1、高二数学（理科）试题第 1 页（共 14 页） 遂宁市高中 2022 届第三学期教学水平监测 数学（理 科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、 选择题： 本
2、大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1经过点(0,3)且倾斜角为0的直线方程为 A3x B 3y C 3yx D 23yx 2圆心为( 3,4) ，半径是2的圆标准方程为 A 22 (3)(4)4xy B 22 (3)(4)4xy C 22 (3)(4)2xy D 22 (3)(4)2xy 3若直线 1: 260laxy与直线 2 2: (1)10lxaya平行， 则a的值为 A2a 或1a B2a C2a 或1a D1a 4下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是 高二数学（理科）试题第 2 页（共 14
3、 页） A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数。 B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数。 C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数。 D甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差。 5设m，n是不同的直线，是三个不同的平面，有以下四 个命题，其中正确命题的序号是 若m，n，/ /，则/mn； 若m，n，/mn，则/ /； 若，则/ /. 若/ /，/ /，m，则m； A B C D 6某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色黄 色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色 紫色两种颜色的毛线编织的概率是 A 1 3 B 1 4 C 1 2 D 3 4 7
4、设xy、满足 24 1 22 xy xy xy ，则Zxy的最小值是 A-7 B2 C3 D-5 8下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是 高二数学（理科）试题第 3 页（共 14 页） A4 3 B62 3 C12 D42 3 9执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 126，则判断框内的条件 可以为 A5n B6n C7n D8n 10 已知直线3360 xy的倾斜角为， 在长方 1111 ABCDABC D 中， 1 1,ABBCAC与平面 11 BCC B所成的角为，若， 则该长方体的体积为 A 2 B2 C6 2 D8 2 11直线10 xy 与直线240 xy交于点P，
5、则点P到直线 120()kxykkR 的最大距离为 A2 B2 C2 5 D4 12已知正方体 1111 ABCDABC D内切球的表面积为，P是空间中 任意一点： 若点P在线段 1 AD上运动，则始终有 11 C PCB； 若M是棱 11 C D中点，则直线AM与 1 CC是相交直线； 若点P在线段 1 AD上运动，三棱锥 1 DBPC体积为定值； 高二数学（理科）试题第 4 页（共 14 页） E为AD中点，过点 1, B且与平面 1 ABE平行的正方体的截面面 积为 6 2 若点P在线段 1 AB上运动，则 1 APPD的最小值为22 以上命题为真命题的个数为 A2 B3 C4 D5 第
6、卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知直线 12 :20,:230lxylxay，若 12 ll，则实数 a 14某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,.,50随机编号，若采用 系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样） ，已知编号为 4, ,24, ,44ab号学生在样本中，则ab 15在区间 1 1 , 2 2 上任取一个数 k，使直线(3)yk x与圆 22 1xy相交的概率
7、为 16过圆 222 :(1)(1)(0)Mxya a的圆心M作曲线 222 :22(2)2430N xytxtytt的切线，切点分别为 ,P Q,则MPMQ的最小值为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题 10 分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示， 高二数学（理科）试题第 5 页（共 14 页） 在正方体中，设BC的中点为MGH，的中点为 N。 （1） 请将字母FGH， ，标记在正方体相应的顶点处 （不需说明理由） ； （2）证明：直线/ /MN平面BDH. 18 （本小题 12 分） 已知函数 1 ( )3 x f
8、xa 与直线l均过定点A， 且直线l在 , x y轴上 的截距依次为m和n。 （1）若直线l在 , x y轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于,B C两点，求直 线与两坐标轴正半轴围成三角形COB面积最小时直线l的方 程. 19 （本小题 12 分） 2019 年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10 月份全国居 民消费指数（CPI）同比上涨3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为 推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居 民对猪肉市场的信心程度，对当地 100 名居民在未来一段时间内猪肉价 格上涨幅度的心理预期值进行了一个
