1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年海南省高二（上）期末数学试卷学年海南省高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 33Axx ， 2 |340Bx xx，则(AB ) A( 3, 1) B( 3,4) C( 1,3) D( 1,4) 2 （5 分） 5 ( 2 i i ) A2i B22i C2i D22i 3 （5 分）双曲线 22 1 48 xy 的渐近线
2、方程为( ) A 2 2 yx Byx C2yx D2yx 4 （5 分）已知 n a是等差数列，且 4 4a ， 7 10a ，则 10 (a ) A13 B14 C15 D16 5 （5 分）过点(1, 3)，且垂直于直线230 xy的直线方程为( ) A250 xy B210 xy C250 xy D270 xy 6 （5 分）直线10 xy 被圆 22 2210 xyxy 截得的弦长为( ) A2 B2 C1 D 2 2 7 （5 分）已知点(1,0)F，过直线1x 上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段PF的中 垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为( ) A 22 1xy B 22 1xy
3、 C 2 2yx D 2 4yx 8 （5 分）在三棱锥PABC中，2MAPM，3BNNC，则( ) A 113 344 MNPAPBPC B 114 343 MNPAPBPC C 112 363 MNPAPBPC D 112 323 MNPAPBPC 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）满足下列条件的数列 *
4、() n anN是递增数列的为( ) A 1 n a n B 2 n ann C12 n an D21 n n a 第 2 页（共 16 页） 10 （5 分）已知函数( )cos23sin2f xxx，则( ) A( )f x的最小正周期为 B() 6 f x 是奇函数 C当() 6 xZ kk时，( )f x取得最大值 D( )f x在, 3 6 上单调递增 11 （5 分）已知椭圆 22 :1(812) 124 xy Cm mm 的焦距为 4，则( ) A椭圆C的焦点在x轴上 B椭圆C的长轴长是短轴长的3倍 C椭圆C的离心率为 6 3 D椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为62 12 （
5、5 分） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1AA ，3ABAD，E是侧面 11 AAD D 的中心，F是底面ABCD的中心， 以A为坐标原点，AB，AD， 1 AA所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系，则( ) AEF是单位向量 B(1,0, 3)n 是平面 1 ABC的一个法向量 C直线EF与 1 AC所成角的余弦值为 21 7 D点E到平面 1 ABC的距离为 3 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为 n a
6、第 3 页（共 16 页） 14 （5 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 2a ， 42 3SS，则 3 a 15 （5 分）著名的数学家欧拉在 1765 年发表的三角形的几何学一书中指出：三角形的 外心、垂心和重心在同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC的三个顶点分别为 (1,0)A，(1,3)B，(5,3)C，则ABC的欧拉线的一般式方程为 16 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F和 2 F，若双曲线上存在一 点M，使得 12 MFF是等腰三角形也是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 四、解答题：共四、解答题：
7、共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在条件和中任选一个填到下面的横线上，并解答 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知8a ，_，求sinC和ABC 的面积 条件： 2 7 cos 7 A， 5 7 cos 14 B ； 条件：7c ， 1 cos 7 A 18 （12 分）已知 n a是公差不为 0 的等差数列， 2 6a ，且 1 a， 3 a， 4 a依次成等比数列 （）求 n a的通项公式； （）设 n a的前n项和为 n S，求 n S的最小值 19（12 分） 如图所示， 在三棱锥PABC
8、中，AP，AB，AC两两互相垂直，22ABACAP， ADPB （）证明：CDPB； （）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值 第 4 页（共 16 页） 20 （12 分）已知 n a是递增的等比数列， 1 a， 3 a是方程 2 10160 xx的根 （）求 n a的通项公式； （）求数列 2 n n a 的前n项和 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p经过点(1, 1) （）求抛物线C的方程及其焦点坐标； （）过抛物线C上一动点P作圆 22 :(2)1Mxy的两条切线，切点分别为A，B，求 四边形PAMB面积的最小值 22 （12 分）设椭圆 22 22 1(0)
