1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“mN， 2 1mN ”的否定是( ) AmN， 2 1mN BmN， 2 1mN CmN， 2 1mN DmN， 2 1mN 2 （5 分）直线320 xy的倾斜角是( ) A30 B60 C120 D150 3 （5 分）两平行直线 1: 20la
2、xy， 2:2 30lxy之间的距离是( ) A 5 5 B5 C1 D5 4 （5 分）已知l，m为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A若/ /l，m，则/ /lm B若/ /l，/ /m，则/ /lm C若l，/ /m，则1/ /m D若/ /l，/ /l，m，则/ /lm 5 （5 分）月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆已知近地点距离（月心 到地心的最小距离）约为 36.4 万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为 40.6 万 公里，据此可估算月球轨道的离心率为( ) A 3 29 B 26 29 C 3 55 D 52 55 6 （5 分）
3、“1k”是“两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）若A，B是抛物线 2 :4C yx上的两个动点，满足| 8AB ，则线段AB的中点M 到抛物线C的准线l的距离的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 8 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点O为底面ABCD的中心，点P在 侧面 11 BBC C的边界及其内部运动若 1 DOOP，则 11 DC P面积的最大值为( ) 第 2 页（共 22 页） A 2 5 5 B 4 5 5 C5 D2 5
4、 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中有多项符合题目在每小题给出的选项中有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知M是椭圆 22 :1 84 xy C上一点， 1 F， 2 F是其左、右焦点，则下列选项中正 确的是( ) A椭圆的焦距为 2 B椭圆的离心率 2 2 e C 12 | 2 2MFMF D 12 MFF的面积的最大值是 4 10 （5 分）平面与平面平行的条件可以是( ) A内有无数条直线都
5、与平行 B内的任何直线都与平行 C两条相交直线同时与，平行 D两条异面直线同时与，平行 11 （5 分）设有一组圆 22 :()()4()CxyR k kkk，下列命题正确的是( ) A不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上 B存在圆Ck经过点(3,0) C存在定直线始终与圆Ck相切 D若圆Ck上总存在两点到原点的距离为 1，则 2 3 2 (,) 22 k 12 （5 分）佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异， 香囊常用丝布做成各种不同的形状， 形形色色， 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABCD由六个边长为 1 的正三角形构成将它沿
6、虚线折起来，可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) 第 3 页（共 22 页） AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 C存在内切球，其表面积为 8 27 D存在外接球，其体积为 8 6 27 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）双曲线 22 916144yx的渐近线方程为 14 （5 分）抛物线 2 (ymx m为常数）过点( 1,1)，则抛物线的焦点坐标为 15 （5 分）空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为60，连接各边中点所得四 边形的面积是 16（5
7、分） 2020 年 11 月， 我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器， 探测器在进入近圆形的环月轨道后， 将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体 分离我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在(4000 7A，0)处以 12/m sk的速度匀速直线飞向距月心2000 mk的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着 陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18/m sk的速度匀速直线飞至 (0,3000)B，这一过程最少用时 s 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD且1ABAD，2CD 现选择 第 4 页（共 22 页） 梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积 18 （12 分）如图，四面体ABCD中，BCCD，90BCD，AD 平面BCDM为AD 中点，P为BM中点，点Q在线段AC上，且3AQQC （1）求证：/ /PQ平面BCD； （2）若ADDC，N是CD的中点，求证：NQ 平面ABC 19 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知四点(0,1)A，(3,0)B，(1,4)C，(0,3)D （1）这四点是否在同一个圆