9、抽样调查，得到如图所示的频率分 布直方图： 高二数学（理科）试题第 6 页（共 14 页） （1） 求频率分布直方图中 a 的值， 并求猪肉价格上涨幅度的中位数； （2）将猪肉价格上涨幅度预期值在10,30和90,110的居民分 别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型” ，现采用分层抽样 的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取 6 名，再从这 6 人 中随机抽取 3 名进行跟踪调查，求所抽取的 3 人中有 2 人来自“信心 十足型”的概率. 20 （本小题 12 分） 第十八届中国国际农产品交易会于 11 月 27 日在重庆国际博览中心 开幕，我市全面推广“遂宁红薯”及“遂宁鲜”农产
10、品区域公用品牌， 并组织了 100 家企业、1000 个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品 市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产品的社会认知度和美誉度， 让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁。某记者对本次农交 会进行了跟踪报道和实际调查，对某特产的最满意度%x和对应的销 售额y(万元)进行了调查得到以下数据： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 最满意度%x 22 34 25 20 19 销售额y(万元) 78 90 86 76 75 （1） 求销量额y关于最满意度x的相关系数r； 我们约定： 销量额y 关于最满意度x的相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)是线性
11、相 高二数学（理科）试题第 7 页（共 14 页） 关性较强；否则，线性相关性较弱.请你对线性相关性强弱作出判断，并 给出理由； （2）如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制(即销售额 最少的那一天不作为计算数据)，并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的 销量额y关于最满意度x的线性回归方程（系数精确到 0.1） 。 参 考 数 据 ：24x ，81y ， 5 22 1 5146 i i xx ， 5 22 1 5176 i i yy ， 5 1 5151 ii i x yxy ， 14612.08, 17613.27. 附：对于一组数据 1122 , nn x yxyxy.其回归直线方程
12、 ybxa的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， aybx， 线性相关系数 1 2222 11 n ii i nn ii ii x ynx y r xnxyny 21 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，底面是等腰直角三角形， 90ACB，侧棱 1 2AA ，点,D E F分别为 11 ,CC AB AB的中点， ABD的重心为G，直线EG垂直于平面ABD. （1）求证：直线/ /CF平面 1 ABD； （2）求二面角 1 ABDC的余弦. 高二数学（理科）试题第 8 页（共 14 页）
13、22 （本小题 12 分） 已 知 线 段RQ的 端 点Q的 坐 标 是4,3， 端 点R在 圆 22 (2)(3)16xy上运动，线段RQ中点的轨迹为曲线C. （1）求曲线 C 的方程； （2）直线l经过坐标原点，且不与y轴重合，直线l与曲线C相交于 1122 ( ,),(,)M x yN xy两点，求证： 12 11 xx 为定值. （ 3 ） 已 知 过 点(,3 )P m (0 )m 有 且 只 有 一 条 直 线 与 圆 22 10 xy相切，过点P作两条倾斜角互补的直线与圆 22 10 xy 交于,E F两点，求,E F两点间距离的最大值. 遂宁市高中 2022 届第三学期教学水平
14、监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（512=60 分） 题 号 1234567891 0 1 1 1 2 答 案 BADDCABCBACC 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分） 高二数学（理科）试题第 9 页（共 14 页） 13.2 14.48 15. 2 2 16.7 三、解答题（本大题 70 分） 17 （1）解：点FGH， ，的位置如图所示4 分 （ 2 ） 如 图 ， 连 接BD， 设O为BD的 中 点 ， 连 接 OHOMMNBH，. 因为MN，分别是BCGH，的中点5 分 所以/ /OMCD，且 1 2 OMCD6 分 / /HNCD，且 1