9、xy ab ab 的左顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率 为 3 2 ，|5AB （）求椭圆的标准方程； （）设直线:(0)l yxkk与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M 均在第一象限，若 51( 2 BMP BPQ S S S 表示面积） ，求k的值 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年海南省高二（上）期末数学试卷学年海南省高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项
10、是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 33Axx ， 2 |340Bx xx，则(AB ) A( 3, 1) B( 3,4) C( 1,3) D( 1,4) 【解答】解：集合 | 33Axx ， 2 |340 | 14Bx xxxx ， | 13( 1,3)ABxx 故选：C 2 （5 分） 5 ( 2 i i ) A2i B22i C2i D22i 【解答】解： 55(2)5(2) 22 2(2)(2)41 ii iiii iii 故选：B 3 （5 分）双曲线 22 1 48 xy 的渐近线方程为( ) A 2 2 yx Byx C2yx D2yx 【解答】解：
11、双曲线 22 1 48 xy ，可知2a ，2 2b ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：C 4 （5 分）已知 n a是等差数列，且 4 4a ， 7 10a ，则 10 (a ) A13 B14 C15 D16 【解答】解： n a是等差数列，且 4 4a ， 7 10a ， 41 71 34 610 aad aad ， 解得 1 2a ，2d ， 101 921816aad ， 第 6 页（共 16 页） 故选：D 5 （5 分）过点(1, 3)，且垂直于直线230 xy的直线方程为( ) A250 xy B210 xy C250 xy D270 xy 【解答】解：设过点(1,
12、3)，且垂直于直线230 xy的直线方程为20 xyc， 把(1, 3)代入，得：230c，解得5c ， 过点(1, 3)，且垂直于直线230 xy的直线方程为250 xy 故选：A 6 （5 分）直线10 xy 被圆 22 2210 xyxy 截得的弦长为( ) A2 B2 C1 D 2 2 【解答】解：圆 22 2210 xyxy 的标准方程为 22 (1)(1)1xy， 圆心坐标为(1, 1)，半径1r ， 圆心到直线10 xy 的距离 12 22 d ， 故直线10 xy 被圆 22 2210 xyxy 截得的弦长为 22 22rd， 故选：B 7 （5 分）已知点(1,0)F，过直线
13、1x 上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段PF的中 垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为( ) A 22 1xy B 22 1xy C 2 2yx D 2 4yx 【解答】解：连接QF，由垂直平分线性质定理可得 | |QFQP， 由抛物线的定义可得Q在以(1,0)F为焦点、l为准线的抛物线上， 可得点Q的轨迹方程为 2 4yx； 故选：D 第 7 页（共 16 页） 8 （5 分）在三棱锥PABC中，2MAPM，3BNNC，则( ) A 113 344 MNPAPBPC B 114 343 MNPAPBPC C 112 363 MNPAPBPC D 112 323 MNPAPBPC 【 解 答 】
14、 解 ： 如 图 所 示 ， 三 棱 锥PABC中 ，2M AP M，3BNNC， 所以MNMPPCCN 11 34 APPCCB 11 () 34 PAPCPBPC 113 344 PAPBPC 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）满足下列条件的数列 * () n anN是递增数列的为( ) A 1
15、n a n B 2 n ann C12 n an D21 n n a 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 第 8 页（共 16 页） 对于A， 1 n a n ， 1 1a ， 2 1 2 a ，不是递增数列，不符合题意， 对于B， 2 n ann， 22 1 (1)(1)20 nn aannnnn ，是递增数列，符合题意， 对于C，12 n an ， 1 (12 )12(1)2 nn aann ，不是递增数列，不符合题意， 对于D，21 n n a ，函数21 x y 为递增函数，则21 n n a 是递增数列，符合题意， 故选：BD 10 （5 分）已知函数( )cos23sin2f x
16、xx，则( ) A( )f x的最小正周期为 B() 6 f x 是奇函数 C当() 6 xZ kk时，( )f x取得最大值 D( )f x在, 3 6 上单调递增 【解答】解：( )cos23sin22sin(2) 6 f xxxx ， 故T，A正确； ()2sin(2) 66 f xx 不是奇函数，B错误； 当 6 x k时，函数( )2sin(2)2 2 f xx ，此时取得最大值，C正确； 令222 262 x k 剟k，得 36 x k 剟k，Zk， 当0k时，得函数的单调递增区间, 3 6 ，D正确 故选：ACD 11 （5 分）已知椭圆 22 :1(812) 124 xy Cm