9、上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由 （2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点(1,0)F，且与直线:1l x 相切，设圆 心P的轨迹是曲线C （1）求曲线C的方程； （2）已知(2,0)M，( 2,1)N ，过点M的直线交曲线C于点A，(B A位于x轴下方） ，AB中 点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切 21 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是棱AB，BC上 的动点，且AEBF （1）求证： 11 AFC E； （2）当EF取得最大值时
10、，求二面角 11 EACF的余弦值 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且经过点 3 (1, ) 2 （1）求椭圆的方程； （2） 已知O为坐标原点， 若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆上， 求证： 平行四边形OACB的面积为定值 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题
11、给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“mN， 2 1mN ”的否定是( ) AmN， 2 1mN BmN， 2 1mN CmN， 2 1mN DmN， 2 1mN 【解答】解：命题“mN， 2 1mN ”的否定是“mN， 2 1mN ” 故选：B 2 （5 分）直线320 xy的倾斜角是( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解：320 xy的斜率为 3 3 k，设倾斜角为， 则 3 tan(0) 3 所以倾斜角 5 6 故选：D 3 （5 分）两平行直线 1: 20laxy， 2:2 30lxy之间的
12、距离是( ) A 5 5 B5 C1 D5 【解答】解：两平行直线 1: 20laxy， 2:2 30lxy，则2a ， 即直线 1: 2 20lxy可化为220 xy， 所以两平行直线 1:2 20lxy， 2:2 30lxy之间的距离是 22 |23|5 5 2( 1) 故选：A 4 （5 分）已知l，m为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A若/ /l，m，则/ /lm B若/ /l，/ /m，则/ /lm C若l，/ /m，则1/ /m D若/ /l，/ /l，m，则/ /lm 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：若/ /l，m，则/ /lm或l与m异面，故A错
13、误； 若/ /l，/ /m，则/ /lm，则/ /lm或l与m相交或l与m异面，故B错误； 若l，/ /m，则1/ /m，则/ /lm或l与m相交或l与m异面，故C错误； 若/ /l，过l的平面与相交于a，则/ /la，若/ /l，过l的平面与相交于b，则/ /lb， 则/ /ab， 又m，可得/ /alm，则/ /lm，故D正确 故选：D 5 （5 分）月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆已知近地点距离（月心 到地心的最小距离）约为 36.4 万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为 40.6 万 公里，据此可估算月球轨道的离心率为( ) A 3 29 B 26 29 C
14、3 55 D 52 55 【解答】解：因为月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆， 所以近地点的坐标可设为(,0)a，远地点的坐标设为( ,0)a， 则由题意可得36.4ac， 又236.440.677a ，所以38.5a ，则2.1c ， 故月球轨道的离心率为 2.13 38.555 c e a ， 故选：C 6 （5 分） “1k”是“两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： 当1k时， 直线:0l xy， 点( 1 ,3 )A，(7,5)B到直线分别为 2 |
15、13| 2 1( 1) ， 2 |75| 2 1( 1) ， 故1k”是“两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等”的充分条件； 直线:0lxyk， 根据两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等得 22 |3|75| 11 kk kk ， 解得：1k或 1 3 k， 所以“1k”是“两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等”的不必要条件， 第 8 页（共 22 页） 所以“1k”是“两点(1,3)A，(7,5)B到直线: l yx k的距离相等”的充分不必要条件， 故选：A 7 （5 分）若A，B是抛物线 2 :4C yx上的两
16、个动点，满足| 8AB ，则线段AB的中点M 到抛物线C的准线l的距离的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 【解答】解：由抛物线的方程可得准线的方程为1x ， 由题意可得直线AB的斜率不为 0，设直线AB的方程为：xmyt， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4 xmyt yx ，整理可得： 2 440ymyt， 所以 2 16160mt，所以 2 tm ， 且 12 4yym， 2 1212 ()444xxm yytmt， 所以中点M的横坐标 2 2 M xmt， 所以M到准线的距离 2 121 M dxmt ， 弦长 2222 1212 |1()41
