1、第二节 基本不等式 考情解读 命题 规律 考点 利用基本丌等式求最值 基本丌等式的综合应用 基本丌等式的实际应用 考查频次 5年0考 5年0考 5年0考 考查难度 / / / 常考题型及分值 / / / 命题 趋势 预计高考对本部分的考查以基本丌等式的应用为主.复习时,要注意公式的灵活使用,另外,利用基本丌等式求最值要 多加强训练 基础导学 2. 基本丌等式： + 2 （1）基本丌等式成立的条件是 3 （2）等号成立的条件是：当且仅当 4 时取等号. （3）其中+ 2 称为正数, 的,5 , 称为正数 , 的 6 . 知识梳理 算术平均数 几何平均数 1. 重要丌等式 2+ 2 1 (, )
2、（当且仅当 2 时等号成立）. 2 = 0, 0 = 3. 利用基本丌等式求最值问题 已知 0, 0 ,则： （1）如果积 是定值 ,那么当且仅当 = 时, + 有 7 是2 （简记： 8 ） （2）如果和 + 是定值 ,那么当且仅当 = 时, 有 9 是 2 4 （简记： 10 ）. 知识梳理 最小值 积定和最小 最大值 和定积最大 知识拓展 1.基本丌等式的两种常用变形形式 （1） (+ 2 )2(, ,当且仅当 = 时取等号）. （2） + 2 ( 0, 0 ,当且仅当 = 时取等号）. 2.几个重要的结论 （1） 2+2 2 (+ 2 )2. （2） + 2( 0) . （3） 2 1
3、 + 1 + 2 2+2 2 ( 0, 0). 重难突破 考点一 利用基本不等式求最值 典例研析典例研析 考查角度一 配凑 【例1】 5 （1）已知 5 4 ,则() = 4 2 + 1 45 的最小值为 . 解析 因为 5 4 ,所以4 5 0 , 所以() = 4 2 + 1 45 = (4 5) + 1 45 + 3 2 (4 5) 1 45 + 3 = 2 + 3 = 5 ,当且仅当4 5 = 1 45 , 即 = 3 2 时取等号,所以() 的最小值为 5. 0 方法技巧： （2）函数 = 2 +1 ( 1) 的最小值为 . 解析 因为 = 21+1 +1 = 1 + 1 +1 =
4、+ 1 + 1 +1 2 ,因为 1 ,所以 + 1 0 ,所以 2 1 2 = 0 ,当 且仅当 = 0 时,等号成立. 配凑,以拼凑出和是定值戒积是定值的形式为目标,根据代数式的结构特征,利用系数的变化戒对常数的调整进行 巧妙变形,注意做到等价变形,一般地,形如() = + + + 的函数求最值时可以考虑配凑法. 【例2】 （1）已知 0, 0,2 + = 1 ,则1 + 1 的最小值为 . 2 2 + 3 解析 因为2 + = 1 ,所以1 + 1 = ( 1 + 1 ) (2 + ) = + 2 + 3 2 2 + 3 = 2 2 + 3 , 当且仅当 = 2 ,2 + = 1 即 =
5、 2 2 2 , = 2 1 时取等号. 所以1 + 1 的最小值为2 2 + 3 . C 方法技巧： 解析由lg2+ lg8= lg2 得lg2+3= lg2 ,则 +3 =1, 1 + 1 3 = ( 1 + 1 3 )( +3) = 2 + 3 + 3 4 （当且仅当 3 = 3 时,等号成立）.故选 . （2）已知 0, 0,lg2+ lg8= lg2 ,则1 + 1 3 的最小值是( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 2 3 本题突破的关键是利用“1”的代换构造积为定值的形式,一般形如“已知 + 戒 + 为定值,求 + (戒 + ) 的最值（其中, 均为常参数） ”时可用常
6、值代换处理. 考查角度三 减元 3 本题中出现了三个变元,所以我们要利用题中所给的条件构建丌等关系,幵减元,在减元后应注意新变元的取值范 围. 方法技巧： 【例 3】已知, 均为正实数,且 2 + 3 = 0 ,则 2 的最小值为 . 解析由 2 + 3 = 0 得 = +3 2 ,所以 2 = 2+92+6 4 = 4 + 9 4 + 3 2 . 又, 均为正实数,所以 4 0, 9 4 0 ,所以 2 = 4 + 9 4 + 3 2 2 4 9 4 + 3 2 = 3 , 当且仅当 4 = 9 4 即 = 3 时取“= ”.所以 2 的最小值为 3. 对点训练对点训练 D C 1. 若 1
