1、指数与指数函数指数与指数函数 考试要求 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运 算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象. 3.体会指数函数是一类重要的函数模型 1根式 (1)n 次方根的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子na叫做根式， 这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 a 的 n 次方根的表示： xna xna，当n为奇数且nN*，n1时， x n a，当n为偶数且nN*时. (2)根式的性质 (na)n
2、a(nN*，n1) nan a，n为奇数， |a| a，a0， a，a0， n为偶数. 2有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正分数指数幂：a m nn am(a0，m，nN*，且 n1)； 负分数指数幂：a m n (a0，m，nN*，且 n1)； 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质 arasar s(a0，r，sQ)； (ar)sars(a0，r，sQ)； (ab)rarbr(a0，b0，rQ) 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于 0，否则不能用性质来运 算 3指数函数的概念 函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数
3、x 是自变量，a 是底数， 指数函数的定义域为 R. 提醒：形如 ykax，yax k(kR，且 k0；a0 且 a1)的函数叫做指数型 函数，不是指数函数 4指数函数的图象与性质 yax a1 0a1 图象 定义域 R 值域 (0，) 过定点(0,1) 性质 当 x0 时，y1； 当 x0 时，0y1 当 x0 时，0y1； 当 x0 时，y1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 常用结论 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， 1，1 a . 2指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx
4、，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数 a，b，c， d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象 限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)nan(na)na. ( ) (2)(1) 2 4(1) 1 2 1. ( ) (3)函数 ya x21 (a1)的值域是(0，) ( ) (4)若 aman(a0，且 a1)，则 mn. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1 若函数 f (x)ax(a0， 且 a1)的图象经过点 P 2，1 2 ， 则 f (1)_.
5、2 由题意知1 2a 2，所以 a 2 2 ， 所以 f (x) 2 2 x ，所以 f (1) 2 2 1 2. 2化简416x8y4(x0，y0)_. 2x2y 416x8y442x2y4|2x2y|2x2y. 3已知 a 3 5 1 3，b 3 5 1 4，c 3 2 3 4，则 a，b，c 的大小关系是_ cba y 3 5 x 是减函数， 3 5 1 3 3 5 1 4 3 5 0 ， 则 ab1， 又 c 3 2 3 4 3 2 0 1， cba. 4某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年 增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析
6、式为_ ya(1p%)x(0 xm，xN) 当 x1 时，yaap%a(1p%)， 当 x2 时，ya(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2， 当 x3 时，ya(1p%)2a(1p%)2p%a(1p%)3， 当 xm 时，ya(1p%)m， 因此 y 随年数 x 变化的函数解析式为 ya(1p%)x(0 xm，xN) 考点一 指数幂的化简与求值 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的， 先化成假分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用
7、幂的形式表示，运用指数幂的运 算性质来解答 1计算： 27 8 2 30.002 1 210( 52)10_. 167 9 原式 3 2 2 500 1 2 10 52 52 521 4 910 510 520 1167 9 . 2 3已知 ab5，则 ab ab a b_. 0 由 ab5 知 a 与 b 异号， ab ab a ba ab a2b ab b2 a 5 |a| b 5 |b| 0. 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数， 如 1 4 1 24 1 2. 考点二 指数函数的图象及其应用 指数函数图象问题的求解策略 变换作图 对指数型函数的图象与性质