17、 mm 的焦距为 4，则( ) A椭圆C的焦点在x轴上 B椭圆C的长轴长是短轴长的3倍 C椭圆C的离心率为 6 3 D椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为62 【解答】解：由已知椭圆方程可得： 2 12am， 2 4bm， 则 22 162cabm，又椭圆的焦距为 4， 第 9 页（共 16 页） 所以2 1624m，则6m ， 所以椭圆的方程为： 22 1 62 xy ，且22 6a ，22 2b ， 所以 2 3 2 a b ，故B正确，焦点在x轴上，故A正确， 椭圆的离心率为 26 36 c e a ，故C正确， 椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为62ac，故D错误， 故选：ABC 1
18、2 （5 分） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1AA ，3ABAD，E是侧面 11 AAD D 的中心，F是底面ABCD的中心， 以A为坐标原点，AB，AD， 1 AA所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系，则( ) AEF是单位向量 B(1,0, 3)n 是平面 1 ABC的一个法向量 C直线EF与 1 AC所成角的余弦值为 21 7 D点E到平面 1 ABC的距离为 3 4 【解答】 解： 由题意可知，(0A， 0，0)， 11 (0,0,1), ( 3,0,0),( 3,0,1),( 3, 3,0),(0, 3,0)ABBCD， 因为E是侧面 11 AA
19、D D的中心，F是底面ABCD的中心， 所以 3 133 (0, ),(,0) 2222 EF， 故 31 (,0,) 22 EF ， 所以| 1EF ， 所以EF是单位向量，故选项A正确； 第 10 页（共 16 页） 因为 1 ( 3,0, 1),(0, 3,0)ABBC， 所以 1 0,0AB nBC n，又 1 ABBCB， 1 AB，BC 平面 1 ABC， 所以(1,0, 3)n 是平面 1 ABC的一个法向量，故选项B正确； 因为 31 (,0,) 22 EF ， 1 ( 3, 3, 1)AC ， 所以 1 1 1 2 7 cos, 7| EF AC EF AC EFAC ，故选
20、项C错误； 因为 3 1 (3, ) 22 CE ，所以| 2CE ， 所以 3 cos, 8| CE n CE n CEn ， 所以点E到 1 ABC的距离为 3 | cos, 4 dCECE n，故选项D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为 n a 2 n 【解答】解：由图可知 2 1 11a ， 2 2 12142a ， 2 3 1232193a ， 2 2 (1)(1)(21)2 123(1)(2)21 222 n n nn
21、nn annnn ， 故答案为： 2 n 14 （5 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 2a ， 42 3SS，则 3 a 4 或 2 第 11 页（共 16 页） 【解答】解： 1 2a ， 42 3SS，则1q ， 即 4211 (1)3(1) 11 aa qq qq ， 即 2 13q，或1q ， 2 2q， 2 31 4aa q， 2 31 2aa q 故答案为：4 或 2 15 （5 分）著名的数学家欧拉在 1765 年发表的三角形的几何学一书中指出：三角形的 外心、垂心和重心在同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC的三个顶点分别为 (1,0)A，(1,3)B，
22、(5,3)C，则ABC的欧拉线的一般式方程为 34150 xy 【解答】解：ABC的三个顶点分别为(1,0)A，(1,3)B，(5,3)C， ABC的重心坐标为 7 ( 3 ，2)，直线AB的方程为1x ， ABC中AB边上的高所在直线方程为3y ，直线BC的方程为3y ， ABC中BC边上的高所在直线方程为1x ， ABC的垂心为(1,3)， ABC的欧拉线的方程为 323 7 1 1 3 y x ，即34150 xy 故答案为：34150 xy 16 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F和 2 F，若双曲线上存在一 点M，使得 12 MF
23、F是等腰三角形也是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 (1,12) 【解答】解：可设M为双曲线右支上的点，且 212 | | 2MFFFc， 由双曲线的定义可得 12 | | 222MFMFaca， 由题意可得 21 MF F为钝角， 可得 222 2121 |MFFFMF， 即为 222 44(22 )ccca， 化为 22 20caca， 第 12 页（共 16 页） 由 c e a ，可得 2 210ee ， 解得112e ， 故答案为：(1,12) 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10
24、 分）在条件和中任选一个填到下面的横线上，并解答 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知8a ，_，求sinC和ABC 的面积 条件： 2 7 cos 7 A， 5 7 cos 14 B ； 条件：7c ， 1 cos 7 A 【解答】解：若选择条件： 2 7 cos 7 A， 5 7 cos 14 B ， 可得 2 21 sin1 7 Acos A， 2 21 sin1 14 Bcos B， 所以 215 72 7213 sinsin()sincoscossin 7147142 CABABAB， 因为8a ，由正弦定理可得 21 8 sin 14 4 sin21 7 aB b
