1、7.1.2 7.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 在几何上，在几何上， 我们用什么我们用什么 来表示实数来表示实数? ? 实数可以用数轴实数可以用数轴 上的点来表示上的点来表示. 实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形) (数数) 一一对应一一对应 想 一 想 ？ 想 一 想 ？ x 0 0 1 1 实数的几何模型实数的几何模型: : . 复数的一复数的一 般形式般形式 一个复数又该一个复数又该 怎样表示呢？怎样表示呢？ 回 忆 回 忆 iab 实部实部 虚部虚部 ( (a, ,bR)R) 1.1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义类比实数的几何意义思考复数的几何意义. . 2.2.明确
2、复数的两种几何意义明确复数的两种几何意义. . 3.3.了解复数模的意义了解复数模的意义, ,和共轭复数的概念。和共轭复数的概念。 体会数学抽象及数学运算素养体会数学抽象及数学运算素养，培养培养数形结合的数形结合的直观想象直观想象的能力的能力。 复数复数z= =a+ +bi 有序实数对有序实数对( (a, ,b) ) 直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z( (a, ,b) ) （数）（数） （形）（形） 一一对应一一对应 探究点探究点1 1 复数的几何表示复数的几何表示 x y 0 Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来 表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面
3、x轴轴实轴实轴 y轴轴虚轴虚轴 a b z=a+bi 这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义. . A A. .在复平面内在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；对应于实数的点都在实轴上； B B. .在复平面内在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；对应于纯虚数的点都在虚轴上； C C. .在复平面内在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；实轴上的点所对应的复数都是实数； D D. .在复平面内在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. . 下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ） D D 【即时训练即时训练】 【解题关键解题关键】虚轴上的
4、点除原点外都表示纯虚数。虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。 实轴上的点表示实数，实轴上的点表示实数， 虚轴上的点除原点外都表虚轴上的点除原点外都表 示纯虚数，各象限内的点示纯虚数，各象限内的点 表示实部不为零的虚数表示实部不为零的虚数. . 【总结提升总结提升】 一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内 的点分别表示什么样的数？的点分别表示什么样的数？ 复数复数z= =a+ +bi 有序实数对有序实数对( (a, ,b) ) 直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z( (a, ,b) ) （数）（数） （形）（形） 一一对应一一对应 平平面面向向量量OZOZ 探
5、究点探究点2 2 复数的向量表示复数的向量表示 x y 0 Z( (a, ,b) ) a b z=a+bi 复复数数z=z=向向+ +量量OZOZ的的模模的的r r叫叫做做, , 记记作作 z z 或或 模模 + +. . abi abi 2222 易易知知z =+z =+ab 这是复数的又一种几何意义这是复数的又一种几何意义. . 复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广 x O z= =a+ +bi y | |z|=|=r=| |OZ| | 探究点探究点3 3 复数的模的几何意义复数的模的几何意义: : 复数复数 z= =a+ +bi的模的模r就是复数就是复数
6、z= =a+ +bi在复平面在复平面 上对应的点上对应的点Z(Z(a, ,b) )到原点的距离到原点的距离. . Z(a,b) 22 ab x O z=a+bi y | |z|=|=|z| | 探究点探究点4 4 共轭复数共轭复数 当两个复数的当两个复数的实部实部相等，相等，虚部虚部互为相反数时，这两个复数互为相反数时，这两个复数 叫做互为叫做互为共轭复数共轭复数. .虚部不等于虚部不等于0 0的两个共轭复数也叫做的两个共轭复数也叫做共轭共轭 虚数虚数。复数。复数 z= =a+ +bi的的共轭复数表示为的的共轭复数表示为 z= =a-bi. 22 ab z=a-bi 例 1 设复数 z1=4+