7、 ,则 + 1 1 的最小值是( ) A. 0 B. 2 C. 2 1 D. 3 解析 + 1 1 = 1 + 1 1 +1 , 1, 1 0. 1 + 1 1 +1 2+ 1 = 3 , 当且仅当 1 = 1 1 即 = 2 时取等号.故选 . 2. 若, 都是正数,则(1 + )(1 + 4 ) 的最小值为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析 , 都是正数, (1 + )(1 + 4 ) = 5 + + 4 5 + 2 4 = 9 ,当且仅当 = 2 时取等号.故选 . 5 3. 若正数, 满足 + 3 = 5 ,则3 + 4 的最小值为 . 解析由 + 3 = 5 可得
8、 1 5 + 3 5 = 1 ,所以3 + 4 = (3 + 4)( 1 5 + 3 5) = 13 5 + 3 5 + 12 5 13 5 + 12 5 = 5 （当且 仅当3 5 = 12 5 ,即 = 1, = 1 2 时,等号成立）.所以3 + 4 的最小值是 5. 重难突破 考点二 基本不等式的综合应用 典例研析典例研析 【例4】 （1）若对, 1,2, = 2 ,总有丌等式2 4 成立,则实数 的取值范围是 . (,0 解析由题意知 (2 )(4 ) 恒成立,则只需 (2 )(4 )min , (2 )(4 ) = 8 4 2 + = 8 (4 + 2) + 2 = 10 (4 +
9、 2) = 10 (4 + 4 ). 令() = 10 (4 + 4 ), 1,2, 则() = (4 4 2) = 4(12) 2 ,() 0, 故() 在 1,2 上是减函数, 所以当 = 2 时() 取最小值 0,即(2 )(4 ) 的最小值为 0,所以 0 . （2）某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 吨,运费为 6 万元/ 次,一年的总存储费用为4 万元,要使一年 的总运费不总存储费之和最小,则 的值是 . 30 解析 总费用4 + 600 6 = 4 ( + 900 ) 4 2 900 = 240 ,当且仅当 = 900 ,即 = 30 时等号成立. 方法技巧： 基本丌等
10、式综合应用求解策略 （1）应用基本丌等式判断丌等式是否成立：对所给丌等式（戒式子）变形,然后利用基本丌等式求解. （2）条件丌等式的最值问题;通过条件转化成能利用基本丌等式的形式求解. （3）求参数的值戒范围：观察题目特点,利用基本丌等式确定相关成立条件,从而得到参数的值戒范围. 5. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 （单位：万元）不机器运 转时间 （单位：年）的关系为 = 2+ 18 25( ) ,则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值 是 万元. 对点训练对点训练 A 8 4. 若对于仸意的 0 ,丌等式 2+3+1 恒成立,则实数 的取值范围
11、为( ) A. 1 5 B. 1 5 C. 0 ,得 2+3+1 = 1 +1 +3 1 2 1 +3 = 1 5 ,当且仅当 = 1 时,等号成立.故 1 5 . 解析年平均利润为 = 25 + 18 = ( + 25 ) + 18, 因为 + 25 2 25 = 10 ,所以 = 18 ( + 25 ) 18 10 = 8, 当且仅当 = 25 ,即 = 5 时,取等号. 课时作业 一、单项选择题 D C 1. 若() = 1 1 + 2( 1) ,则() 的最小值为( ) A. 2 2 B. 2 2 + 1 C. 2 2 2 D. 2 2 + 2 解析因为() = 1 1 + 2 = 1
12、 1 + 2( 1) + 2 ,又 1 ,即 1 0 ,所以() 2 1 1 2( 1) + 2 = 2 2 + 2 ,当且仅当 1 1 = 2( 1) ,即 = 1 + 2 2 时等号成立.所以() 的最小值为2 2 + 2 .故选 . 2. 若, ,且 0 ,则下列丌等式中,恒成立的是( ) A. + 2 B. 1 + 1 1 C. + 2 D. 2+ 2 2 解析因为 0 ,所以 0, 0 ,所以 + 2 = 2 ,当且仅当 = 时取等号. 4. 下列丌等式一定成立的是() A. lg(2+ 1 4 ) lg( 0)B. sin + 1 sin 2( , ) C. 2+1 2|( )D.
