函数的图象 考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质， 并运用函数的图象解简单的方 程(不等式)问题 1利用描点法作函数的图象 描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为： (1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、最值等) (2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等) (3)描点、连线 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：“左加右减”只针对 x 本身，与 x 的系数无关，“上加下减”指的是在
2、 f (x)整体上加减 (2)对称变换 (3)伸缩变换 (4)翻转变换 常用结论 1函数图象自身的轴对称 (1)f (x)f (x)函数 yf (x)的图象关于 y 轴对称； (2)函数 yf (x)的图象关于 xa 对称f (ax)f (ax)f (x)f (2ax) f (x)f (2ax)； (3)若函数 yf (x)的定义域为 R，且有 f (ax)f (bx)，则函数 yf (x)的 图象关于直线 xab 2 对称 2函数图象自身的中心对称 (1)f (x)f (x)函数 yf (x)的图象关于原点对称； (2)函数 yf (x)的图象关于(a,0)对称f (ax)f (ax)f (
3、x)f (2a x)f (x)f (2ax)； (3)函数 yf (x)的图象关于点(a，b)成中心对称f (ax)2bf (ax)f (x) 2bf (2ax) 3两个函数图象之间的对称关系 (1)函数 yf (ax)与 yf (bx)的图象关于直线 xba 2 对称(由 axbx 得对称轴方程)； (2)函数 yf (x)与 yf (2ax)的图象关于直线 xa 对称； (3)函数 yf (x)与 y2bf (x)的图象关于点(0，b)对称； (4)函数 yf (x)与 y2bf (2ax)的图象关于点(a，b)对称 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 yf (1x
4、)的图象，可由 yf (x)的图象向左平移 1 个单位得到 ( ) (2)若函数 yf (x)满足 f (1x)f (1x)，则函数 f (x)的图象关于直线 x1 对称 ( ) (3)当 x(0，)时，函数 yf (|x|)的图象与 y|f (x)|的图象相同( ) (4)函数 yf (x)与 yf (x)的图象关于原点对称 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为 了赶时间加快速度行驶则与以上事件吻合最好的图象是( ) A B C D C 距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，
5、 途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快 2下列图象是函数 y x2，x0， x1，x0 的图象的是( ) A B C D 答案 C 3函数 f (x)1 xx 的图象关于( ) Ay 轴对称 B直线 yx 对称 C坐标原点对称 D直线 yx 对称 C f (x)1 xx 是奇函数， 图象关于原点对称 4函数 y21 x 的大致图象为( ) A B C D A y21 x 1 2 x1 ，因为 01 21，所以 y 1 2 x1 为减函数，取 x0，则 y 2，故选 A 考点一 作函数的图象 作函数图象的两种常用方法 典例 1 作出下列函数的图象 (1)y 1 2 | x| ；(2)
6、y|log2(x1)|； (3)y2x1 x1 ；(4)yx22|x|1. 解 (1)先作出 y 1 2 x 的图象，保留 y 1 2 x 图象中 x0 的部分，再作出 y 1 2 x 的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图象，如图实线部 分 图 图 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻 折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图. (3)y2x1 x1 2 1 x1，故函数图象可由 y 1 x图象向右平移 1 个单位，再向 上平移 2 个单位得到，如图. 图 图 (4)y x22x1，x0，
7、x22x1，x0， 且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上 的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图. 点评：画函数的图象一定要注意函数的定义域，对于图象无限趋近的渐近线 也应用虚线画出 跟进训练 作出下列函数的图象 (1)y3|x|；(2)y|log2x1|；(3)y|x2| (x1) 解 (1)先作出函数 y3x(x0)的图象，再作出 x0 时图象关于 y 轴对称的 图象，即得 y3|x|的图象，如图所示： (2)先作出 ylog2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留 x 轴上方的 部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即得 y|log2x1|的图象，如图所示：
8、 (3)y|x2| (x1) x2x1，x2， x2x1，x2， x1 2 2 9 4，x2， x1 2 2 9 4，x2， 分段画出其图象如图所示： 考点二 函数图象的辨识 辨析函数图象的入手点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下 位置 (2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (3)从函数的特征点，排除不合要求的图象 (4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复 典例 2 (1)(2019 全国卷)函数 y 2x3 2x2 x在6,6的图象大致为( ) A B C D (2)已知定义在区间0,2上的函数 yf (x)的
9、图象如图所示，则 yf (2x) 的图象为( ) A B C D (1)B (2)B (1)设 f (x) 2x3 2x2 x(x6,6)，则 f (x)2x 3 2 x2xf (x)， f (x)为奇函数，排除选项 C；当 x4 时，y 243 242 4 211 2817，因此排除 A、 D，故选 B (2)法一：(图象变换法)作出与函数 yf (x)的图象关于 y 轴对称的图形得到函 数 yf (x)的图象，再把得到的图象向右平移 2 个单位，得到函数 yf (2x) 的图象， 再作出与此图象关于 x 轴对称的图形， 得到 yf (2x)的图象， 故选 B 法二：(特殊值验证)当 x0
