1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 考试要求 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义 1复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b. (2)复数的分类 (3)复数相等 abicdiac 且 bd(a，b，c，dR) (4)共轭复数 abi 与 cdi 共轭ac 且 bd(a，b，c，dR) (5)复数的模 向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r a2b2(r0，a，bR)
2、 2复数的几何意义 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1， (z1z2)z3z1(z2z3) 常用结论 1(1 i)2 2i；1i
3、 1ii； 1i 1ii. 2i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i(nN*) 3zz |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|， z1 z2 |z1| |z2|，|z n|z|n. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 aC，则 a20. ( ) (2)已知 zabi(a，bR)，当 a0 时，复数 z 为纯虚数 ( ) (3)复数 zabi(a，bR)的虚部为 bi. ( ) (4)方程 x2x10 没有解 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1设 z(1i)(2i)，则复数 z 在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限
4、 B第二象限 C第三象限 D第四象限 A z(1i)(2i)3i，故复数 z 在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象 限 2在复平面内，向量AB 对应的复数是 2i，向量CB 对应的复数是13i， 则向量CA 对应的复数是( ) A12i B12i C34i D34i D CA CB BA CB AB 13i2i34i，故选 D 3设复数 z 满足1z 1zi，则|z|等于( ) A1 B 2 C 3 D2 A 1z 1zi， 则 zi1 1ii， |z|1. 4已知(12i)z43i，则 z . 2i 由(12i) z 43i 得 z 43i 12i 43i12i 5 2i. z2i. 考
5、点一 复数的有关概念 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 zabi(a， bR)，则该复数的实部为 a，虚部为 b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变， 虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数 z1abi 与 z2cdi 共轭a c，bd(a，b，c，dR) (3)复数是实数的条件：zabiRb0(a，bR)；zRz z ； zRz20. (4)复数是纯虚数的条件：zabi 是纯虚数a0 且 b0(a，bR)；z 是纯虚数z z 0(z0)；z 是纯虚数z20. 1(2020 广州模拟)如果复数
6、z 2 1i，则( ) Az 的共轭复数为 1i Bz 的虚部为i C|z|2 Dz 的实部为1 D z 2 1i 21i 1i1i 22i 2 1i，z 的实部为1，故 选 D 2 (2020 大连模拟)设(12i)xxyi， 其中 x， y 是实数， i 为虚数单位， 则 y xi ( ) A1 B 2 C 3 D 5 D 由 x2xixyi，x，yR，则 y2x， y xi |2i| 5，故选 D 3如果复数m 2i 1mi是纯虚数，那么实数 m 等于( ) A1 B0 C0 或 1 D0 或1 D m 2i 1mi m2i1mi 1mi1mi m2m1m3i 1m2 ，因为此复数为纯虚
7、数，所以 m2m0， 1m30， 解得 m1 或 0，故选 D 考点二 复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含 有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数 化解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 典例 1 (1)对于两个复数 1i，1i，有下列四个结论：1； i； 1；220，其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 (2)(2020 武汉调研)已知复数 z 满足 z|z|1i，则 z( ) Ai Bi
8、C1i D1i (1)C (2)B (1)(1i)(1i)2，不正确； 1i 1i 1i2 1i1ii， 正确； |i|1，正确；22(1i)2(1i)22i2i0，正确 (2)设 zabi(a，bR)，则 z|z|(aa2b2)bi1i，所以 a a2b21， b1， 解得 a0， b1， 所以 zi，故选 B 点评：(1)在只含有 z 的方程中，z 类似于代数方程中的 x，可直接求解； (2)在 z， z ，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设 zabi，a，bR，变 换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于 a，b 的方程组，求出 a，b，从而得 出复数 z. 跟进训练 1(2020
9、全国卷)若 z (1i)1i，则 z( ) A1i B1i Ci Di D z (1i)1i， z1i 1i 1i2 1i1ii，zi，故选 D 2(2020 全国卷)若 z1i，则|z22z|( ) A0 B1 C 2 D2 D 法一：z1i，|z22z|(1i)22(1i)|2i2i2|2|2.故 选 D 法二：z1i，|z22z|z|z2| 2|1i| 2 22.故选 D 考点三 复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法 典例 2 (1)(2019 全国卷)设复数 z 满足|zi|1， z 在复平面内对应的点为 (x，y)，则( ) A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx
10、2(y1)21 Dx2(y1)21 (2)(2020 黄冈模拟)已知 i 是虚数单位， 则复数i1 i1在复平面上所对应的点的坐 标为( ) A(0,1) B(1,0) C(1,0) D(0，1) (3)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取 值范围是( ) A(3,1) B(1,3) C(1，) D(，3) (1)C (2)A (3)A (1)由题意可知 zxyi， 所以|zi|x(y1)i| x2y121. x2(y1)21.故选 C (2)i1 i1 i11i 2 i，该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)， 故选 A (3)由已知可得复数 z
11、在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以 m30， m10， 解得3m1，故选 A 点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数 对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可 跟进训练 1.如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是OA ，OB ，则复数 z1 z2对 应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D 由已知OA (2，1)，OB (0,1)，所以 z12i，z2i，z1z21 2i， 它所对应的点为(1，2)，在第四象限 2(2020 全国卷)设复数 z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 3i，则|z1z2| . 2 3 设 z1x1y1i(x1，y1R)，z2x2y2i(x2，y2R)，则由|z1|z2|2， 得 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 24. 因为 z1z2x1x2(y1y2)i 3i，所以|z1z2|2(x1x2)2(y1y2)2x 2 1 y 2 1x 2 2y 2 22x1x22y1y282x1x22y1y2( 3)2124， 所以 2x1x22y1y2 4，所以|z1z2|x1x2(y1y2)i|x1x22y1y22 x21y21x22y222x1x22y1y2 842 3.
