1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。有一个选项是符合题目要求的。 1 （5 分）设点(1, 1, 2)A关于坐标原点的对称点是B，则|AB等于( ) A4 B2 3 C2 2 D2 2 （5 分）总体由编号 01，02，29，30 的 30 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从如下随机数表的
2、第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 第 1 行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A27 B26 C25 D24 3 （5 分）已知a，b都是实数，那么2a ”是“方程 22 20 xyxa表示圆”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）同时掷两个骰子，向上的点数之和是 6 的概率是( ) A 1
3、18 B 1 9 C 5 36 D 1 2 5 （5 分）某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取 20 人平均分成同样水 平的两组（甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学） ，一学期以后根据他们的期末成绩 绘制茎叶图，如图所示，则( ) Axx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Bxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Cxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Dxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 6 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ，则异面直线 11 AC与 1 CD 第 2 页（共 22 页） 所成角的余弦值为( ) A 3 4 B 2 2 C 2 4
4、 D 14 4 7 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点为F，过F点倾斜角为30的直线l与C交于A，B 两点(A在B的右侧） ，则 | ( | AF BF ) A9 B15 7 C74 3 D3 8（5 分） 已知圆 222 1: (0)Cxyb b与双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 若在双曲线 2 C， 上存在一点P，使得过点P所作的圆 1 C的两条切线互相垂直，则双曲线 2 C的离心率的取值 范围是( ) A 6 (1, 2 B 6 ,) 2 C(1, 3 D 3,) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，
5、共分，共 20 分。在每小题给出的选项中有多项符分。在每小题给出的选项中有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列有关命题的说法正确的是( ) A若命题pq为真命题，则命题p和命题q至少一个为真 B若命题pq为假命题，则命题p和合题q都是假命题 C命题“若 2 1x ，则1x ”的否命题为“若 2 1x ，则1x ” D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 10 （5 分）某校为了解高二年级 800 名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名 学生最多参
6、加 7 场） ，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如表： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% %m 4% 2% 则以下四个结论中正确的是( ) A表中m的数值为 12 B估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于 2 场的学生约为 144 人 C若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二 800 名学生中抽取容量为 50 的样本，则 分段间隔为 16 D根据上表知，从该校的高二年级的 800 名学生随机抽取 80 人，必有 1 人参加中华传 统文化活动 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）某次数学考试的一道多
7、项选择题，要求是： “在每小题给出的四个选项中，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 ”已知某选择题的正确答案是CD， 且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( ) A甲同学仅随机选一个选项，能得 3 分的概率是 1 2 B乙同学仅随机选两个选项，能得 5 分的概率是 1 6 C丙同学随机选择选项，能得分的概率是 1 5 D丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 1 10 12 （5 分）已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左、右两个焦点分别为 1 F、 2 F，直线(0)yxkk与C 交于A、B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交
8、点为P，则下列结 论正确的是( ) A若 12 60FPF，则 12 FPF的面积为 3 6 B四边形 12 AFBF，可能为矩形 C直线BE的斜率为 1 2 k D若P与A、B两点不重合，则直线PA和PB斜率之积为4 三、填空题： （本大题共三、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置）分。把答案填在答题卡的相应位置） 13 （5 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 14 （5 分）已知命题“xR ， 2 1 0 xax ”为假命题，则a的取值范围是 15 （5 分）如图所示，已知在四面体ABCD中，点M，N分
