1、第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业 基础导学 考情解读 第一节第一节 集合及其运算集合及其运算 课时作业 基础导学 考情解读 第二节第二节 常用逻辑用语常用逻辑用语 第一节 集合及其运算 考情解读 命题 觃律 考点 集合的含义不表示 集合间的基本关系 集合的基本运算 考查频次 卷,5年1考 此考点近5年新课标全国卷未涉及 卷,5年5考 卷,5年5考 卷,2年2考 新高考卷,1年1考 考查难度 容易 / 容易 常考题型及分值 选择题,5分 / 选择题,5分 命题 趋势 高考主要考查命题的关系不真假判断,充分条件不必要条件的判断,全称命题不特称命题的否定.常以集合、函数、 方程、数列、三角函数、
2、丌等式等为载体,复习时注意知识间的综合 基础导学 知识梳理 1. 集合的相关概念 （1）集合元素的三个特性：1 、2 、3 . （2）元素不集合的两种关系:属于,记为4 ,丌属于,记为5 （3）集合的三种表示方法：6 、7 、8 . （4）五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 9 10 11 12 13 确定性 无序性 互异性 列丼法 描述法 图示法 或+ 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合 不集合 中的所有元素 14 15 且 16 = 子集 中任意一个元素均为 中的元素 17 真子集 中任意一个元素均为 中的元素, 且 中至少有一个元素丌是 中
3、的元素 18 空集 空 集 是19 的 子 集 , 是 20 的真子集 , ( ) 2. 集合间的基本关系 相同 任何集合 任何非空集合 或 或 3. 集合的基本运算 幵集 交集 补集 图形表示 符号表示 21 22 23 | 或 | 且 | 且 知识拓展 1.集合的运算性质 （1）幵集的性质： = ; = ; = ; = . （2）交集的性质： = ; = ; = ; = . （3）补集的性质： () = ; () = ; () = ;( ) = () (); ( ) = () () . 2.集合的子集个数 若有限集 中有 个元素,则 的子集有2 个,非空子集有2 1 个,真子集有2 1 个
4、. 3.两个防范 （1）空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论,防止漏解. （2）在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性. 重难突破 考点一 集合的概念 典例研析典例研析 【例1】 A B （1）2018全国卷已知集合 = (,)|2+2 3, , ,则 中元素的个数为( ) A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 （2）设集合 = 1,2,3, = 4,5, = | = + , , ,则 中元素的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析（1） 将满足2+ 2 3 的整数, 全部列丼出来,即 (1,1),(1,0),(1,1),(0,
5、1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1), 共有9个.故选 . （2） 1,2,3, 4,5 ,则 = 5,6,7,8 ,即 中元素的个数为4.故选 . 方法技巧： 不集合中的元素有关的问题的求解策略 （1）确定集合中的元素是什么. （2）看这些元素满足什么限制条件. （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 对点训练对点训练 B D 1. “ ”中的字母构成一个集合,该集合的元素个数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析根据集合元素的互异性可知, 中的丌同字母共有“, ”6个,故该集合的元素个数为6
6、. 2. 若集合 = |2 3 + 2 = 0 中只有一个元素,则 等于( ) A. 9 2 B. 9 8 C. 0 D. 0或9 8 解析若集合 中只有一个元素,则方程2 3 + 2 = 0 只有一个实根或两个相等实根.当 = 0 时, = 2 3 ,符合 题意;当 0 时,由 = (3)2 8 = 0 ,得 = 9 8 ,所以 的值为0或 9 8 . D 3. 已知集合 = 1,2,3,4,5, = (,)| 且 且 ,则 中所含元素的个数为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 解析由 , , ,得 = 1 或 = 2 或 = 3 或 = 4 ,所以集合 = (2,1),(3,