17、1616ABmyyy ymmt， 由题意| 8AB ， 22 811616mmt，可得： 2 2 4 1 tm m ， 所以 22 2 4 2112 44 1 dmtm m ， 当且仅当 2 12m， 所以1m 时，d的最小值为 4 故选：B 8 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点O为底面ABCD的中心，点P在 侧面 11 BBC C的边界及其内部运动若 1 DOOP，则 11 DC P面积的最大值为( ) 第 9 页（共 22 页） A 2 5 5 B 4 5 5 C5 D2 5 【解答】解：如图， 由正方体性质知，当P位于C点时， 1 DOOC， 当P位于
18、 1 BB的中点 1 P时，由已知得， 1 2DD ，2DOBO， 11 1 1BPB P， 11 2 2B D ， 求得 1 426OD ， 1 213OP ， 1 1 813D P 222 111 1 ODOPD P，得 11 ODOP 又 1 OPOCO， 1 DO平面 1 OPC，得到P的轨迹在线段 1 PC上 由 1 11 5C PCP，可知 11 C CP为锐角，而 1 25CC ， 知P到棱 11 C D的最大值为5 则 11 DC P面积的最大值为 1 255 2 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小
19、题给出的选项中有多项符合题目在每小题给出的选项中有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知M是椭圆 22 :1 84 xy C上一点， 1 F， 2 F是其左、右焦点，则下列选项中正 第 10 页（共 22 页） 确的是( ) A椭圆的焦距为 2 B椭圆的离心率 2 2 e C 12 | 2 2MFMF D 12 MFF的面积的最大值是 4 【解答】解：由椭圆的方程可得：2 2a ，2b ，2c ， 所以椭圆的焦距为24c ，故A错误， 离心率为 22 22 2 c e a ，故B正
20、确， 由椭圆的定义可得 12 | 24 2MFMFa，故C错误， 设点( , )M m n， 则三角形 12 MFF的面积 12 11 |4 | 2| 22 SFFnnn ， 当|2nb时，三角形面积取得最大值为 4，故D正确， 故选：BD 10 （5 分）平面与平面平行的条件可以是( ) A内有无数条直线都与平行 B内的任何直线都与平行 C两条相交直线同时与，平行 D两条异面直线同时与，平行 【解答】 解： 当内有无数多条直线与平行时，a与可能平行， 也可能相交， 故不选A 当 直线a，a是平面内任意直线，即a可是内任意两相交直线，/ /a时，满足面面 平行的判定定理，a与平行，故B正确 两
21、条相交直线同时与，平行，即量相交直线所在的面分别与，平行，即/ /， / /，可得/ /，故C正确 两条异面直线同时与，平行，可在空间找一点分别作两异面直线的平行线，则所作的 平行线也分别平行于，可得/ /，故D正确， 故选：BCD 11 （5 分）设有一组圆 22 :()()4()CxyR k kkk，下列命题正确的是( ) A不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上 B存在圆Ck经过点(3,0) 第 11 页（共 22 页） C存在定直线始终与圆Ck相切 D若圆Ck上总存在两点到原点的距离为 1，则 2 3 2 (,) 22 k 【解答】解：根据题意，圆 22 :()()4()CxyR k
22、 kkk，其圆心为( , )k k，半径为 2； 依次分析选项： 对于A，圆心为( , )k k，其圆心在直线yx上，A正确； 对于B，圆 22 :()()4Cxy k kk， 将(3,0)代入圆的方程可得 22 (3)(0)4kk， 化简得 2 2650kk，364040 ，方程无解，B错误； 对于C，存在直线2 2yxx，即2 20 xy或2 20 xy， 圆心( , )k k到直线2 20 xy或2 20 xy的距离2d ， 这两条直线始终与圆Ck相切，C正确， 对于D，若圆Ck上总存在两点到原点的距离为 1， 问题转化为圆 22 1xy与圆Ck有两个交点，则有12 | 3k， 解可得：
23、 3 22 22 k或 23 2 22 k，D错误 故选：AC 12 （5 分）佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异， 香囊常用丝布做成各种不同的形状， 形形色色， 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABCD由六个边长为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 第 12 页（共 22 页） C存在内切球，其表面积为 8 27 D存在外接球，其体积为 8 6 27 【解答】解：折叠后A与C重合，B与G重合， 因为AB与CD是相交直
24、线，故选项A错误，选项B正确； ABD是等边三角形，O为ABD的中心，则 3 3 OAOBOD， 连结OH，则有OH 平面ABD， 在AOH中，由勾股定理可得 6 3 OH ， 由对称性可得， 6 3 OE ， 由于OAOBODOH，所以O不是外接球的球心， 除O点以外的其它点，无法保证到五个顶点(A，B，D，H，)E的距离都相等， 故此六面体无外接球，故选项D错误； 由对称性，O到六个面的距离相等， 故O为六面体内切球的球心， 在HOM中，ON即为内切球的半径， 11 22 HOM SHOOMONHM ， 因为 6 3 OM ， 3 2 HM ， 所以 2222 336 ()() 263 H
25、DHMOM， 所以 633 362 ON， 故 6 9 ON ， 所以 22 68 44() 927 SON， 故选项C正确 故选：BC 第 13 页（共 22 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）双曲线 22 916144yx的渐近线方程为 4 3 yx 【解答】解：把双曲线 22 916144yx化成标准方程为 22 1 169 yx ， 4a且3b ， 双曲线的渐近线方程为 a yx b ，即 4 3 yx 故答案为： 4 3 yx 14 （5 分）抛物线 2 (ymx m为常数）过点( 1,1)，则抛