7、3i,z2=4-3i. (1) 在复平面内画出复数 z1,z2对应的点和向量； (2) 求复数的模,并比较它们的模的大小. 解： (1)如图 7.1-4 复数 z1,z2对应的点分别为 z1,z2, 对应的向量分别为 12 ,OZ OZ . 2 2 zz zz 22222222 1 1 1 1 = 4+3i =4 +3 =5= 4-3i =4 +(-3) =5.= 4+3i =4 +3 =5= 4-3i =4 +(-3) =5. 所所以以=.=. , ,(2)(2) 7.17.1- -4 4 【总结提升总结提升】虚数不能比较大小，但模可以比较大小。虚数不能比较大小，但模可以比较大小。 若复数若
8、复数z(z(x, ,y) )对应点集为圆对应点集为圆: : 试求试求zz的最大值与最小值的最大值与最小值. . x y o o1 2 1 1 3 1 【变式训练】【变式训练】 例 2 设 ,Cz 在复平面内 z 对应的点为 Z， 那么满足 下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ (1)(2)1；z z2.2. 解：(1)由 1z = = 得，向量OZ的模等于 1，所以满 足条件 1z = = 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心， 以 1 为半径的圆. (2)不等式 1 z2 2可化为不等式可化为不等式 z z 2,2, 1.1. 不等式不等式 2 2的解集是圆的解集是圆 =2=2的内部所有的点
9、组成的集合，不等的内部所有的点组成的集合，不等 式式 1 1的解集是圆的解集是圆 =1=1的外部所有的点组成的集合，这两个集的外部所有的点组成的集合，这两个集 合的交集，就是上述不等式组的解集，合的交集，就是上述不等式组的解集， 也就是满足条件也就是满足条件1 1 2 2的点的点Z Z的集合。的集合。 容易看出，所求的集合是以原点容易看出，所求的集合是以原点O O为圆为圆 心，以心，以1 1及及2 2为半径的两个圆所夹的圆环，为半径的两个圆所夹的圆环， 但不包括圆环的边界但不包括圆环的边界. . z z z z z 确定复数对应点在复平面内位置，关键是理解好确定复数对应点在复平面内位置，关键是
10、理解好 复数与该点的对应关系，实部就是该点横坐标，虚部复数与该点的对应关系，实部就是该点横坐标，虚部 就是该点的纵坐标，从而确定列方程或不等式表示的就是该点的纵坐标，从而确定列方程或不等式表示的 图形图形. . 【总结提升总结提升】 【变式训练】【变式训练】 已知复数已知复数z=(=(m2 2+ +m- -6)+(6)+(m2 2+ +m- -2)2)i i在复平面内所对应在复平面内所对应 的点位于第二象限，求实数的点位于第二象限，求实数m的取值范围的取值范围. . 表示复数的点所表示复数的点所 在象限的问题在象限的问题 复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题足的不等式组
11、的问题 转化转化 (几何问题几何问题) (代数问题代数问题) 一种重要的数学思想一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想 1. 1. 数学知识：数学知识： 2. 2. 几何意义：几何意义： (1)(1)复数相等复数相等 (2)(2)复平面复平面 (3)(3)复数的模复数的模 (2)(2)向量（向量（a, ,b） (1)(1)点（点（a, ,b） 3. 3. 数学思想：数学思想： (1)(1)转化思想转化思想 (2)(2)数形结合思想数形结合思想 (3)(3)类比思想类比思想 (4)(4)共轭复数共轭复数 1 1“a=0”=0”是“复数是“复数a+ +bi ( (a , , bR) )所对应
12、的点所对应的点 在虚轴上”的（在虚轴上”的（ ） A.A.必要不充分条件必要不充分条件 B.B.充分不必要条件充分不必要条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.不充分不必要条件不充分不必要条件 C C 2.如果复数 z1ai 满足条件|z|2，那么实数 a 的取值范围是（） A(2 2，2 2)B(2,2) C(1,1)D( 3， 3) D 3. 3. 在复平面内，描出下列各复数的点：在复平面内，描出下列各复数的点： x y O 2 25i;5i; 3 32i;2i; 2 24i;4i; 3 3i;i; 5;5; 3i3i x y O 解析：解析： 2 25i;5i; 3 32i;2i; 2 24i;4i; 3 3i;i; 5;5; 3i3i 4.设 z 为纯虚数，且|z1|1i|，求复数 z. 解析:因为 z 为纯虚数，所以设 zai(aR 且 a0)，又|1i| 2，由|z1|1i|， 得 a21 2，解得 a 1，z i. 自己活着，就是为了使别人活得更美好。自己活着，就是为了使别人活得更美好。