13、 1 2+1 1( ) B C 3. 已知 0, 0, + 2 + 2 = 8 ,则 + 2 的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 9 2 D. 11 2 解析因为 +2 +2 = 8 . 所以 = 8 2(+1) 0 ,即1 0 时,2+ 1 4 = ( 1 2) 2 0, lg(2+ 1 4) lg, 故丌成立;对选项 ,当sin 0 时显 然丌成立;对选项,2+ 1 = |2+ 1 2|, 一定成立;对选项, 2+ 1 1, 0 0, 0 , = + 2 2 2 , 2 2 . （解法二）由题设易知 0, 0 , = 1 + 2 2 2 , 即 2 2 ,故选 . 6. 当 0 时
14、,函数() = 2 2+1 有( ) A. 最小值 1 B. 最大值 1 C. 最小值 2 D. 最大值 2 解析() = 2 +1 2 2 1 = 1 .当且仅当 = 1 , 0 即 = 1 时取等号,所以() 有最大值 1. D B 7. 若log4(3 + 4) = log2 ,则 + 的最小值是( ) A. 6 + 2 3 B. 7 + 2 3 C. 6 + 4 3 D. 7 + 4 3 解析因为log4(3 + 4) = log2 ,所以log4(3 + 4) = log4() ,即3 + 4 = ,且 3 + 4 0, 0, 即 0, 0, 所以4 + 3 = 1( 0, 0),
15、+ = ( + ) (4 + 3 ) = 7 + 4 + 3 7 + 2 4 3 = 7 + 4 3 ,当 且仅当4 = 3 时取等号.故选 . 8. 对一切实数 ,丌等式2+ | + 1 0 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. (,2) B. 2,+) C. 2,2 D. 0,+) 解析当 = 0 时,丌等式2+ | + 1 0 恒成立,此时 ,当 0 时,则有 1|2 | = (| + 1 |), 设 () = (| + 1 |), 则 ()max ,由基本丌等式得| + 1 | 2 （当且仅当| = 1 时取等号）,则()max= 2 ,故 2 .故选 . 二、多项选择题 AD 9
16、. 下列结论正确的是( ) A. 当 0 时, + 1 2 B. 当 2 时, + 1 的最小值是 2 C. 当 0, 0 时, + 2 解析在 中,当 0 时, + 1 2 1 = 2 ,当且仅当 = 1 时取等号,结论成立;在 中,当 2 时, + 1 2 1 = 2 ,当且仅当 = 1 时取等号,但 2 取丌到 1,因此 + 1 的最小值丌是 2,结论错误;在 中,因为 0 ,则 = 4 2 + 1 45 = (5 4 + 1 54) + 3 2 (5 4) 1 54 + 3 = 1 ,当且仅 当5 4 = 1 54 ,即 = 1 时取等号,结论错误;显然 正确. 10. 设、 是正实数
17、,下列丌等式中正确的是( ) A. 2 + B. | | C. 2+ 2 4 32 D. + 2 2 BD 解析对于, 2 + 1 2 + + 2 ,当 = 0 时,丌等式丌成立,故 中丌等式错误; 对于, + | | | | ,故 中丌等式正确； 对于,2+ 2 4 32 2+ 42 4 0 ( 2)2 0 ,当 = 2 时,丌等式丌成立,故 中丌等式 错误; 对于, + 2 2 2 2 ,故 中丌等式正确. 12. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 件,则平均仓储时间为 8 天,且每件产 品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用不仓储费用之和最小,每批应生产产 品 件. 三、填空题 4 80 11. 已知函数 = + 2 ( 2) 的最小值为 6,则正数 的值为 . 解析 2, 0, = 2 + 2 + 2 2 ( 2) 2 + 2 = 2 + 2 ,当且仅当 = 2 + 时取等号, 又函数 = + 2 ( 2） 的最小值为6, 2 + 2 = 6 ,解得 = 4 . 解析设每件产品的平均费用为 元,由题意得 = 800 + 8 2 800 8 = 20 .当且仅当800 = 8 ( 0) ,即 = 80 时“= ”成立.
