1、函数函数 yAsin(x)的图象及三角的图象及三角 函数模型的简单应用函数模型的简单应用 考试要求 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图象，了 解参数 A， 对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单实际问题， 体会三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型 1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x )(A0，0， x0)表示一个 简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f 1 T 2 x 2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表 所示： 提醒：用“五点法”作函数 yAsin(x)的简图，精髓是通过变量代换，设 zx
2、，由 z 取 0， 2， 3 2 ，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐 标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4. 3由 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(其中 A0，0)的图象 提醒：(1)两种变换的区别 先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位长度；先周期变 换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是| (0)个单位长度 (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自 变量 x”发生多大变化，而不是看角“x”的变化 常用结论 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减” 2由 ys
3、in x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度 而非 个单位长度 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)将 y3sin 2x 的图象左移 4个单位后所得图象的解析式是 y3sin 2x 4 . ( ) (2)把 ysin x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2，所得图象 对应的函数解析式为 ysin x 2. ( ) (3)ysin x 4 的图象是由 ysin x 4 的图象向右平移 2个单位得到的 ( ) (4)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中 心之间的距离为T 2. ( ) 答案 (1) (2) (
4、3) (4) 二、教材习题衍生 1y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为( ) A2,4， 3 B2， 1 4， 3 C2， 1 4， 3 D2,4， 3 C 由题意知 A2，f 1 T 2 1 4，初相为 3. 2为了得到函数 y2sin 2x 3 的图象，可以将函数 y2sin 2x 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 A y2sin 2x 3 2sin 2 x 6 . 3为了得到 y3cos 3x 8 的图象，只需把 y3cos x 8 图象上的所有点的 ( ) A纵坐标伸长到原来的 3 倍，横
5、坐标不变 B横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变 C纵坐标缩短到原来的1 3，横坐标不变 D横坐标缩短到原来的1 3，纵坐标不变 D 因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把 y3cos x 8 图象上 的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 3，即可得到函数 y3cos 3x 8 的 图象，故选 D 考点一 函数 yAsin(x)的图象及图象变换 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到， 可通过变 量代换 zx 计算五点坐标 (2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径： “先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 典例 1 (1)若函数
6、f (x)cos 2x 6 ，为了得到函数 g(x)sin 2x 的图象，则 只需将 f (x)的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 (2)已知函数 f (x)4cos x sin x 6 a 的最大值为 2. 求 a 的值及 f (x)的最小正周期； 画出 f (x)在0，上的图象 (1)A 函数 f (x)cos 2x 6 sin 22x 6 sin 2x 3 ， 为了得到函数 g(x) sin 2x 的图象，则只需将 f (x)的图象向右平移 6个单位长度即可故选 A (2)解 f (x)4cos xsin
7、x 6 a4cos x 3 2 sin x1 2cos x a 3sin 2x 2cos2xa 3sin 2xcos 2x1a 2sin 2x 6 1a 的最大值为 2， 所以 a1，最小正周期 T2 2 . 由知 f (x)2sin 2x 6 ，列表： x 0 6 5 12 2 3 11 12 2x 6 6 2 3 2 2 13 6 f (x)2sin 2x 6 1 2 0 2 0 1 画图如下： 点评：三角函数图象变换中的三个注意点 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名 函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图 象，切
8、不可弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 yAsin x 到 yAsin(x) 的变换量是|个单位，而函数 yAsin x 到 yAsin(x)时，变换量是 个单 位 跟进训练 1要得到函数 ysin 5x 4 的图象，只需将函数 ycos 5x 的图象( ) A向左平移3 20个单位 B向右平移3 20个单位 C向左平移3 4 个单位 D向右平移3 4 个单位 B 函数 ycos 5xsin 5x 2 sin 5 x 10 ， ysin 5x 4 sin 5 x 20 ，设平移|个单位， 则 10 20， 解得 3 20，故把函数 ycos 5x 的图象向右平移 3
9、20个单位，可得函数 y sin 5x 4 的图象 2将函数 yf (x)的图象向左平移 3个单位长度，再把所得图象上所有点的横 坐标伸长到原来的 2 倍得到 ysin 3x1 6 的图象，则 f (x)( ) Asin 3 2x 1 6 Bsin 6x1 6 Csin 3 2x 1 3 Dsin 6x1 3 B 由题设知，先将函数 ysin 3x1 6 的图象上所有点的横坐标缩短到原来 的1 2，再将所得图象向右平移 3个单位长度即得函数 f (x)的图象，故 f (x) sin 32 x 3 1 6 sin 6x1 6 .故选 B 考点二 由图象确定 yAsin(x)B 的解析式 确定 y
10、Asin(x)B(A0，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，BMm 2 . (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2 T . (3)求 ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点 在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 典例 2 (1)(2020 新高考全国卷改编)如图是函数 ysin(x)的部分图 象，则 sin(x)( ) sin x 3 ；sin 32x ； cos 2x 6 ；cos 5 6 2x . A B C D (2)如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x
11、) b，则这段曲线的函数解析式为 (1)C (2)y10sin 8x 3 4 20，x6,14 (1)由图象知T 2 2 3 6 2，得 T ，所以 2 T 2.又图象过点 6，0 ， 由“五点法”，结合图象可得 3，即 2 3 ， 所以 sin(x)sin 2x2 3 ，故错误； 由 sin 2x2 3 sin 32x sin 32x 知正确； 由 sin 2x2 3 sin 2x 2 6 cos 2x 6 知正确； 由 sin 2x2 3 cos 2x 6 cos 2x5 6 cos 5 6 2x 知错误 综上可知，正确的选项为 C (2)从题图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsi
12、n(x)b 的半个周期， 所以 A1 2(3010)10，b 1 2(3010)20， 又1 2 2 146，所以 8. 又 81022k，kZ，取 3 4 ， 所以 y10sin 8x 3 4 20，x6,14 点评：(1)当题目中已知最值点时，最好代入最值点求 . (2)若 未指定范围，一般取|最小的 跟进训练 1(2020 全国卷)设函数 f (x)cos x 6 在，的图象大致如图，则 f (x)的最小正周期为( ) A10 9 B7 6 C4 3 D3 2 C 由题图知，f 4 9 0，4 9 6 2k(kZ)，解得 39k 4 (kZ)设 f (x)的最小正周期为 T，易知 T22
13、T， 2 |2 4 |，1|2，当且仅当 k1 时，符合题意，此时 3 2，T 2 4 3 .故选 C 2.函数 f (x)Asin(x)b A0，0，| 2 的部分图象如图所示，则 ( ) Af (x)3sin 2x 6 1Bf (x)2sin 3x 3 2 Cf (x)2sin 3x 6 2Df (x)2sin 2x 6 2 D 根据图象知 Ab4， bA0， 解得 A2，b2. f (x)的最小正周期 T4 5 12 6 ， 2 2.f (x)2sin(2x)2. 又函数图象的一个最高点为 6，4 ， 将其坐标代入 f (x)2sin(2x)2 得 sin 2 6 1. | 2， 6，f
14、 (x)2sin 2x 6 2. 考点三 三角函数图象与性质的综合应用 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已 知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质 (单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点 及有界函数等概念 典例3 已知函数f (x)2sin xcos x2 3sin2x 3(0)的最小正周期 为 . (1)求函数 f (x)的单调递增区间； (2)将函数 f (x)的图象向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y g(x)的图象，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b
15、的最小值 解 (1)f (x)2sin xcos x 3(2sin2x1) sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 由最小正周期为 ，得 1， 所以 f (x)2sin 2x 3 ， 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 整理得 k 12xk 5 12(kZ)， 所以函数 f (x)的单调递增区间是 k 12，k 5 12 (kZ) (2)将函数 f (x)的图象向左平移 6个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到 y2sin 2x 1 的图象， 所以 g(x)2sin 2x1. 令 g(x)0，得 xk7 12或 xk 11 12 (kZ)，所以在0，上恰好有两个零 点，若
16、yg(x)在0，b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可， 所以 b 的最小值为 411 12 59 12 . 跟进训练 (2019 天津高考)已知函数 f (x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数， 将 yf (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对 应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g 4 2，则 f 3 8 ( ) A2 B 2 C 2 D2 C f (x)Asin(x)为奇函数， k，kZ，又|，0，f (x)Asin x，则 g(x)Asin 2x .由 g(x)的最小正周期 T2，得 2 2 T 1
17、， 2.又 g 4 Asin 4 2 2 A 2，A2， f (x)2sin 2x， f 3 8 2sin 3 4 2，故选 C 考点四 三角函数模型的应用 三角函数的应用体现两个方面 (1)已知函数模型求解数学问题 (2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 典例 4(2020 开封模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在 摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色位于潍坊滨海的“渤海 之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为 124 米，设置有 36 个座舱游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面 145 米，匀
18、速转动一周大约需要 30 分钟当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时 (1)经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米，已知 H 关于 t 的函数关系式 满足 H(t)Asin(t)B 其中A0，0，| 2 ，求摩天轮转动一周的解析 式 H(t)； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 52 米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一 周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值 解 (1)H 关于 t 的函数关系式为 H(t)Asin(t)B， 由 BA145， BA21， 解得 A62，B83， 又函数周期为
19、30， 所以 2 30 15，可得 H(t)62sin 15t 83， 又 H(0)62sin 150 8321，| 2， 所以 sin 1， 2， 所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)62sin 15t 2 83,0t30， (2)H(t)62sin 15t 2 8362cos 15t83， 所以62cos 15t8352，cos 15t 1 2， 所以 t5. (3)由题意知，经过 t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为 H甲62cos 15t 83， 乙与甲间隔的时间为30 3665 分钟， 所以乙距离地面高度解析式为 H乙62cos 15(t5)83,5t30， 所以两人离地面的高度差
20、 h|H 甲H乙| 62cos 15t62cos 15t5 62 sin 15t 6 ，5t30， 当 15t 6 2，或 3 2 时，即 t10 或 25 分钟时，h 取最大值为 62 米 跟进训练 1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖 位置 P(x，y)若初始位置为 P0 3 2 ，1 2 ，当秒针从 P0(注此时 t0)正常开始走时， 那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( ) Aysin 30t 6 Bysin 60t 6 Cysin 30t 6 Dysin 30t 3 C 由题意，函数的周期为 T60，2 60 30， 设函数解析式为
21、ysin 30t (因为秒针是顺时针走动)， 初始位置为 P0 3 2 ，1 2 ，t0 时，y1 2. sin 1 2， 可取 6，函数解析式为 ysin 30t 6 ，故选 C 2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f (x) Asin(x)B A0，0，| 2 的模型波动(x 为月份)， 已知 3 月份达到最 高价 9 千元，9 月份价格最低为 5 千元，则 7 月份的出厂价格为 元 6 000 作出函数简图如图所示， 三角函数模型为： yf (x)Asin(x)B， 由题意知：A2 000，B7 000， T2(93)12， 2 T 6. 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有 63 2，0， 故 f (x)2 000sin 6x7 000(1x12，xN *) f (7)2 000sin 7 6 7 0006 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元