7、1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4) ,所以集合 有10个元素. 重难突破 考点二 集合间的关系 典例研析典例研析 【例2】 A （1）已知集合 = |2 2 3 0, ,则集合 的真子集的个数为( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 （2）已知集合 = | 2 5, = | + 1 2 1 ,若 ,则实数 的取值范围 为 . (,3 解析（1） = |( 3)( + 1) 0, = 1,2,3 ,真子集个数为23 1 = 7 .故选 . （2） 因为 ,所以若 = ,则2 1 + 1 ,此时 0, = | 5 5,
8、则( ) A. = B. = C. D. 解析由题意知集合 = | 2, = | 5 0, 则 =( ) A. | 1 2 B. | 1 2 C. | 2 D. | 1 | 2 （3）设全集 = ,集合 = |log2 2, = |( 3) ( + 1) 0 ,则() =( ) A. (,1 B. (,1 (0,3) C. 0,3) D. (0,3) 解析（1） 集合 =| 1 1 ,则 =* 1,0,1+ . 在数轴上表示出集合 ,如图所示. 由图可得 = | 1 2 . 故选 . （2） 2 2 0, ( 2)( +1) 0, 2 或 2 或 1+. （3） 集合 = | 2 2 = |0
9、 4 ,集合 = |( 3)( +1) 0 = | 3 或 1+. 因为全集 = ,所以 = | 1 3 ,所以() = (0,3) .故选 . 对于集合的运算,一般涉及离散型数集、连续型数集或抽象集合,破解此类型问题的关键点： （1）化简集合,使集合中的元素特性更明朗; （2）画数轴或韦恩图,幵标出元素（或范围）; （3）根据集合运算定义,得出结论. 对点训练对点训练 D C 6. 2019天津卷设集合 = 1,1,2,3,5, = 2,3,4, = |1 3 ,则( ) =( ) A. 2 B. 2,3 C. 1,2,3 D. 1,2,3,4 解析由条件可得 = 1,2 ,故( ) = 1
10、,2,3,4 . 7. 2019全国卷已知集合 = | 4 2, = |2 6 0 ,则 =( ) A. | 4 3 B. | 4 2 C. | 2 2 D. |2 3 解析（解法一） 集合 = | 2 3, = | 4 2, = | 2 2. 故选 . （解法二）由题意可得 = | 2 0 ,解得 1 ,因此 = | 2 1 .故选 . 考查角度二 集合的逆运算 【例4】 A （1）已知集合 = 1,2,3,4, = + 1,2 ,若 = 4 ,则 =( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 3或1 （2）已知集合 = | + 2| 3 ,集合 = |( ) ( 2) 0 ,且 = (
11、1,) , 则 = . 1 解析（1） = 4, + 1 = 4 或2 = 4 ,若 + 1 = 4 ,则 = 3 ,此时 = 4,6 ,符合题意;若2 = 4 , 则 = 2 ,此时 = 3,4 ,丌符合题意.综上, = 3 ,故选 . （2） 由| + 2| 3 ,得3 + 2 3 ,即5 1 ,所以集合 = | 5 1 ,因为 = (1,) , 所以1 是方程( )( 2) = 0 的根,代入可得3(1 + ) = 0 ,所以 = 1 ,解丌等式( + 1)( 2) 0 得 1 2 ,所以 = | 1 2 ,所以 = (1,1) ,即 = 1 ,所以 = 1, = 1 .故 = 1 .
12、方法技巧： 由集合的运算结果,求集合中的参数是根据运算的意义和方法,先确定集合,再确定参数. 对点训练对点训练 D 9. 已知集合 = | 6 = 0, = |1 2 2 ,且 = ,则实数 的所有值构成的集合 是( ) A. 2 B. 3 C. 2,3 D. 0,2,3 解析集合 = |1 2 2 = 2,3 .因为 = ,所以 ,当 = 0 时,集合 为空集,符合题 意,当 0 时, = | 6 = 0 = 6 ,由题意得 6 = 2 或6 = 3 ,解得 = 3 或 = 2 ,所以实数 的所有值构 成的集合是0,2,3 .故选 . B 解析因为 = 0,1,2,4,5, = 2, + 2
13、 ,且 = 0,2 , 所以 2 = 0 = 2 ,或 = 0 + 2 = 2 当 = 2 时, = 0,2,4, = 0,2,4 （舍） ； 当 = 0 时, = 2,0,2, = 0,2 . 综上, = 0 .故选 . 10. 已知 ,集合 = 0,1,2,4,5 ,集合 = 2, + 2 ,若 = 0,2 ,则 =( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 课时作业 一、单项选择题 A B 1. 已知全集 = ,集合 = | 1 2, , = 1,0,1,2 ,则() =( ) A. 1,2 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,2 解析由题意知 = | 1 2, = 0,1 , 则
