1、海门海门20202021学年第一学期期末测试学年第一学期期末测试 高三数学高三数学 一、一、单项选择题： （本大题共单项选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在毎小题绐出的分。在毎小题绐出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1.已知集合 2 20Ax xx ， 1Bxxm ，ABA，则实数m的取 值范围为（ ） A 2, B1,2 C.2, D1,2 【答案答案】C 2 已知复数= 1+22Zii（其中i为虚数单位） ，则复数Z的共轭复数在复平面 内对应的点为（ ） A. 3,4 B. 3, 4 C
2、. 4,3 D. 4, 3 【答案答案】D 3.“ 22 mn”是“ln lnmn”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1. 本试卷共 5 页，包括单项选择题（第 18 题） 、多选题（第 912 题） 、填空题（第 13 16 题）和解答题（第 1722 题）四部分。本次考试满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2. 答题前，请务必将自己的姓名、考试号、考位号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上。 3.
3、请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。 4. 作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案。作答填空题和解答题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写 在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。 【答案答案】B 4.2021 年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要， 南通 市某医院呼吸科准备从 5 名男医生和3 名女医生中选派3人前往3 个隔离点进行 核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为（ ） A. 23 28 B. 5 14 C. 15 56 D. 2 7 【答案答案】
4、A 5.若 2 3 n x x 的二项式展开式中 7 x 项的系数为 15，则n（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案答案】A 6.已知向量, a b 满足2,1,1 ,2aba b ，则cos, a ab （ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 【答案答案】C 7.已知函数 21 = ax f xx eax ，若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线 2yx平行，则a （ ） A. 2 B. 21或 C. 12 或 D. 1 【答案答案】A 解解： 121 ( )2 ee axax fxxx aa 11 (1)2ee2 aa faa 令 1 ( )
5、(2)e2 a g aaa ( 1)1 ( 1)20g ，1a 可取但此时在点 1,1f处的锤子数学切线为 xy2，故舍去. ( 2)0220g ，2a 可取，选 A. 8. 已知实数, ,a b cR， 满足 ln 1 abc abc b eee ， 则, ,a b c的大小关系为 （ ） A. a bc B. a cb C. b ca D. b ac 【答案】【答案】D 解：解：1b，0 eb b ，0 ec c ，0c ， 而0,1ab，c最小 令( ) ex x f x ， 1 ( )0 ex x fx ，1x ( )f x在(,1)，(1,) ln 0 ee ab ab ，ln0a，
6、即1a ln eee aab aab ，bac 综上：bac.选 D. 二、多项选择题： （本题共二、多项选择题： （本题共 4 小题，每小題小题，每小題 5 分，共分，共 20 分。在每个小题给出的分。在每个小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得，全部选对的得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有分，有 选错的得选错的得 0 分。 ）分。 ） 9.某同学在研究函数( ) () 1 x f xxR x 时， 给出下面几个结论中正确的有 （ ） A.( )f x的图象关于点( 1,1)对称 B.( )f x是单调函数 C.( )f x的值域
7、为( 1,1) D 函数( )( )g xf xx有且只有一个零点 【答案答案】BCD 10.南通某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生产的质量产品要求，对现有某种 型号产品进行抽检，由抽检结果可知，该型号汽车配件质量指标服从正态分布 200 224N，则（ ） A. 185.032000.6826P B. 200229.940.4772P C. 185.03229.940.9544P D.任取 10000 件该型号配件，其质量指标值位于区间185.03,229.94内件数约为 8185 件. （附： 22414.97 ，若 2 ,N ， 则 0.6826,20.9544PP ） 【答案答案】BD
8、 11已知函数 sinf xx（0， 2 ） ，其图象相邻两条对称轴之间 的距离为 4 ，且直线 12 x 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A函数 f x的最小正周期为 2 B函数 f x在区间 , 6 12 上单调递增 C点 5 ,0 24 是函数 f x图象的一个对称中心 D将函数 f x图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 到的图象向左平移 6 个单位长度，可得到 sin2g xx的图象 【答案答案】AC 解：解：相邻两对称轴间的距离为 4 24 T 即 2 T ，A 正确 2 2 T ，4，( )sin(4)f xx 12 x 是一条对称轴， 32