25、 A ， 所以 113 sin848 3 222 ABC SabC 若选择条件：7c ， 1 cos 7 A ， 可得 2 4 3 sin1 7 Acos A， 又8a ， 所以由正弦定理可得 4 3 7 sin3 7 sin 82 cA C a ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA， 可得 2 1 644927 7 bb ， 整理可得 2 2150bb， 解得5b ，或3（舍去） ， 所以 113 sin8 510 3 222 ABC SabC 18 （12 分）已知 n a是公差不为 0 的等差数列， 2 6a ，且 1 a， 3 a， 4 a依次成等比数列 第 13 页（共 16
26、 页） （）求 n a的通项公式； （）设 n a的前n项和为 n S，求 n S的最小值 【解答】解： （）设 n a是公差d不为 0 的等差数列， 2 6a ，且 1 a， 3 a， 4 a依次成等 比数列， 可得 1 6ad ， 2 314 aa a，即 2 111 (2 )(3 )ada ad， 解得 1 8a ，2d ， 则82(1)210 n ann ； （）前n项和为 22 1981 8(1)29() 224 n Snn nnnn ， 当4n 或 5 时， n S取得最小值20 19（12 分） 如图所示， 在三棱锥PABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，22ABACAP， A
27、DPB （）证明：CDPB； （）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值 【解答】证明： （）由题意，ACPA，ACAB， PA，AB 平面ABP，AC 平面ABP， 可得AC 平面ABP， ACPB， 又ADPB，DA、AC 平面ACD，PB平面ABP， PB平面ACD， CDPB 解： （）有AP 平面ABC， 可得三棱锥PABC的高为AP，设APa，22ABACAP， 可知5PBBCa，2PCa， 第 14 页（共 16 页） 那么 2 3 2 PBC Sa， 2 ABC Sa 由 P ABCA BCP VV 设A到平面PBC的距离h， 则， 22 3 2 ahaa 解得 2 3 ha，
28、则直线AP与平面PBC所成角的正弦值，即 2 sin 3 h AP 20 （12 分）已知 n a是递增的等比数列， 1 a， 3 a是方程 2 10160 xx的根 （）求 n a的通项公式； （）求数列 2 n n a 的前n项和 【解答】解： （） n a是递增的等比数列， 1 a， 3 a是方程 2 10160 xx的根 所以 13 13 10& 16& aa aa ，解得 1 3 2& 8& a a 或 1 3 8& 2& a a （舍去） ， 故2n n a （）设 22 2 n n n nn b a ， 所以 2 342 222 n n n T ， 231 1342 2222 n
29、 n n T ， 得： 1 211 1 (1) 111122 2 1 1 222222 1 2 n n nnn nn T ， 整理得： 1 124 4(1)4 222 n nnn nn T 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p经过点(1, 1) （）求抛物线C的方程及其焦点坐标； （）过抛物线C上一动点P作圆 22 :(2)1Mxy的两条切线，切点分别为A，B，求 四边形PAMB面积的最小值 第 15 页（共 16 页） 【解答】解： （）把点(1, 1)代入抛物线 2 2ypx中，有12p， 1 2 p， 抛物线的方程为 2 yx，焦点坐标为 1 ( 4 ，0) （）由
30、圆的标准方程可知，(2,0)M，| | 1MAMB， 设点( , )P m n，则 2 nm， 在Rt PAM中， 2222222 33 |(2)133() 24 PAPMMAmnmmm ， 当 3 2 m 时，|PA取得最小值，为 3 2 ， 由圆的切线性质知，PAMPBM ， 四边形PAMB的面积 33 2| |1 22 PAM SSPAMA ， 故四边形PAMB的面积最小值为 3 2 22 （12 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率 为 3 2 ，|5AB （）求椭圆的标准方程； （）设直线:(0)l yxkk与椭圆交于P，Q两点
31、，l与直线AB交于点M，且点P，M 均在第一象限，若 51( 2 BMP BPQ S S S 表示面积） ，求k的值 【解答】解： （）由题意可得： 3 2 c e a ， 222 |5ABab， 222 abc， 解得： 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 4 x y （）直线AB的方程为1 21 xy ，即 1 1 2 yx， 第 16 页（共 16 页） 联立 1 1 2 yx yx k ，解得 2 21 x k ， 2 21 y k k ， 所以 2 (2 1 M k ， 2 ) 21 k k ， 联立 2 2 1 4 yx x y k ，得 22 (14)40
32、 xk， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 所以 12 0 xx， 12 2 4 14 x x k ， 所以 222 1212 2 16 |1()41 14 PQxxx x kk k ， 所以 222 2 122116 | | |()()1 22121214 PMMOPOMOPQ k k kkk 因为 51 2 BMP BPQ S S 所以 |51 |2 MP PQ ， 所以 222 2 2 2 22116 ()()1 51 2121214 216 1 14 k k kkk k k ， 所以 22 2 2 22 ()() 151 2121 2216 1 14 k kk k k ， 所以 22 2 2 22 ()() 5 2121 216 1 14 k kk k k ， 解得 1 4 k或 1