9、别是棱BC，AD的中点，若 MNxAByACzAD，其中x，y，z为实数，则xyz的值为 16 （5 分）已知关于x的方程 2 |1|xxa （1）若1x 时，方程有解，则实数a的取值范围是 第 4 页（共 22 页） （2）若方程有两解，则实数a的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）设命题p：实数a满足 22 230(0)atatt，命题q：方程： 22 1 62 yx aa 表示焦点在y轴上的椭圆 （1）若1t ，pq为真命题，求a的取值
10、范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数t的取值范围 18 （12 分）为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通 法规定： 机动车行经人行横道时， 应当减速慢行： 遇行人正在通过人行横道， 应当停车让行 如 表是 2020 年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不 “礼让斑马线” 行为， 其中违章情况统计数据如表： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 100 85 80 70 65 （1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程 ybxa； （2）预测该路口 2020 年 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口
11、经过几 个月后“不礼让”的不文明行为可以消失 参考公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx， 1 1115 n ii i x y 19 （12 分）某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了 调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，对视力情况绘制了如图频率分布直方图如图 所示从左至右五个小组的频率之比依次是2:2:3:2:1 （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中随机抽取六名学 生，求抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率
12、 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知(1,0)A，(4,0)B，动点P满足| 2|PBPA，直线:4l yxk （1）求动点P的轨迹方程C； （2）若直线l与C相切，求k的值； （3）若直线l与C相交于M，N两点，0 为坐标原点，OMN的面积为3，求k的值 21 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为 2 的菱形，侧面PAD 底面ABCD，O是AD的中点， 3 DAB （1）证明：BO 面PAD； （2）求二面角APBC的正弦值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，
13、离心率为 2 2 ， M是椭圆上的动点， 12 MFF的最大面积为 1 （1）求椭圆的方程； （2） 求证： 过椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 上的一点 0 (T x， 0) y的切线方程为 00 22 1 xxyy ab ； （3）设点P是直线:2l x 上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B， 则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题
14、共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。有一个选项是符合题目要求的。 1 （5 分）设点(1, 1, 2)A关于坐标原点的对称点是B，则|AB等于( ) A4 B2 3 C2 2 D2 【解答】解：因为点(1, 1, 2)A关于坐标原点的对称点是( 1B ，1，2)， 故 222 1( 1)( 1 1) 2(2)4AB 故选：A 2 （5 分）总体由编号 01，02，29，30 的 30 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从如下随机数表的第 1 行的第 6 列
15、和第 7 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 第 1 行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A27 B26 C25 D24 【解答】 解： 从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字开始 向右读， 第一个数为 23，符合条件， 第二个数为 20，符合条件， 第三个数为 80，不符合条件， 以下符合条件依次为：26，24，25， 故第 5 个数为 25
16、故选：C 3 （5 分）已知a，b都是实数，那么2a ”是“方程 22 20 xyxa表示圆”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：因为 2222 2(1)10 xyxaxya ， 所以10a即1a ， 由2a 能推出1a ，反之不成立， 故“2a ”是“方程 22 20 xyxa表示圆”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）同时掷两个骰子，向上的点数之和是 6 的概率是( ) A 1 18 B 1 9 C 5 36 D 1 2 【解答】解：同时掷两枚骰子， 基本事件总数6636n ， 向上的点数和是 6