26、物线的焦点坐标为 1 (,0) 4 【解答】解：抛物线 2 (ymx m为常数）过点( 1,1)， 可得1m ，所以1m ， 抛物线方程为： 2 yx ，所以抛物线的焦点坐标为 1 (,0) 4 故答案为： 1 (,0) 4 15 （5 分）空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为60，连接各边中点所得四 边形的面积是 6 3 【解答】解：如图，空间四边形ABCD中， 两对角线的长AC、BD的长分别为 6 和 8，所成的角为60， 分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HA， 则/ / /EFGHAC，且 1 3 2 EFGHAC， / / /EH
27、GFBD，且 1 4 2 EHGFBD， 60HEF， 第 14 页（共 22 页） 连接各边中点所得四边形的面积是： 1 223 4606 3 2 FEHEFGH SSsin 四边形 故答案为：6 3 16（5 分） 2020 年 11 月， 我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器， 探测器在进入近圆形的环月轨道后， 将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体 分离我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在(4000 7A，0)处以 12/m sk的速度匀速直线飞向距月心2000 mk的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着 陆器和上升器组合体后，轨道器
28、和返回器组合体立即以18/m sk的速度匀速直线飞至 (0,3000)B，这一过程最少用时 8000 9 s 【解答】解：设PBx，PAy， 则由已知可得时间 12 () 181212 3 PBPA txy， 当点P在 1 P时，设(0, )Ca， 则由 11 2 3 PCPB得， 4000 3 a ，即 4000 (0,) 3 C， 当P在 2 P时，此时 2 400010000 ( 2000) 33 PC ， 第 15 页（共 22 页） 22 3 200030005000 2 P BPC， 故时间 121 ()() 181212 312 PBPA txyPCPA， 因为 22 40003
29、2000 ()(4000 7) 33 PCPA CA， 所以 8000 9 min t， 故一过程最少用时 8000 9 s 故答案为： 8000 9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD且1ABAD，2CD 现选择 梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积 【解答】解：选择一： 以AB为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱挖去一个圆锥. 圆柱的体积为 2 1 122V， 圆锥的体积为 2
30、 2 1 1 1 33 V ， 所以几何体的体积为 12 5 2 33 VVV 选择二： 以BC为轴旋转一周，得到的几何体为：大圆锥加上小圆锥挖去一个圆锥 大圆锥的体积为 2 1 12 2 ( 2)2 33 V， 小圆锥挖去一个圆锥的体积为 22 2 121222 ( 2)() 323224 V， 所以几何体的体积为 12 2 2211 2 3412 VVV 选择三： 第 16 页（共 22 页） 以CD为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱加上圆锥 圆柱的体积为 2 1 1 1V ， 圆锥的体积为 2 2 1 1 1 33 V ， 所以几何体的体积为 12 4 33 VVV 选择四： 以AD为轴
31、旋转一周，得到的几何体为：圆台 圆台上底面面积为 2 1 1S， 圆台下底面的面积为 2 2 24S， 所以圆台的体积为 1122 117 ()(24 ) 1 333 VSS SSAD 18 （12 分）如图，四面体ABCD中，BCCD，90BCD，AD 平面BCDM为AD 中点，P为BM中点，点Q在线段AC上，且3AQQC （1）求证：/ /PQ平面BCD； （2）若ADDC，N是CD的中点，求证：NQ 平面ABC 【解答】 证明：（1） 如图， 取BD的中点为E， 在CD上取一点F， 使得3DFFC， 连结EP， FQ，EF， 则由P，E分别为BM，DB的中点， 可得/ /PEDM，且 1
32、 2 PEDM， 第 17 页（共 22 页） 又M为AD的中点，则 1 4 PEAD， 因为3AQQC，3DFFC，所以/ /QFAD，且 1 4 QFAD， 所以/ /PEQF，且PEQF，故四边形EFQP是平行四边形， 所以/ /PQEF， 又PQ 平面BCD，EF 平面BCD， 所以/ /PQ平面BCD （2）设O为AC的中点， 因为AD 平面BCD，BC 平面BCD，所以ADBC， 因为BCCD，CD，AD 平面BCD，CDADD， 所以BC 平面ACD，因为NQ 平面ACD，所以BCNQ， 因为点O为AC的中点，3AQQC，所以点Q为CO的中点， 因为N是CD的中点，所以/ /NQ
33、DO，因为ADDC， 所以ADC是等腰直角三角形，DOAC， 所以NQAC，因为BC 平面ABC，AC 平面ABC，BCACC， 所以NQ 平面ABC 第 18 页（共 22 页） 19 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知四点(0,1)A，(3,0)B，(1,4)C，(0,3)D （1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由 （2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标 【解答】解： （1）设经过A，B，C三点的圆的方程为 222 ()()xaybr， 所以 222 222 222 (0)(1) (3)(0) (1)(4) abr abr aa