8、问题(单调性、最值、大小比较、零点等) 的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其 图象，然后数形结合使问题得解 数形结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图 象数形结合求解 典例 1 (1)函数 f (x)ax b 的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正 确的是( ) Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0 (2)若曲线 y|3x1|与直线 ym 有两个不同交点，则实数 m 的取值范围是 _ (1)D (2)(0,1) (1)由 f (x)ax b 的图象可以观察出，函数 f (x)ax b 在定义 域上单调递减，所以 0a
9、1.函数 f (x)ax b 的图象是在 f (x)ax的基础上向左 平移得到的，所以 b0.故选 D (2)曲线 y|3x1|的图象是由函数 y3x的图象向下平移一个单位长度后，再 把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直线 ym 的图象是平行 于 x 轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|3x1|与直线 ym 有两个公共点，则 m 的取值范围是(0,1) 母题变迁 1若本例(2)条件变为：方程 3|x|1m 有两个不同实根，则实数 m 的取值范 围是_ (0， ) 作出函数 y3|x|1 与 ym 的图象如图所示， 数形结合可得 m 的 取值范围
10、是(0，) 2若本例(2)的条件变为：函数 y|3x1|m 的图象不经过第二象限，则实 数 m 的取值范围是_ (，1 作出函数 y|3x1|m 的图象如图所示 由图象知 m1，即 m(，1 点评：注意区分函数 y3|x|与 y|3x| y3|x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，y|3x|不是偶函数，其图象都在 x 轴 上方，在这里 y|3x|3x. 跟进训练 1已知函数 f (x)ax 1(a0，且 a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不 经过点 A 的是( ) Ay 1x By|x2| Cy2x1 Dylog2(2x) A 易知 A(1,1)经验证可得 y 1x的图象不经过点 A(1,
11、1)，故选 A 2已知实数 a，b 满足等式 2 019a2 020b，下列五个关系式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab. 其中不可能成立的关系式有_(填序号) 作出 y2 019x及 y2 020 x的图象如图所示， 由图可知 ab0， ab 0 或 ab0 时，有 2 019a2 020b，而不可能成立 考点三 指数函数的性质及其应用 比较指数式的大小 比较幂值大小的三种类型及处理方法 典例 21 (1)已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca (2)若 2x5y2 y5x，则有( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0
12、(1)A (2)B (1)由 0.20.6,0.41， 并结合指数函数的图象可知 0.40.20.40.6， 即 bc.因为 a20.21，b0.40.21，所以 ab.综上，abc，故选 A (2)设函数 f (x)2x5 x，易知 f (x)为增函数又 f (y)2y5y，由已知得 f (x)f (y)，所以 xy，所以 xy0. 点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意 识 解简单的指数方程或不等式 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 af (x)ag(x)f (x)g(x) af (x)ag(x)，当 a1 时，等价于 f (x)g(x)；
13、 当 0a1 时，等价于 f (x)g(x) (2)解指数方程或不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求 解 典例 22 (1)已知实数 a1，函数 f (x) 4x，x0， 2a x，x0， 若 f (1a)f (a 1)，则 a 的值为_ (2)设函数 f (x) 1 2 x 7，x0， x，x0， 若 f (a)1，则实数 a 的取值范围是 _ (1)1 2 (2)(3,1) (1)当 a1 时，4 1a21，解得 a1 2；当 a1 时，代入不 成立故 a 的值为1 2. (2)若 a0，则 f (a)1 1 2 a 71 1 2 a 8，解得
14、a3，故3a0； 若 a0，则 f (a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 综合可得3a1. 与指数函数有关的复合函数的单调性、值域 1.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数 yaf (x)的单调性，它的单调区间与 f (x)的单调区间有关： (1)若 a1，函数 f (x)的单调增(减)区间即函数 yaf (x)的单调增(减)区间； (2)若 0a1， 函数 f (x)的单调增(减)区间即函数 yaf (x)的单调减(增)区间 即 “同增异减” 2与指数函数有关的复合函数的值域 形如 yaf (x)的函数的值域，可先求 f (x)的值域再根据函数 yat的单调性确 定 yaf (x)