17、包含的基本事件有： (1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)， 共有 5 个， 向上的点数和是 6 的概率为 5 36 p 故选：C 5 （5 分）某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取 20 人平均分成同样水 平的两组（甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学） ，一学期以后根据他们的期末成绩 绘制茎叶图，如图所示，则( ) Axx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Bxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Cxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 Dxx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 【解答】解：根据茎叶图知，甲的平均数为 1 125131 13213313413513713814
18、1 144135 10 x 甲 ， 乙的平均数为： 1 113118121 123126129131 132135142127 10 x 乙 ， 甲的方差为： 22222222222 1 ( 10)( 4)( 3)( 2)1)0236926 10 s 甲 ， 第 8 页（共 22 页） 乙的方差为： 22222222222 1 ( 14)( 9)( 6)( 4)1)24581566.4 10 s 乙 所以xx 乙甲 ， 22 ss 乙甲 故选：B 6 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ，则异面直线 11 AC与 1 CD 所成角的余弦值为( ) A
19、3 4 B 2 2 C 2 4 D 14 4 【解答】解：连接 11 B D交 11 AC于点O，连接 1 AB， 1 BC，OB， 如图所示：， 1/ / ADBC，且 1 ADBC，四边形 11 ABCD为平行四边形， 11 / /CDAB， 异面直线 11 AC与 1 CD所成角为 11 BAC， 在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ， 1 2AB， 1 2BC ， 11 2AC ， 又O为 11 AC的中点， 11 BOAC， 111 12 22 AOAC， 在Rt 1 AOB中， 1 1 1 2 cos 4 AO OAB AB ， 异面直线 11 AC
20、与 1 CD所成角的余弦值为 2 4 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点为F，过F点倾斜角为30的直线l与C交于A，B 第 9 页（共 22 页） 两点(A在B的右侧） ，则 | ( | AF BF ) A9 B15 7 C74 3 D3 【解答】解：由已知抛物线的方程可得：(0,1)F，且直线l的斜率为 3 tan30 3 k， 所以直线l的方程为： 3 1 3 yx，即3(1)xy， 代入抛物线方程可得： 2 31030yy，解得 1 3, 3 AB yy， 所以由抛物线的定义可得：|314 2 A p AFy ， 14 |1 233 B p BFy ， 所以 |4
21、 3 4 | 3 AF BF ， 故选：D 8（5 分） 已知圆 222 1: (0)Cxyb b与双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 若在双曲线 2 C， 上存在一点P，使得过点P所作的圆 1 C的两条切线互相垂直，则双曲线 2 C的离心率的取值 范围是( ) A 6 (1, 2 B 6 ,) 2 C(1, 3 D 3,) 【解答】解：设过点P所作的圆 1 C的两条切线的切点分别为A，B，则PAPB， 四边形PAOB为正方形， |2OPb， 设 222 P xma，)，则 222 2 P ybm， 将点P的坐标代入双曲线的方程中，有 222 22 2 1 mbm
22、ab ， 第 10 页（共 22 页） 22222 22 222 33()a baca ma abc ，解得 2 2 3 2 c a ， 离心率 6 2 c e a ， 双曲线 2 C的离心率的取值范围是 6 2 ，) 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中有多项符分。在每小题给出的选项中有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列有关命题的说法正确的是( ) A若命题pq为真命题
23、，则命题p和命题q至少一个为真 B若命题pq为假命题，则命题p和合题q都是假命题 C命题“若 2 1x ，则1x ”的否命题为“若 2 1x ，则1x ” D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 【解答】解：选项A：由pq命题的真假判断即可判断A正确， 选项B：若pq为假命题，则命题p，q可以一真一假，B错误， 选项C：命题“若 2 1x ，则1x ”的否命题为“若 2 1,x 则1x ” ， C错误， 选项D： 因为命题 “若xy， 则s i ns i nxy” 为真命题， 所以命题的逆否命题也为真命题， D正确， 故选：AD 10 （5 分）某校为了解高二年级 800 名学
24、生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名 学生最多参加 7 场） ，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如表： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% %m 4% 2% 则以下四个结论中正确的是( ) A表中m的数值为 12 B估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于 2 场的学生约为 144 人 C若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二 800 名学生中抽取容量为 50 的样本，则 分段间隔为 16 D根据上表知，从该校的高二年级的 800 名学生随机抽取 80 人，必有 1 人参加中华传 统文化活动 第 11
