1、理科数学试题 第 1 页（共 10 页） 20192020 学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考 高高三年级理科数学试卷三年级理科数学试卷 试卷说明：本试卷分试卷说明：本试卷分第第卷选择题（卷选择题（112 题，共题，共 60 分）和分）和第第卷（非选择卷（非选择 题，题，13132323 题，共题，共 9090 分） 。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答分） 。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 命题
2、人：关锋命题人：关锋 校对人：张燕校对人：张燕 考考试试时间时间 ：120 120 分钟分钟 考试分数考试分数：150150 分分 第第卷（选择题卷（选择题 满分满分 60 分）分） 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1.已知集合|3AxxZ， |ln1Bxx，集合 A 与 B 关系的韦恩图如图所示，则阴
3、影部分所表示的集合为 ( ) A |0xxe B1 2 3， C0 1 2， D1 2， 2.i为虚数单位，复数 1i 2 z在复平面内对应的点的坐标为( ) A)11(， B)11( ， C)11(， D)11( ， 3.已知, a b都是实数,:p直线0xy与圆 22 ()()2xayb相切; :2q ab,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件
4、 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 m2-m1= lg ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k=1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼 星的星等为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1
5、 C.lg10.1 D.10-10.1 5.已知 2 33 3 2 11 ,log 32 abc ，则, ,a b c的大小关系为 Aabc Bcba Ccab Dacb 6.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 得到的回归方程为y bxa，则( ) Aa0，b0 Ba0，b0 成立的 x 的取值范围为( ) A.) 1 , 0() 1,(
6、;B.), 1 ()0 , 1( C.)0 , 1() 1,( D.), 1 () 1 , 0( 第第卷卷 （非选择题（非选择题 满分满分 9090 分）分） 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.若实数, x y满足条件 20, 0, 3, xy xy y 则34zxy的最大值是_ 14.由曲线 3 xy (0)x与它在1x处切线以及 x 轴所围成的图形的面积为 15.三棱锥PABC中，PA平面ABC， 2 3 BAC ，3AP ，2 3AB ，
7、Q是BC O x y O x y 理科数学试题 第 3 页（共 10 页） 边上的一个动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 3 ，则该三棱锥外接球的 表面积为_ 16.对于函数( )yf x，若在其定义域内存在 0 x，使得 00 ()1x f x成立，则称函数( )f x具有 性质 P. （1）下列函数中具有性质 P 的有 ； ( )22 2f xx ( )sinf xx(0,2 )x 1 ( )f xx x ，(0,)x （2）若函数 具有性质 P，则实数a的取值范围是 .
8、 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共一）必考题：共 60 分。分。 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ，且 1 222, n nn aannN (1)求证：数列 2 n n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； (2)求数列 n a的前n项和 n S. 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四边形ABCD中， 2 3 B，3AB ，ABC的面积为 3 3 4 （1
9、）求AC； （2）若BCCD， 4 D，求AD 19 （本小题满分 12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”其中一款 新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按 1 元/ 公里计费；行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按 0.20元/分计费已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一 次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t(分)是一个随机变量现统 D B C A ( )lnf xax 理科数学试题 第 4 页（共 10 页） 计了50次路上开车花费时间，在各时间段内
10、的频数分布情况如下表所示： 时间t（分） 20,30 30,40 40,50 50,60 频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 20,60分 （1）写出王先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式； （2） 若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示 3 次租用新能源分时租 赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望. 20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形， PA平面ABCD， 2AB， 60ABC， E， F分别是BC， PC的中点.
