1、两条直线的位置关系两条直线的位置关系 考试要求 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2. 当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1 k21. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2. 2两条直线的交点
2、的求法 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为 常数)，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 3三种距离公式 (1) 平 面 上 的 两 点P1(x1， y1) ， P2(x2， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| x1x22y1y22. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2. (2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d |C
3、1C2| A2B2. 常用结论 直线系方程的常见类型 (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包 括直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：AxBy0( 是参数 且 C)； (3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是： BxAy0( 是参数)； (4)过两条已知直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的交点的直 线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括 l2) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)当直线 l1和
4、 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2. ( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1. ( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A 2 B2 2 C 21 D 21 C 由题意得|a23| 2 1，即|a1| 2， 又 a0，a 21. 2 已知P(2， m)， Q(m,4)， 且直线PQ垂直于直线xy10， 则m . 1
5、 由题意知 m4 2m1，所以 m42m， 所以 m1. 3若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值 为 9 由 y2x， xy3， 得 x1， y2. 所以点(1,2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，所以 m9. 4已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离 是 2 由两直线平行可知3 6 4 m，即 m8. 两直线方程分别为 3x4y30 和 3x4y70， 则它们之间的距离 d |73| 9162. 考点一 两条直线的位置关系 由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1xB1yC10(A 2 1B 2 10)
6、 l2：A2xB2yC20(A 2 2B 2 20) l1与 l2平行的充要条件 A1B2A2B10 且 A1C2A2C1 l1与 l2垂直的充要条件 A1A2B1B20 l1与 l2相交的充要条件 A1B2A2B1 l1与 l2重合的充要条件 A1B2A2B1且 A1C2A2C1 1设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y4 0 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 当 a1 时，显然 l1l2， 若 l1l2，则 a(a1)210， 所以 a1 或 a2. 所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充
7、分不必要条件 2若直线 l1：(a1)xy10 和直线 l2：3xay20 垂直，则实数 a 的 值为( ) A1 2 B 3 2 C 1 4 D 3 4 D 由已知得 3(a1)a0，解得 a3 4. 3已知三条直线 l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10 不 能构成三角形，则实数 m 的取值集合为( ) A 4 3， 2 3 B 4 3， 2 3 C 4 3， 2 3， 4 3 D 4 3， 2 3， 2 3 D 三条直线不能构成一个三角形， 当 l1l3时，m2 3； 当 l2l3时，m4 3； 当 l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形， 由 2x3y10，
8、 4x3y50， 得交点为 1，1 3 ，代入 mxy10，得 m2 3.故 选 D 点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 考点二 两条直线的交点与距离问题 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其 他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这 样能简化解题过程 2点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时， 应先将方程化为一般式且 x， y 的系数对应相等 典例 1 (1)(2020 全国卷)点(0，1)到直线 y
9、k(x1)距离的最大值为 ( ) A1 B 2 C 3 D2 (2)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方 程为 (3)已知两直线 a1xb1y10 和 a2xb2y10 的交点为 P(2,3)，则过两点 Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为 (1)B (2)x3y50 或 x1 (3)2x3y10 (1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，1)到直线 yk(x1)的距离 d |k 01 1k| k21 |k1| k21 k22k1 k21 1 2k k21.当 k0 时，d1；当 k0 时，d1 2k k21 1 2 k1
10、 k ，要使 d 最大，需 k0 且 k1 k最小， 当 k1 时，dmax 2，故选 B 法二：记点 A(0，1)，直线 yk(x1)恒过点 B(1,0)，当 AB 垂直于直线 y k(x1)时，点 A(0，1)到直线 yk(x1)的距离最大，且最大值为|AB| 2， 故选 B (2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk2 0. 由题意知|2k3k2| k21 |4k5k2| k21 ， 即|3k1|3k3|，k1 3， 直线 l 的方程为 y21 3(x1)，即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 (3)P
11、(2,3)在已知的两条直线上， 2a13b11， 2a23b21. 点 Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线 2x3y1 上的两个点，故过 Q1，Q2两点 的直线方程为 2x3y1. 点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思 这个解题要点 跟进训练 1若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ| 的最小值为( ) A9 5 B 18 5 C29 10 D 29 5 C 因为3 6 4 8 12 5 ，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y 240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|2
12、45| 6282 29 10， 所以|PQ|的最小值为29 10. 2经过两条直线 l1：xy40 和 l2：xy20 的交点，且与直线 2xy 10 垂直的直线方程为 x2y70 由 xy40， xy20， 得 x1， y3， l1与 l2的交点坐标为(1,3) 设与直线 2xy10 垂直的直线方程为 x2yC0， 则 123C0，C7. 所求直线方程为 x2y70. 考点三 对称问题 对称问题的求解方法 (1)点关于点：点 P(x，y)关于点 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x2ax， y2by. (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 (3)点关于线：点
13、 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)， 则有 nb ma A B 1， A am 2 B bn 2 C0. (4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 中心对称问题 典例 21 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y 100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 x4y40 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的 对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4， 即点 A(4，0)在直线 l 上，所以直线 l 的
14、方程为 x4y40. 点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求 解 轴对称问题 典例 22 (1)已知直线 y2x 是ABC 中角 C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为( ) A(2,4) B(2，4) C(2,4) D(2，4) (2)已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过 点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 (1)C (2)6xy60 (1)设 A(4,2)关于直线 y2x 的对称点为 A(x，y)， 则 y2 x421， y2 2 24x 2 ， 解得 x4，
15、y2， A(4，2)，由题意知，A在直线 BC 上，BC 所在直线方 程为 y121 43 (x3)，即 3xy100.联立 3xy100， y2x， 解得 x2， y4， 则 C(2,4) (2)设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所 在直线过点 M， 所以 b4 a3 11， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1，b0.即 M (1,0) 又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为y0 60 x1 21， 即 6xy60. 点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直； 二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直
16、平分”，由“垂直”列出一个方 程，由“平分”列出一个方程，联立求解 跟进训练 1.如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射 到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( ) A3 3 B6 C2 10 D2 5 C 直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关 于 y 轴的对称点为 C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|62222 10. 2若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n) 重合，则 mn . 34 5 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x 3，它也是点(7,3)与点(m，n) 连线的中垂线，于是 3n 2 27m 2 3， n3 m7 1 2， 解得 m3 5， n31 5 ， 故 mn34 5 .