25、页（共 22 页） 【解答】解：对于A，由统计表得： 8%10%20%26%18%4%2%100%m， 解得12m ，故A正确； 对 于B， 计 该 年 级 参 加 中 华 传 统 文 化 活 动 场 数 不 高 于 2 场 的 学 生 约 为 ： 800 (8%10%20%)304人，故B错误； 对于C，若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二 800 名学生中抽取容量为 50 的样本， 则分段间隔为： 800 16 50 ，故C正确； 对于D，从该校的高二年级的 800 名学生随机抽取 80 人，不一定有 1 人参加中华传统文化 活动，故D错误 故选：AC 11 （5 分）某次数学考试的一道
26、多项选择题，要求是： “在每小题给出的四个选项中，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 ”已知某选择题的正确答案是CD， 且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( ) A甲同学仅随机选一个选项，能得 3 分的概率是 1 2 B乙同学仅随机选两个选项，能得 5 分的概率是 1 6 C丙同学随机选择选项，能得分的概率是 1 5 D丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 1 10 【解答】解：在每小题给出的四个选项中，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错 的得 0 分 已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做， 对于A，
27、甲同学仅随机选一个选项，能得 3 分的概率是 1 2 1 4 1 2 C P C ，故A正确； 对于B，乙同学仅随机选两个选项，能得 5 分的概率是 2 2 2 4 1 6 C P C ，故B正确； 对于C，丙同学随机选择选项，能得分的概率是 12 22 1234 4444 1 5 CC P CCCC ，故C正确； 对于D， 丁同学随机至少选择两个选项， 能得分的概率是 2 2 234 444 1 11 C P CCC ， 故D错误 第 12 页（共 22 页） 故选：ABC 12 （5 分）已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左、右两个焦点分别为 1 F、 2 F，直线(0)yxkk与C
28、交于A、B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结 论正确的是( ) A若 12 60FPF，则 12 FPF的面积为 3 6 B四边形 12 AFBF，可能为矩形 C直线BE的斜率为 1 2 k D若P与A、B两点不重合，则直线PA和PB斜率之积为4 【解答】解：由椭圆 2 2 :1 4 x Cy，得2a ，1b ，3c ， 在 12 PFF中，由余弦定理可得， 222 121212 |2|cos60FFPFPFPFPF， 即 22 12 443|caPFPF，解得 12 4 | 3 PFPF ， 12 1433 2323 F PF S，故A错误； 若四边形 12
29、 AFBF为矩形，则 11 AFBF，即 11 0F A F B， 即()()0 ABAB xc xcy y， 联立 2 2 1 4 yx x y k ，得 22 (41)4xk， 得0 AB xx， 2 4 41 AB x x k ， 2 2 4 41 AB y y k k ， 即 2 22 44 30 4141 k kk ，得 2 810 k，该方程有实根，故B正确； 由 22 (41)4xk，得 2 1 2 41 x k ，由对称性，不妨设0k， 得 2 1 (2 41 A k ， 2 2 ) 41 k k ， 2 1 ( 2 41 B k ， 2 2 ) 41 k k ， 则 2 1
30、(2 41 E k ，0)，则 2 2 2 41 4 2 41 BE k k k k k ，故C正确； APBPBP PA APBPBP yyyyyy xxxxxx k， 第 13 页（共 22 页） BE所在直线方程为 2 2 () 2 41 yx k k ，与椭圆 2 2 1 4 x y联立， 可得 222 2 2 ()40 41 xx k k ， 即 22 22 2 2 44 (1)40 41 41 xx kk k k k 得 2 2 2 14 1 41 BP xx k k k ， 2 2 2222 1442 () 21 4141(1) 41 BP yy kkk k kkkk ， 故 1
31、 2 PA k k ，则 11 224 PAPB k kk k ，故D错误 故选：BC 三、填空题： （本大题共三、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置）分。把答案填在答题卡的相应位置） 13 （5 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 2yx 【解答】解：双曲线标准方程为 2 2 1 4 y x ， 其渐近线方程是 2 2 0 4 y x ， 整理得2yx 故答案为2yx 14 （5 分）已知命题“xR ， 2 1 0 xax ”为假命题，则a的取值范围是 ( 2,2) 【解答】解： 命题“xR ， 2 1
32、0 xax ”为假命题则命题“xR ， 2 10 xax ” 为真命题故方程 2 10 xax 的 2 40a解得：22a 故a的取值范围是：( 2,2) 故答案为：( 2,2) 第 14 页（共 22 页） 15 （5 分）如图所示，已知在四面体ABCD中，点M，N分别是棱BC，AD的中点，若 MNxAByACzAD，其中x，y，z为实数，则xyz的值为 1 2 【解答】解：由题意，可得 11 () 22 MNANAMADABAC 111 222 ABACADxAByACzAD ， 所以 1 2 xy ， 1 2 z ， 所以 1111 2222 xyz ， 故答案为： 1 2 16 （5
33、分）已知关于x的方程 2 |1|xxa （1）若1x 时，方程有解，则实数a的取值范围是 (1,) （2）若方程有两解，则实数a的取值范围是 【解答】解：令 2 |1|yx， 当 2 1 0 x ，即1x或1x时， 2 1yx， 整理可得 22 1(0)xyy， 此时 2 |1|yx表示的图象是双曲线x轴的上方部分， 当 2 10 x ，即11x 时， 2 1yx， 整理可得 22 1(0)xyy， 此时 2 |1|yx表示的图象是以原点为圆心，1 为半径的圆的上半部分， 则可画出 2 |1|yx的图象如图所示， （1）当1x 时，方程有解，即 2 |1|yx与yxa 在1x 的部分有交点，