15、的值域 典例 23 已知函数 f (x) 1 3 ax24x3 . (1)若 a1，求 f (x)的单调区间； (2)若 f (x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f (x)的值域是(0，)，求 a 的值 解 (1)当 a1 时，f (x) 1 3 x24x3 ，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y 1 3 t 在 R 上单调 递减，所以 f (x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f (x) 的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2) (2)令 g(x)ax24x3，则 f (x) 1 3 g(x) ，由于
16、f (x)有最大值 3，所以 g(x)应 有最小值1， 因此必有 a0， 3a4 a 1， 解得 a1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，)， 应使 yax24x3 的值域为 R， 因此只能 a0(因为若 a0，则 yax24x3 为二次函数，其值域不可能为 R) 故 a 的值为 0. 点评：形如 yaf (x)(a0)的函数的定义域就是函数 yf (x)的定义域 跟进训练 1若 2 x21 1 4 x2 ，则函数 y2x的值域是( ) A 1 8，2 B 1 8，2 C ，1 8 D2，) B 2 x21 1 4 x
17、2 2 x21 24 2xx2142x， 解得3x1，2 32x2，即1 8y2，故选 B 2 已知 f (x)2x2 x， a 7 9 1 4， b 9 7 1 5， 则 f (a)， f (b)的大小关系是_ f (a)f (b) a 7 9 1 4 9 7 1 4，则 9 7 1 4 9 7 1 5，即 ab， 又函数 f (x)2x2 x 是 R 上的增函数 f (a)f (b) 3函数 y 1 2 x22x1 的值域是_ (0,4 设 tx22x1，则 y 1 2 t . 因为 01 21，所以 y 1 2 t 为关于 t 的减函数 因为 t(x1)222，所以 0y 1 2 t 1
18、 2 2 4，故所求函数的值域为 (0,4 4函数 y 1 4 x 1 2 x1 在区间3,2上的值域是_ 3 4，57 令 t 1 2 x ，由 x3,2得 t 1 4，8 ， yt2t1 t1 2 2 3 4， 当 t1 2时，ymin 3 4，当 t8 时，ymax57，故所求值域为 3 4，57 . 考点四 指数型函数的综合应用 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结 合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借 助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题 典例 3 已知函数 f (x)2a x4a 2axa (a0 且 a1)是定义在 R
19、 上的奇函数 (1)求 a 的值； (2)求函数 f (x)的值域； (3)当 x1,2时，2mf (x)2x0 恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)f (x)是 R 上的奇函数，f (x)f (x)， 即2a x4a 2a xa2a x4a 2axa ，得 a2. (注：本题也可由 f (0)0 解得 a2，但要进行验证) (2)由(1)可得 f (x)2 2 x2 2 2x2 2x1 2x11 2 2x1， 函数 f (x)在 R 上单调递增 又 2x11，2 2 2x10， 11 2 2x11. 函数 f (x)的值域为(1,1) (3)当 x1,2时，f (x)2 x1 2x10
20、. 由题意得 mf (x)m 2x1 2x12 x2 在 x1,2时恒成立， m2 x12x2 2x1 在 x1,2时恒成立 令 t2x1,1t3， 则有 mt2t1 t t2 t1. 当 1t3 时，函数 yt2 t1 为增函数， t2 t1 max10 3 .m10 3 . 故实数 m 的取值范围为 10 3 ， . 点评：在指数型函数的综合应用中，把 ax看作一个整体，即令 tax是常用的 思维意识 跟进训练 已知函数 f (x)a x1 ax1(a0，且 a1) (1)求 f (x)的定义域和值域； (2)讨论 f (x)的奇偶性； (3)讨论 f (x)的单调性 解 (1)由 ax11 知，f (x)的定义域为 R， f (x)a x1 ax11 2 ax1， 由 ax11 得 0 2 ax12， 1f (x)1，即函数 f (x)的值域为(1,1) (2)因为 f (x)a x1 a x11a x 1axf (x)， 所以 f (x)是奇函数 (3)f (x)a x12 ax1 1 2 ax1. 设 x1，x2是 R 上任意两个实数，且 x1x2， 则 f (x1)f (x2 ) 2 ax21 2 ax11 .