11、 （1）证明： AEPD； （2）设H为线段PD上的动点， 若线段EH长的最小值为5， 求二面角EAFC 的余弦值. 21.（本小题满分 12 分） 已知 2 ( )ln() x f xexa，(0)a . （1）当1,0ax时，求证： 2 ( )(1)f xxx； （2）若存在 0 0x ，使得 2 000 ()2ln()f xxax成立，求实数a的取值范围. 理科数学试题 第 5 页（共 10 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 已知曲线 1 C
12、的参数方程为 2cos 3sin x y (为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin()1 4 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）射线() 2 OM ：与曲线 1 C交于点 M，射线 4 ON ：与曲线 2 C 交于点 N，求 22 11 OMON 的取值范围 23选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 设函数 3 ( )22(0)f xxaxa a （1）若 ( )(0)g af ，解不等式 ( )5g a ； （2）求证：( )2 3f x 高三五校联考理科数学答案 15 D
13、C B A B 610 B B C A D 1112 C A 13. 1 14 12 1 15、57 16.（1）， （2）0aae 或 17. （本小题满分 12 分） (1)证明：因为 an2an12n，所以an 2n 2an12n 2n an 1 2n 11， 即an 2n an1 2n 113 分 所以数列 an 2n 是等差数列，且公差 d1，其首项a1 21 1 2，所以 an 2n 1 2(n1) 1n 1 2， 解得 an n1 2 2n(2n1)2n 1 6 分 (2
14、)Sn1 203 215 22(2n1) 2n 1， 2Sn1 213 225 23(2n3) 2n 1(2n1) 2n， 理科数学试题 第 6 页（共 10 页） ，得Sn1 202 212 222 2n 1(2n1)2n 1 2n 1 12 (2n1)2n(32n)2n3. 所以 Sn(2n3)2n3 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）由 13 3 sin 24 AB BCB， 2 3 B，得3BC 3 分 因为3AB ，所以由余弦定理 22 2 2cos3 3 ACABC
15、BAB CB 6 分 （2）由（1）知 6 ACB，因为BCCD，所以 3 ACD 在ACD中，由正弦定理得 sinsin ACAD DACD ，所以 3 6 2 AD 12 分 19.（本小题满分 12 分） （1）当时， 当时，. 得： 6 分 （2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 7 分 可取 ， ， ， . 8 分 ， ， 的分布列为 10 分 D B C A
16、理科数学试题 第 7 页（共 10 页） 或依题意， 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解析： （1）证明：四边形ABCD为菱形， 60ABC， ABC为正三角形.又E为BC的中点， AEBC.又/ /BCAD，因此AEAD. PA平面ABCD， AE 平面ABCD， PAAE.而PA平面PAD， AD平面PAD且PAADA， AE 平面PAD.又PD平面PAD， AEPD. &
17、nbsp; 4 分 （2）如图， H为PD上任意一点，连接AH， EH. 当线段EH长的最小时， EHPD，由（1）知AEPD， PD 平面AEH， AH 平面AEH，故AHPD. 在Rt EAH中， 3AE ， 5EH ， EAAH，2AH ， 由Rt PAD中， 2AD， 45PDA，2PA.6 分 由（1）知AE， AD， AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，又E， F分别是BC， PC的中点，可得0,0,0A， 3, 1,0B， 3,1,0C， 0,2,0D，0,0,2P， 3,0,0E， 3 1 ,1 22 F ， 所 以 3,0,0
18、AE ， 3 1 ,1 22 AF .设平面AEF的一法向量为 111 ,nx y z，则 0, 0, n AE n AF 因此 理科数学试题 第 8 页（共 10 页） 1 111 30 31 0 22 x xyz ，取 1 1z ，则0,2, 1n ，8 分 因为BDAC， BDPA， PAACA，所以BD 平面AFC， 故BD为平面AFC的一法向量.又 3,3,0BD ，10 分 所以cos,n BD m BD mBD 2 315 5512 .二面角EAFC为锐角，故所求二 面角的余弦值为 15 5 12 分 21 （本小题满分 12 分） （1）设， ， 由( )0Fx故( )F x增
19、且( )(0)0F xF，所以，在上递增， 所以 4 分 （2）即0，在0 ，上有解 则， 所以在上单调递增，6 分 （） 当时，在上为单调递增函数， 故， 所以：.8 分 （）当时， 设 理科数学试题 第 9 页（共 10 页） 所以：在上为单调递增函数，所以： 当时，恒成立，不合题意 综上所述： 12 分 22（本
20、小题满分 10 分） 解：（1）由曲线 1 C的参数方程 2cos 3sin x y (为参数)得： 22 22 cossin1 23 xy ，即曲线 1 C的普通方程为 22 1 23 xy 又cos ,sinxy， 曲线 1 C的极坐标方程为 2222 3cos2sin6，即 222 cos26 .3 分 曲线 2 C的极坐标方程可化为sincos2， 故曲线 2 C的直角方程为20xy 5 分 （2）由已知，设点M和点N的极坐标分别为 1 (, ) ， 2
21、(,) 4 ，其中 2 则 2 2 1 2 6 cos2 OM ， 2 2 2 2 2 11 cos sin () 2 ON 于是 22 2 22 11cos27cos2 cos 66 OMON 由 2 ，得1 cos0 故 22 11 OMON 的取值范围是 1 3 () 3 2 ， 10 分 23 （本小题满分 12 分） 解：（1）因为 0a ，所以 33 ( )(0)225g afaa aa ， 即 3 , 2 a或10a 故不等式( )5g a 的解集为 3 ,10 2 a aa 或 4 分 （2）由已知得： 理科数学试题 第 10 页（共 10 页） 3 32,2 333 ( )222,2 2 33 32, 2 xaxa a f xxaxxaax aaa xax aa 所以 ( )f x在 3 2a ，- 上递减，在 3 , 2a 递增 即 min 333 ( )()22 ( 2 )()2 3 222 f xfaa aaa 所以( )2 3f x 10 分