34、第 15 页（共 22 页） 当直线yxa 经过点(1,0)B时，1a ， 则观察图象可得1a ； （2）若方程有两解，即 2 |1|yx与yxa 的图象有 2 个交点， 可知yxa 与双曲线的一条渐近线yx 平行，且yx 与函数只有 1 个交点， 当直线yxa 经过点( 1,0)A 时，1a ，此时有 1 个交点， 则观察图象可得，当直线yxa 在yx 和1yx 之间时，有 2 个交点，满足题意， 此时10a ， 当直线yxa 过点(1,0)B时，有 2 个交点，满足题意，此时1a ， 当直线yxa 与圆的一部分相切于点C时，有 2 个交点，满足题意， 此时 | 1 2 a ，解得2a （舍
35、负） ， 综上可得，实数a的取值范围是 ( 1, 0)12 故答案为： （1）(1,)； （2） ( 1, 0)12 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）设命题p：实数a满足 22 230(0)atatt，命题q：方程： 22 1 62 yx aa 表示焦点在y轴上的椭圆 （1）若1t ，pq为真命题，求a的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）当1t 时，: 13pa ， 由方程 22 1 26 xy aa
36、 表示焦点在y轴上的椭圆，得620aa， :24qa， 第 16 页（共 22 页） pq为真命题，则 13 24 a a ， 故a的取值范围是： |23aa； （2）由 22 230(0)atatt，得(3 )()0(0)at att，即:3ptat ， 若q是p的充分不必要条件，则(2，4)( t，3 ) t， 则 34 2 t t ，且不能同时取等， 4 3 t 故实数t的取值范围是： 4 | 3 t t 18 （12 分）为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通 法规定： 机动车行经人行横道时， 应当减速慢行： 遇行人正在通过人行横道， 应当停车让行 如 表
37、是 2020 年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不 “礼让斑马线” 行为， 其中违章情况统计数据如表： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 100 85 80 70 65 （1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程 ybxa； （2）预测该路口 2020 年 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几 个月后“不礼让”的不文明行为可以消失 参考公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx， 1 1115 n ii i x y 【解答】解： （1）由表中数据知，3x ，80y ， 1 22 1
38、 11151200 8.5 5545 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 即 105.5aybx， 所求回归直线方程为 . 8.5105.5yx ； （2）令9x ，则8.5 9105.529y 人 令8.5105.50 x，得12.4x ， 第 17 页（共 22 页） 故预测该路口 9 月份的不 “礼让斑马线” 违章驾驶员人数为 29， 估计经过 13 个月 “不礼让” 的不文明行为可以消失 19 （12 分）某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了 调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，对视力情况绘制了如图频率分布直方图如图 所示从
39、左至右五个小组的频率之比依次是2:2:3:2:1 （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中随机抽取六名学 生，求抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率 【解答】解： （1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是2:2:3:2:1， 故直方图中从左到右各组频率依次为 0.2，0.2，0.3，0.2，0.1， 故1x （2）设该校学生视力平均值为x， 则0.30.20.50.20.70.30.90.21.1 0.10.66x （3） 由第 3 组至第 5 组的频率比为3:2:1得， 从第 3 组抽取的人数为
40、3 人， 记为 1 a， 2 a， 3 a， 从第 4 组抽取的人数为 2 人，记为 1 b， 2 b；从第 5 组抽取的人数为 1 人，记为 1 c， 随机抽取两名学生的情况有 15 种，分别为： 1 (a， 2) a， 1 (a， 3) a， 1 (a， 1) b， 1 (a， 2) b， 1 (a， 1) c， 2 (a， 3) a， 2 (a， 1) b， 2 (a， 2) b， 2 (a， 1) c， 3 (a， 1) b， 3 (a， 2) b， 3 (a， 1) c， 1 (b， 2) b， 1 (b， 1) c， 2 (b， 1) c， 其中视力不低于 0.8 的有 1 (b，
41、 2) b， 1 (b， 1) c， 2 (b， 1) c共 3 种， 故从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中随机抽取六名学生， 抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率为 31 155 P 20 （12 分）已知(1,0)A，(4,0)B，动点P满足| 2|PBPA，直线:4l yxk （1）求动点P的轨迹方程C； 第 18 页（共 22 页） （2）若直线l与C相切，求k的值； （3）若直线l与C相交于M，N两点，0 为坐标原点，OMN的面积为3，求k的值 【解答】解： （1）设( , )p x y， 则 2222 |(1),|(4)PAxyPBxy， 2222 2 (1