9、k ， 5 , 6 kkZ 2 ， 6 ，( )sin 4 6 f xx ( )f x在, 612 ，B 错 4 6 xk ，, 244 k xk Z，1k 时， 5 24 x ， 5 ,0 24 是一个对称中心，C 对 ( )f x图象上所有点横坐标伸长为锤子数学原来的 2 倍变为sin 2 6 x 再向左平移 6 个单位变为sin 2sin 2sin2 666 xxx ，D 错 选 AC. 12. 已知正数a，b满足 14 ab ab ，则（ ） A. 1 ab ab 的最小值为 2 B.ab的最小值为 4 C .4ab的最小值为 8 D.4ab的最小值为 8 【答案答案】BD 解解： 1
10、444 2ab ababab 2 ()4ab，即4ab min 117 4 ab ab ，A 错，B 对 33 4()28baab，D 对 1,4ab时锤子数学满足 14 ab ab 此时4178ab，C 错 选 BD. 三、填空题： （本大题共三、填空题： （本大题共 4 小題，毎小题小題，毎小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的分。把答案填在答题卡的 相应位置。 ）相应位置。 ） 13.若数列 n a满足： 11 21,1, nn aana 则 2021= a . 【答案答案】2021 14.已知( )f x是定义在R上的奇函数，满足(1)(1)fxfx.若(1)2f，则 (
11、1)(2)(3)(2021)ffff . 【答案答案】1 15.设椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 与双曲线 22 2 22 :10,0 xy Cmn mn 的公共焦 点为 12 ,F F，将 12 CC，的离心率记为 12 ,e e，点A是 12 ,C C在第一象限的公共点，若 点A关于 2 C的一条渐近线的对称点为 1 F，则 22 12 22 ee . 【答案】【答案】4 解解： 12 12 2 2 AFAFa AFAFm ， 1 2 AFam AFam 1 AF关于渐近线对称，设锤子数学中点为M 则MO是 12 AFF中位线， 2 OMAF 1 OMAF， 12 AFA
12、F 222 12 4AFAFc 222 ()()4amamc， 222 2amc 222 222222 12 22 2222224 4 amc cceecc am . 16.我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角 形的直三棱柱 （侧棱垂直于底面的三棱柱） 称之为 “堑堵” . 如图，三棱柱 111 ABCABC为一个“堑堵” ，底面ABC是 以AB为斜边的直角三角形，且5AB ，3AC ，点P在 棱 1 BB上，且 1 PCPC，当 1 APC的面积取最小值时，三 棱锥PABC的外接球的表面积为 . 【答案】【答案】45 解：法一：解：法一：由“堑堵”的锤子数学定义可知，ABC为直角三角
13、形，故 4 22 ACABBC， 易知 1 PCAC ，又 1 PCPC ，所以 1 PC平面APC，于是得 1 PCAP 设zBB 1 ，tBP，则tzPB 1 ， 则 222 25tBPABAP， 2 2 1 2 111 16tzPBCBPC， 22 1 2 1 9zCCACAC， 由 1 PCAP ，得 2 22 16259tztz，整理得 t tz 16 ， 所以 2 2 2 2 1 16 1616 t tzPC 所以 2 22 2 2 1 400 41225 16 16 2 1 2 1 1 t tt t PCAPS APC 18 400 2412 2 2 t t，当且仅当 2 2 4
14、00 t t ，即52t时 1 APC的锤子数学面积 取得最小值18，此时535225 2 2 AP， 设三棱ABCP锥的外接球半径为R，由图可知，线段AP为外接球的直径 故所求外接球的表面积45 4 45 4S. 法二：法二：令 11PB CPCB， 则 sin 4 1 PC， cos 4 CP， 2 2 cos 16 9 cos 4 9 AP， 又因为AC平面 11C CBB，所以PCAC 1 ， 又PCCP 1 ，所以PC1平面ACP，所以90 1PA C， 1 APC的面积 222 1 cos 16 9 sin 4 cos 16 9 sin 4 2 1 2 1 1 APPCS APC
15、2 22 22 2 22 tan1625 tan 4 4 cos cossin16 9 sin cossin4 2 2 tan64 tan 100 164，当且仅当 2 2 tan64 tan 100 时， 1 APC S取最小值， 此时 2 5 tan，53tan1625 cos 16 9 2 2 AP， 在三棱锥ABCP中，因为90ABPACP， 取AP中点为O，则OPOAAPOBOC 2 1 ，故O为三棱锥ABCP的锤子数 学外接球的球心，所以AP为外接球直径，454 22 APRS O球 . 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小題，共小題，共 70 分。解答应写岀文字说明、
16、证明过程或演分。解答应写岀文字说明、证明过程或演 算步骤。算步骤。 17. 已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaaa . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，求 n T. 解：解： （1） 352 1 52 1 52 1 52 1 321 n aaaa n 2n时， 3 1 52 1 52 3 52 2 52 1 1321 n a n aaa n -2 2 63 3 1 52 n n a a n n n 在式中，令4 3 1 52 1 1 1 1 a a n，也满足上式 2 53 n an. （2） 8