10、时，f (2x)f (2)1； 当 x1 时，f (2x)f (1)1. 观察各选项可知，应选 B 点评：在识图时，先判断奇偶性，再用特殊值排除 跟进训练 1(2020 淄博模拟)函数 f (x)ln(x22)ex 1 的图象可能是( ) A B C D A 当 x时，f (x)，故排除 D； 易知 f (x)在 R 上连续，故排除 B； 且 f (0)ln 2e 10，故排除 C，故选 A 2已知图中的图象是函数 yf (x)的图象，则图中的图象对应的函数可 能是( ) 图 图 Ayf (|x|) By|f (x)| Cyf (|x|) Dyf (|x|) C 因为题图中的图象是在题图的基础
11、上，去掉函数 yf (x)的图象在 y 轴右侧的部分， 然后将 y 轴左侧图象翻折到 y 轴右侧得来的， 所以题图中的图象 对应的函数可能是 yf (|x|)故选 C 考点三 函数图象的应用 研究函数的性质 根据函数的图象研究函数性质的方法 (1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值 域 (2)观察函数图象是否关于原点或 y 轴对称，确定函数的奇偶性 (3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性 典例 31 (1)已知函数 f (x)x|x|2x，则下列结论正确的是( ) Af (x)是偶函数，递增区间是(0，) Bf (x)是偶函数，递减区间是(，1) Cf (
12、x)是奇函数，递减区间是(1,1) Df (x)是奇函数，递增区间是(，0) (2)对 a， bR， 记 maxa， b a，ab， b，ab， 函数 f (x)max|x1|， |x2|(xR) 的最小值是_ (1)C (2) 3 2 (1) 将 函 数 f (x) x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得f (x) x22x，x0， x22x，x0， 画出函数 f (x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f (x)的图 象关于原点对称，故函数 f (x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减 (2)函数 f (x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示，由图象可得，其最 小值为3 2.
13、利用图象解不等式 利用函数图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转 化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解若函数为抽象函 数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解 典例 32(2020 北京高考)已知函数 f (x)2xx1，则不等式 f (x)0 的解 集是( ) A(1,1) B(，1)(1，) C(0,1) D(，0)(1，) D f (x)02xx1，在同一平面直角坐标系中画出 h(x)2x，g(x)x1 的图象，如图所示，两图象交点坐标为 A(0,1)和 B(1,2)， 观察图象可知不等式 f (x)0 的解集为(，0)
14、(1，)，故选 D 研究方程根的个数(求参数的取值范围) 利用函数图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程 f (x)0 的根就是 f (x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f (x)g(x)的根是函数 yf (x)与 函数 yg(x)图象的交点的横坐标 典例 33 (1)已知函数 f (x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f (x)g(x)有两个 不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_ (2)已知函数 f (x)x|x4|，若直线 ya 与函数 f (x)的图象有三个交点 A，B， C，它们的横坐标分别为 x1，x2，x3，则 x1x2x3的取
15、值范围是_ (1) 1 2，1 (2)(8,62 2) (1)先作出函数 f (x)|x2|1 的图象， 如图所示， 当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为1 2， 故 f (x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为 1 2，1 . (2)f (x)x|x4| x224，x4， x224，x4， 其图象如图所示 由图象可得 x1x24,4x322 2， 所以 8x1x2x362 2. 跟进训练 1已知函数 f (x) 2x x1，则下列结论正确的是( ) A函数 f (x)的图象关于点(1,2)中心对称 B函数 f (x)在(，
16、1)上是增函数 C函数 f (x)的图象上至少存在两点 A，B，使得直线 ABx 轴 D函数 f (x)的图象关于直线 x1 对称 A 因为 y 2x x1 2x12 x1 2 x12，所以该函数图象可以由 y 2 x的图 象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到，所以函数 f (x)的图象 关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数 f (x)在(，1)上单调递减， 故 B 错误；易知函数 f (x)的图象是由 y2 x的图象平移得到的，所以不存在两点 A， B 使得直线 ABx 轴，C 错误故选 A 2.如图， 函数 f (x)的图象为折线 ACB， 则不等式 f (x)log2(x1)的解集是( ) Ax|1x0 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 C 令 g(x)ylog2(x1)，作出函数 g(x)图象如图所示 由 xy2， ylog2x1， 得 x1， y1. 所以结合图象知不等式 f (x)log2(x1)的解集为x|1x1 3已知函数 f (x)若关于 x 的方程 f (x)k 有两个不等的实 数根，则实数 k 的取值范围是_ (0,1 作出函数 yf (x)与 yk 的图象，如图所示， 由图可知 k(0,1