42、)(4)xyxy， 2222 4(1)(4)xyxy， 22 4xy （2） ：:4 0l x y k， 直线l与C相切， 2 4 2 1 k ，解得3 k （3） 11 | | sin2 2 sin3 22 MON SOMONMONMNN ， 3 sin 2 MON， (0, )MON， 3 MON 或 2 3 ， 圆心O到直线l的距离为3或 1， 由 2 4 3 1 k 得 39 3 k，由 2 4 1 1 k ，得15 k， 39 . 3 k或15 k 第 19 页（共 22 页） 21 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为 2 的菱形，侧面P
43、AD 底面ABCD，O是AD的中点， 3 DAB （1）证明：BO 面PAD； （2）求二面角APBC的正弦值 【解答】 （1）证明：连结BD，底面ABCD是菱形， 3 DAB ， 则ABD为等边三角形， （1 分） OBAD（2 分） 又面PAD 面ABCD， 面PAD面ABCDAD，OB 面ABCD， OB面PAD（5 分） （2）解：连结PO，PAD是等边三角形，O是AD的中点，则POAD， （6 分） 由（1）得POOB， （7 分） 如图建立空间直角坐标系xOy， 则(1,0,0), (0, 3,0), (0,0, 3),( 2, 3,0)ABPC ，( 1, 3,0),( 1,0,
44、 3)ABAP ， 设面ABP的法向量为( , , )nx y z， 由 0 0 AB n AP n 得 30 30 xy xz ，令3x ，得( 3,1,1)n （9 分） 面BPC的一个法向量为(0,1,1)m ， （10 分） 第 20 页（共 22 页） 210 cos, 552 n m （11 分） 二面角APBC的正弦值为 15 5 （12 分） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 2 2 ， M是椭圆上的动点， 12 MFF的最大面积为 1 （1）求椭圆的方程； （2） 求证： 过椭圆 22 22
45、:1(0) xy ab ab 上的一点 0 (T x， 0) y的切线方程为 00 22 1 xxyy ab ； （3）设点P是直线:2l x 上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B， 则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由 【解答】 （1）解： M yb， 1 2 12 11 | |2 22 MF FM SFFyc bbc， 即| M yb时， 1 2 ()1 MF Fmax Sbc， （1 分） 2 2 c e a ， 1 1 2 b c a ， （3 分） 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （4 分） （2）证明： （方法一） ：由 2 2 0
46、0 1 2 1 2 x y x x y y 得 2222 0000 (2)4440(*)yxxx xy（6 分） 点 0 (x， 0) y在椭圆上， 2 20 0 1 2 x y， 22 00 22xy 22 00 2420 xx xx 2 0 2()0 xx， 得 0. xx则直线和椭圆仅有一个公共点， 第 21 页（共 22 页） l为椭圆的公切线 （8 分） （方法二） ：由 22 22 00 22 1 1 xy ab x xy y ab 得 22222222442 0000 ()20(*)a yb xxa b x xb aa y（6 分） 点 0 (x， 0) y在椭圆上， 22 00
47、 22 1(0) xy ab ab ， 222222 00 b xa ya b， 22222222 00 20a b xa b xxa b x， 2222 00 (2)0a bxxxx， 222 0 ()0a bxx，得 0 xx 则直线和椭圆仅有一个公共点l为椭圆的公切线 （8 分） （方法三）由 22 22 00 22 1 1 xy ab x xy y ab ， 得 22222222442 0000 ()20(*)a yb xxa b x xb aa y（6 分） 点 0 (x， 0) y在椭圆上， 22 00 22 1(0) xy ab ab ， 222222 00 b xa ya b，
48、 (*)可化为： 22222222 00 20a b xa b xxa b x， 22 0a b ， 22222222 00 (2)40a b xa ba b x， 方程组仅有一解则直线和椭圆仅有一个公共点 l为椭圆的公切线（8 分） （方法四） ：由 2 2 0 0 1 2 1 2 x y x x y y 得 2222 0000 (2)4440(*)yxxx xy（6 分） 点 0 (x， 0) y在椭圆上， 2 20 0 1 2 x y， 22 00 22xy， 22 00 2420 xx xx， 第 22 页（共 22 页） 22 00 ( 4)4220 xx ， 方程组仅有一解则直线和
49、椭圆仅有一个公共点 l为椭圆的公切线（8 分） （3）解法一：设(2, )Pt，切点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则切线PA，PB的方程分别为 1 1 1 2 x x y y ， 2 2 1 2 x x y y （9 分） P在切线上 11 1xty， 22 1xty， 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y都满足1xty， 直线AB的方程为：1xty（11 分） ， 直线AB过定点(1,0)（12 分） 解法二：设切点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 切线PA，PB的方程分别为 1 1 1 2 x x y y ， 2 2 1 2 x x y y （9 分） P在切线上 11 1xty， 22 1xty， 直线AB过定点(1,0)F， （10 分） 证明如下： 11 11 1 111 AF yy xtyt k， 22 22 1 111 BF yy xtyt k（11 分） AFBF kk， A，F，B三点共线， 故直线过定点F （12 分）