15、 2 HNCD7 分 所以/ /OMHN，OMHN8 分 所 以 四 边 形MNHO是 平 行 四 边 形 ， 从 而 / /MNOH9 分 又MN 平面BDH，OH 平面BDH， 所以/ /MN平面BDH10 分 18 （1）由已知直线l过定点(1,4)A1 分 若截距0mn时，则可设: l ykx2 分 因 为 直 线过 点， 即， 所 以 3 分 若截距不等于零时，则可设:1 xy l mm ，因为直线过点 (1,4)A4 分 所以直线方程为：50 xy5 分 综上，直线的方程为4yx或 50 xy6 分 （2）由题意，设直线:(1)4(0)l yk xk7 分 高二数学（理科）试题第
16、10 页（共 14 页） 令04xyk，令 4 0 k yx k 8 分 则有 2 141(4)116 48(0) 222 kk S COBkkk kkk 10 分 所以当4k 时，三角形面积最小为 811 分 此时直线方程为480 xy12 分 19 （1）由直方图知 0.0050.020.00750.0025201a，解得 0.015a 2分设中位数为x（百分比） ， 经分析中位数x（百 分比）应位于第三组内3 分 故有0.1 0.3(50) 0.020.5x5 分 所 以55x ， 故 猪 肉 价 格 上 涨 幅 度 的 中 位 数 为 55%6 分 （2）由题意，样本中， “信心十足型
17、”型居民有 0.005 20 10010 7 分 “信心不足型”型居民有0.0025 20 1005 人8 分 由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取 4 人， “信心不 足型”居民抽取 2 人.记： “信心十足型”的四位居民分别为： , , ,a b c d； “信心不足型”的两位居民分别为：,A B。从以上 6 人中取 3 人总的事件有 20 个： (),(),(),(),(),(),abcabdacdbcdabAabB (),(),(),(),(),(),(), (),(),(),(),(),(),() acAacBadAadBbcAbcBbdA bdBcdAcdBaAbbABcAB
18、dAB 从 6 人抽取的 3 人中有 2 人来自“信心十足型”的事件有：12 种11 分 高二数学（理科）试题第 11 页（共 14 页） 故概率 123 205 p 12 分 20 （1） 151151 0.94 12.08 13.27146 176 r 3 分 由于0.940.95，所以销量额y 关于最满意度x的相关系数 r的线性相关性较弱5 分 （2）因为0.940.95r ，所以线性相关性较弱，淘汰销售额为75万 元 的 数 据 6分 剔 除 数 据 后 的25.25x， 82.5y 7 分 4 1 22 7834 9025 8620 768446 ii i x y 8 分 44 25
19、.25 82.58332.5xy9 分 22 4 1 222 223425202665 i i x 2 4 25.25 25.252550.254x10 分 所以 84468332.5 1 26652550.25 b ， 82.525.2557.3aybx 11 分 所以线性回归方程为 + 7.35yx 12 分 21 （1）连结 ,DE EF FC，则在三角形 1 A AB中EF为中位线 于是 1 / /EFA A， 1 1 2 EFA A2 分 因为D为 1 CC中点，所以EF平行且等于DC. 所以四边形EFCD为平行四边形， 从而CF/DE4 分 因为DE平面 1 ABD，CF 平面 1
20、 ABD 所以CF/面 1 ABD6 分 （2）在直三棱柱 111 ABCA B C中，底面是等腰直角三角形， 高二数学（理科）试题第 12 页（共 14 页） 2 ACB ，别以 1 ,CA CB CC为, ,x y z轴建立空间直角坐标 系，设CAa，则 1 1 ( ,0,0), (0, ,0),(0,0,1),( ,0,2),(,1),(, ) 2 23 3 3 a aa a A aBaDA aEG7 分 因为EGABD，所以有 0,02EG ABEG ADa 8 分 所以2 2AB 面BDC的法向量(1,0,0)n 9 分 面 1 ABD的法向量( , , )mx y z 则 1 20
21、 20 m DAxz m DByz 取Z=2，得 ( 1,1,2)m 10 分 所以 6 cos, 6 n m n m n m 11 分 结 合 图 象 知 ： 二 面 角 1 AB DC的 余 弦 值 为 ： 6 6 12 分 22 （1）设 00 (,)R xy，RQ中点(,)Gxy，则有 0 0 00 4 24 2 233 2 x x xx yyy y 1 分 由于端点R在圆 22 (2)(3)16xy上运动，将 00 (,)R xy 代入圆方程得到曲 线 C 的方程为 22 (1)4xy3 分 （2） 证明： 由题意知 的斜率存在， 设为， 设直线 的方程为， 高二数学（理科）试题第
22、13 页（共 14 页） 与圆的方程进 行联立， 22 22 (1)230 (1)4 ykx kxx xy 4 分 则 12 2 12 2 2 1 3 1 xx k x x k ，5 分 所以 2 12 1212 2 2 112 1 3 3 1 xx k xxx x k 6 分 （3） 由题意知， 点 P 在圆上， 所以点，直线和直线 的斜率存在，且互为相反数，故可设直线的方程为 ，由消去得 ， 因为在圆 上，所以点的横坐标一定是该方程的 解8 分 故可得， 2 2 61 1 E kk x k 同理， 2 2 61 1 F kk x k 9 分 所以 (1)3(1)3 EFEF EF EFEF yyk xk x k xxxx 2()1 3 EF EF kk xx xx 10 分 高二数学（理科）试题第 14 页（共 14 页） 故 直 线的 斜 率 为 定 值, 设 直 线的 方 程 为 ，则圆的圆心到直线的距离， 所以 11 分 所以当时， max 2 10EF12 分