17、3 1 53 1 3 4 8353 4 2 83 2 53 11 1 nnnn nn aa nn 83283 1 8 1 3 4 83 1 53 1 14 1 11 1 11 1 8 1 3 4 n n nnn Tn. 18.在平面四边形ABCD中，已知 2 6AB ，3AD， 2ADBABD ， 3 BCD . （1）求BD； 解：解： （1） 3 6 cos 2sin 62 sin 3 sinsin ABD ABDABDADB AB ABD AD 3 3 sinABD， 3 1 3 3 212coscos 2 ABDADB， 3 22 sinADB 9 35 3 22 3 6 3 1 3
18、3 sinsinADBABDBAD 在ABD中由锤子数学正弦定理得5 3 3 3 9 35 BD BD . （2）设xBC ，yCD， 2532525 2 1 2 2 2222 xyyxxyyxxyyx 1025 4 1 2 3325 2 2 2 yxyx yx xyyx BCD的周长的最大值为15510. 19 如图 1，在直角梯形ABCD中， 1 / /, 22 ADBCBADABBCADa ，E 是AD的中点，O是AC与BE的锤子数学交点，将ABE沿BE折起到图 2 中 1 ABE的位置，得到四棱锥 1 ABCDE. (1)证明：CD 平面 1 AOC； (2)当平面 1 ABE 平面B
19、CDE时， 四棱锥 1 ABCDE的 体积为36 2，求a的值. 解：解： （1）证明：原直角梯形中ADBC， 1 2 BCAD，E为AD的中点 1 2 DEAD， BCDE，四边形BCDE为平行四边形 ABBCAE， AEBC，90BAD， 四边形ABCE为正方形 AOBE，ACCD 在翻折过后的锤子数学图形中， 1 BEAO，BECO 而CDBE， 1 CDAO，CDCO， 1 AOCOO CD平面 1 AOC. （2）当平面 1 ABE 平面BCDE时，平面 1 ABE平面BCDEBE 1 AO 平面 1 ABE， 1 AOBE， 1 AO平面BCDE， 1 2 2 AOa 1 2 12
20、 36 2 32 ABCDE Vaa ， 3 2166aa. 20.甲、乙两人组成“龙队”代表班级参加学校体育节的足球射门比赛活动，每 轮活动由甲、乙两人各射门一次，在一轮活动中，如果两人都射中，则“龙队” 得 3 分；如果只有一个人射中，则“龙队”得 1 分；如果锤子数学两人都没射中， 则“龙队”得 0 分.已知甲每轮射中的概率是 3 4 ，乙每轮射中的概率是 2 3 ；每轮 活动中甲、乙射中与否互不影响.各轮结果亦互不影响. （1）假设“龙队”参加两轮活动，求： “龙队”至少射中 3 个的概率； （2）设“龙队”两轮得分之和为X，求X的分布列； 设“龙队”n轮得分之和为 n X，求 n X
21、的期望值. （参考公式E XYEXEY） 解解： （1）两轮活动射中 3 个概率为 1 2 3231215 43433412 C 两轮活动射中 4 个的概率为 32321 43434 “龙队”至少射中 3 个概率为 5182 124123 P . （2）X的所有可能取值为 6，4，3，2，1，0 2 321 (6) 434 P X ， 5 (4) 12 P X ， 1 2 32111 (3) 434312 P XC 2 312125 (2) 4334144 P X ， 1 2 1131215 (1) 43433472 P XC 2 111 (0) 43144 P X X的分布列如下： X 0
22、1 2 3 4 6 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 一轮得分 1 X的期望为 15123 013 1212212 n轮得分和 n X的期望 23 () 12 n E Xn. 21.已知函数 3 6 x f xax . （1）讨论 f x的单调性； （2）若对任意0,x， sinf xx 恒成立，求a的锤子数学取值范围. 解解： （1） 2 1 ( ) 2 fxxa 当0a时，( )0fx，( )f x在R上单调递增 当0a 时，令( )02fxxa 且当2xa时，( )0fx，( )f x； 当22axa时，( )0fx，( )f x； 当2xa时，( )0
23、fx，( )f x. （2） 3 sin0 6 x axx在0,)上恒成立 令 3 ( )sin 6 x F xaxx，( )(0)F xF， 2 1 ( )cos 2 F xxax (0)010Fa ，1a （必要性） 下证充分性，当1a 时， 3 ( )sin 6 x F xxx 令 3 1 ( )sin 6 g xxxx， 2 1 ( )1cos 2 g xxx 令 2 1 ( )1cos 2 h xxx ，( )sin0h xxx，( )h x在0,)上 ( )(0)0h xh，( )0g x，( )g x在0,)上 ( )(0)0g xg，( )0F x在0,)上恒成立，符合题意 综
24、上：a的锤子数学取值范围为(,1. 22.已知抛物线 2 :2(0)P ypx p,焦点为F，M为P上 任一点，l为过M点的切线. （1）若l的方程为 1 1 2 yx，求抛物线方程. （2）求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角. 解解： （1）设 00 (,)M xy，故切线l的方程为 0 0 2 2 xx y yp ， 即 00 0pxy ypx 若l锤子数学的方程为220 xy时， 0 00 0 2 2 122 1 x pypx y p 抛物线方程为 2 2yx. （2）当l不垂直于x轴时，设l与x轴锤子数学的夹角为， 0 tan p y FM与l夹角设为， 0 0 2 FM y k p x ， 0 l p k y 0 2 2 0 000 0 000 0 0 22 tan 1 2 2 yp pp y xypx ypp xypy p y x 2 0 0 000 2 2 p px p p y x yy tantan，.