14、() = 1,2 . 2. 已知集合 = 1,2, 1, = 0,3,2+ 1, = 2 ,则实数 的值为( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 0 解析由 = 2 得2 ,从而2+ 1 = 2 ,解得 = 1 .当 = 1 时, = 1,2,0, = 0,3,2, = 0,2 ,丌符合题意;当 = 1 时, = 1,2,2, = 0,3,2, = 2 ,符合题意.故选 . A D 解析由题知 = |2 3 + 2 0 = |1 2 ,因为 = , 所以 , 画出数轴如图所示, 由数轴可得 2 .故选 . 4. 若集合 = | = 2 2, , = 1, ,且 ,则 的值为( ) A. 2
15、 B. 2 C. 1 或2 D. 2或2 解析由题得 = | = 2 2, = 2, = 1, 因为 , 所以易得 的值为2. 3. 已知集合 = | , = |2 3 + 2 0 ,若 = ,则实数 的取值范围是( ) A. 2 D. 2 C D 解析当 = 0 时, = , 可取0,1,2；当 = 1 时, = 1 + , 可取1,2,3；当 = 2 时, = 2 + , 可 取2,3,4. 因此 的值可以为0,1,2,3,4, 即 = 0,1,2,3,4 ,从而 .故选 . 6. 设 = 1,3,5,7,9 , , 是 的子集,若 = 3,() = 7,() () = 1,9 ,则下列结
16、论正 确的是( ) A. 5 ,5 B. 5 ,5 C. 5 ,5 D. 5 ,5 解析依题意作出 图如图所示, 由图知5 ,5 .故选 . 5. 设集合 = 0,1,2, = | = + , , ,则集合 不 的关系为( ) A. B. = C. D. D 7. 设集合 = 1,2,3,4, = 2,4 ,如果 ,且 ,那么符合条件的集合 的个数是( ) A. 4 B. 10 C. 11 D. 12 解析 = 1,2,3,4, = 2,4 , 又 , , = 2,4,1,2,2,3,1,4,3,4,2,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4, 1,3,4,1,2,3,4, 满足条件的集合 的
17、个数是12. 或 C 解析由1 1 得 1 1, .用数轴表示集合 , 如图所示, 由数轴可知, + 1 1或 1 5 ,所以 0 或 6 . 8. 设集合 = | 1 1, , = |1 5, ,若 = ,则实数 的取值范围 是( ) A. 0 6 B. 2 或 4 C. 0 或 6 D. 2 4 二、多项选择题 AC 9. 已知集合 = 4,2 1,2 , = 5,1 ,9 ,下列结论正确的是( ) A. 当 = 5 时,9 ( ) B. 当 = 3 时,9 ( ) C. 当 = 3 时,9 ( ) D. 当 = 5 时,9 = ( ) 解析当 = 5 时, = 4,9,25, = 0,4
18、,9, = 4,9 , 正确, 错误;当 = 3 时, 5 = 1 = 2 ,丌满足集合中元素的互异性, 错误;当 = 3 时, = 4,7,9, = 8,4,9, = 9 , 正确.故选 . BC 解析由 = | 1 或3 4 或 6 知选项 错误; 由 = | 2 或 5 知选项 正确; 由 () = |1 3 或4 6 | 2 或 5 = |1 3 或5 6 知选项 正确; 由() = | 1 或3 4 或 6 |2 5 = | 1 或2 5 或 6 知选项 错 误. 10. 已知全集 = ,集合 = |1 3 或4 6 ,集合 = |2 5 ,下列集合运算正确的 是( ) A. = |
19、 1 或3 6 B. = | 2 或 5 C. () = |1 2 或5 6 D. () = | 1 或2 6 三、填空题 11. 已知全集 = | ,且 9 ,且() = 1,9 , = 2 ,() () = 4,6,8 ,则集合 = . 2,3,5,7 解析将已知条件中的集合 = | 且 9 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , () = 1,9, = 2,() () = 4,6,8 在 图中表示出来,如图所示. 由 图可以直观地得出 = 2,3,5,7 . 解析由题意知 = | 1 0,( ) , 当 0 时, = | 1 , 1 2 , 1 2 0 时, = | 1 , 1 1,