34、r ，解得2a ，2b ， 2 5r ， 所以经过A，B，C三点的圆的方程为 22 (2)(2)5xy， 由于 22 (02)(32)5，故点D也在这个圆上， 因此，四点(0,1)A，(3,0)B，(1,4)C，(0,3)D都在圆 22 (2)(2)5xy上 （2）因为|PAPCAC，当且仅当点P在线段AC上时取等号， 同理，|PBPDBD，当且仅当点P在线段BD上时取等号 因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小， 因为直线AC的方程为31yx，直线BD的方程为3yx ， 联立 31 3 yx yx ，解得 1 2 5 2 x y ， 所以点P的坐标为 1 ( 2
35、， 5) 2 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点(1,0)F，且与直线:1l x 相切，设圆 心P的轨迹是曲线C 第 19 页（共 22 页） （1）求曲线C的方程； （2）已知(2,0)M，( 2,1)N ，过点M的直线交曲线C于点A，(B A位于x轴下方） ，AB中 点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切 【解答】 （1）解：根据题意可得，点P到点(1,0)F的距离等于它到直线:1l x 的距离， 故点P的轨迹是以(1,0)F为焦点，直线：1x 为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为 2 4yx； （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x
36、， 2) y， 0 (Q x， 0) y， 设直线AB的方程为2xmy， 由 2 2 4 xmy yx ，可得 2 480ymy， 所以 12 4yym， 因为直线QN与x轴平行， 所以 12 0 21 2 yy ym ， 此时方程为 2 280yy，解得 12 12 14 , 24 xx yy ， 故点(1, 2)A， 所以NA的方程为2(1)yx ，即1yx ， 由 2 1 4 yx yx ，可得 2 440yy，16160， 所以直线NA与曲线C相切 21 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是棱AB，BC上 的动点，且AEBF （1）求证
37、： 11 AFC E； （2）当EF取得最大值时，求二面角 11 EACF的余弦值 第 20 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz， 设AEm，(02)m剟， 则 1(2 A，0，2)，(2Fm，2，0)， 1(0 C，2，2)，(2E，m，0)， 1 (AFm ，2，2)， 1 (2C E ，2m ，2)， 11 22440AF C Emm ， 11 AFC E （2）由（1）得 2222 (2)2442(1)2EFmmmmm， 02m剟，当0m 或2m 时，EF取得最大值为 2， 当0m 时，点E与点A重合，即(2E，0，0)，点F与点B重合，即(
38、2F，2，0)， 11 ( 2AC ，2，0)， 1 (0EA ，0，2)， 1 (0FA ，2，2)， 设平面 11 AC E的一个法向量为(nx，y，) z， 则 1 1 220 20 n ACxy n EAz ，取1x ，得(1n ，1，0)， 设平面 11 AC F的一个法向量(ma，b，) c， 则 11 1 220 220 m ACab m FAbc ，取1a ，得(1m ，1，1)， 设二面角 11 EACF的平面角为， 则 |26 cos | |332 m n mn ， 二面角 11 EACF的余弦值为 6 3 当2m 时，点E与点B重合，点F与点C重合， 同理可得二面角 11
39、 EACF的余弦值为 6 3 综上，当EF取得最大值时，二面角 11 EACF的余弦值为 6 3 第 21 页（共 22 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且经过点 3 (1, ) 2 （1）求椭圆的方程； （2） 已知O为坐标原点， 若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆上， 求证： 平行四边形OACB的面积为定值 【解答】解： （1）由题意可得 2 2 1 1 2 cb e aa ， 22 19 1 4ab ， 解得2a ，3b ，则椭圆的方程为 22 1 43 xy ； （2）证明：设 1 (A x， 1) y，
40、2 (B x， 2) y，则 12 (C xx， 12) yy，且平行四边形OACB的面 积为ABO的面积的 2 倍， 若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为xt，则 12 xxt， 12 yy ， 故(2 ,0)Ct，代入椭圆的方程可得1t ， 则 12 | | 3AByy， 3 2 BAO S，平行四边形OACB的面积为 3； 若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yxmk，与椭圆方程联立， 可得 222 (34)84(3)0 xmxmkk， 则 12 2 8 34 m xx k k ， 2 12 2 4(3) 34 m x x k ， 1212 2 6 ()2 34 m yyxxm k k ， 代入椭圆的方程可得 22 22 86 ()() 3434 1 43 mm k kk ，整理可得 22 344mk， 于是 2 121212 11 | |()4 22 BAO Smxxmxxx x 222 22 48(34)1148 33 | 2342342 mm mm k kk ， 则平行四边形OACB的面积为 3， 第 22 页（共 22 页） 综上可得，平行四边形OACB的面积为定值 3