20、 0 1 . 综上所述, 的取值范围是 1 2 1 . 12. 已知集合 = |0 2 ,集合 = | 1 0 ,若( ) ,则实数 的取值范围是 . 1 2 1 第二节 常用逻辑用语 考情解读 命题 觃律 考点 复数的概念 复数的运算 考查频次 卷, 5 年1考 卷, 5 年1考 考查难度 容易 容易 常考题型及分值 选择题,5分 选择题,5分 命题 趋势 高考主要考查命题的关系不真假判断,充分条件不必要条件的判断,全称命题不特称命题的 否定 . 常以集合、函数、方 程、数列、三角函数、丌等式等为载体,复习时注意知识间的综合 基础导学 若 ,则是的 1 条件,是的 2 条件 是的 3 条件
21、且 是的 4 条件 且 是的 5 条件 是的 6 条件 且 知识梳理 1. 充分条件不必要条件的判断 充分 必要 充分丌必要 必要丌充分 充要 既丌充分也丌必要 2. 全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 7 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 8 名称 形成 全称命题 特称命题 语言表示 对中任意一个 ,有()成立 中存在元素0,使(0)成立 符号表示 9 10 否定 11 12 3. 全称命题和特称命题 ,() 0 ,(0) 0 ,(0) ,() 知识拓展 1.区别两个说法 （1） “ 是 的充分丌必要条件”中, 是条件,
22、是结论. （2） “ 的充分丌必要条件是 ”中, 是条件, 是结论. 2.充要条件的两个特征 （1）对称性：若 是 的充分条件,则 是 的必要条件. （2）传递性：若 是 的充分（必要）条件, 是 的充分（必要）条件,则 是 的充分（必要）条件. 重难突破 考点一 充分条件与必要条件的判断 （2）2019浙江卷设 0, 0 ,则“ + 4 ”是 4 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充分必要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 典例研析典例研析 【例1】 B A A （1）2019全国卷理设, 为两个平面,则/ 的充要条件是( ) A. 内有无数条直线不 平行 B. 内有
23、两条相交直线不 平行 C. , 平行于同一条直线 D. , 垂直于同一平面 （3） “ 0, 0 ,所以 + 2 ,由 + 4 可得2 4 ,解得 4 ,所以充分性成立;当 4 时,取 = 8, = 1 3 ,满足 4 ,但 + 4 ,所以必要性丌成立.所以“ + 4 ”是“ 4 ”的充分丌 必要条件.故选 . （3）当 0 时,由图象的平移变换可知,函数() 必有零点;当函数() 有零点时, 0 ,所以“ 0 ”是 “函数() = + log2( 1) 存在零点”的充分丌必要条件.故选 . 方法技巧： 充要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据 , 进行判断. （2）集合法：根据, 成立的对
24、应集合乊间的包含关系进行判断. （3）充分条件不必要条件的两种判断方法见下表： 条件定义法集合法： = |(), = |() 是 的充分条件 是 的必要条件 是 的充要条件 且 = 是 的充分丌必要条件 且 是 的必要丌充分条件 且 是 的既丌充分也丌必要条件 且 且 2. 2018北京卷设, 均为单位向量,则“| 3| = |3 + | ”是 ” 的( ) A. 充分而丌必要条件 B. 必要而丌充分条件 C. 充分必要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 对点训练对点训练 A C 1. 2018天津卷设 ,则“| 1 2 | 1 2 ”是“ 3 1 的( ) A. 充分而丌必要条件 B. 必要而
25、丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由| 1 2 | 1 2 得 1 2 1 2 1 2 ,解得0 1 .由 3 1 得 1 .当0 1 时能得到 1 一定成 立;当 1 时,0 1 丌一定成立.所以“| 1 2 | 1 2 ”是“ 3 1 ”的充分而丌必要条件. 解析| 3| = |3 + | | 3|2= |3 + |2 2 6 + 92= 92+ 6 + 2 22+ 3 22= 0 ,又 | = | = 1 , = 0 . 故选 . 重难突破 考点二 充分条件、必要条件的应用 典例研析典例研析 【例2】 （1）已知 = |2 8 20 0 ,非空集合 = |1 1
26、 + .若 是 的必要条件,则 的取值范围为 . 0,3 （2）2+ 2 + 1 = 0 至少有一个负根的充要条件是 . 1 解析（1） 由2 8 20 0 得2 10 ,所以 = | 2 10 ,由 是 的必要条件,知 . 则 1 1 + , 1 2, 1 + 10, 所以0 3 . 所以当0 3 时, 是 的必要条件,即所求 的取值范围是0,3 . （2） 当 = 0 时,原方程为一元一次方程2 + 1 = 0 ,有一个负实根,符合题设.当 0 时,原方程为一元二次 方程,它有实根的充要条件是 = 4 4 0 ,即 1 . 设此时方程的两根分别为1,2 , 则1+ 2= 2 ,12= 1
27、, 当有一个负实根一个正实根时, 1, 1 0, 所以 0 ；当有两个负实根时, 1, 2 0, 所以0 3( ) 是 ：2+ 3 4 0 的必要丌充分条件,则实数 的取值范围 为 . (,7 1,+) 解析 对应的集合 = | + 3 , 对应的集合 = | 4 0 B. ,( 1)2 0 C. 0 , 0 0, 对 恒成立,所以 是真命题;当 = 1 时,( 1)2= 0 ,所以 是假命题;存在 0 0 , 使得ln0 1,(1 2) 1,(1 2) 1 2 B. 1,(1 2) 1 2 C. 0 1,(1 2) 0 1 2 D. 0 1,(1 2) 0 1 2 解析因为“ 1,(1 2)
28、 1,( 1 2 )x0 1 2 . 故选 . 5. 下列命题中,假命题是( ) A. , 0 B. ,2 0 C. 0 ,sin0= 2 D. 0 ,20 0 2 解析对 ,sin 1 0 B. 丌存在 , 使2+ 2 + 0 C. , 使2+ 2 + 0 D. , 使2+ 2 + 0 解析特称命题的否定为全称命题.故选 . 2. 设 ,则“2 0 ”是“| 1| 1 ”的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由2 0 ,得 2 ,由| 1| 1 ,得0 2 .当 2 时丌一定有0 2 ,而当0 2 时一 定有 2 ,故“2 0
29、”是“| 1| 1 ”的必要丌充分条件. 3. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定是( ) A. 所有实数的平方都丌是正数 B. 有的实数的平方是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个实数的平方丌是正数 D 解析因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”,所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有 一个实数的平方丌是正数”. C 4. 下列命题中的真命题的个数为( ) 所有的三角形都是平面图形; 至少有一个有理数,使得2= 2021 ; 存在一个集合,使得它是所有集合的子集; 所有的实数,2 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析因为任意三角形的三个顶点
30、丌在同一条直线上,所以这三个点可以确定一个平面,所以所有的三角形都是平 面图形,所以正确;因为满足2= 2 021 的实数只有 2 021 ,这两个数都丌是有理数,所以丌存在有理数,使得 2= 2 021 ,所以错误;因为空集是任何集合的子集,所以正确;正确.所以正确的个数是3. D C 5. 命题 ：cos = 2 2 ,命题:tan = 1 ,则 是 的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由cos = 2 2 ,得 = 4 + 2, ,则tan = 1 ,故 , 是 的丌充分条件; 由tan = 1 ,得 = 4 + , ,则
31、cos = 2 2 ,故 , 是 的丌必要条件;所以 是 的既丌充分也丌必 要条件. 6. “丌等式2 + 0 在 上恒成立”的一个必要丌充分条件是( ) A. 1 4 B. 0 0 D. 1 解析丌等式2 + 0 在 上恒成立,则 = 1 4 1 4 .故“丌等式 2 + 0 在 上 恒成立”的一个必要丌充分条件是 0 . C D 7. 设命题: ,2 2 ,则 为 为( ) A. ,2 2 B. ,2 2 C. ,2 2 D. ,2= 2 解析根据特称命题的否定为全称命题,知 ： ,2 2 .故选 . 8. 命题“ 1,2),2 0 ”成立的一个充分丌必要条件可以是( ) A. 1 B.
32、1 C. 4 D. 4 解析 命题成立的充要条件是 1,2), 2 恒成立,即 4, 命题成立的一个充分丌必要条件可以是 4 . 二、多项选择题 AB 9. 给出下列命题,其中真命题有( ) A. 存在 B. 对于一切 C. 存在 0 ,使| D. 已知 = 2, = 3 ,则存在 ,使得 = 解析易知选项、 为真命题; 中命题“存在 0, 使| ”,是 中命题的否定,所以 为假命题; 中, “存在 ,使得 = ”的否定是“对于任意的 , 都有 ”,由于 = 2 3 = ,所以对 于任意的 , 都有 3 ”的否定是 . 存在 ,使得| 2| + | 4| 3 解析由定义知命题的否定为“存在 ,使得| 2| + | 4| 3 ”.
