1、第一节 函数及其表示 考情解读 命 题 规 律 考点 函数的有关概念不表示 函数的定义域不值域 分段函数 考查频次 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,4年1考 考查难度 容易 容易 容易 常考题型及分 值 填空题,5分 选择题,5分 选择题,5分; 填空题,5分 命 题 趋 势 1.趋势分析高考主要考查由函数的解析式求函数的定义域和值域、分段函数的求值 及求参问题,函数的定义域和值域的求解常不函数性质综合考查,分段函数的求值问题常以 指数函数、对数函数和幂函数为载体进行考查.复习时,注意分类讨论思想在分段函数求值 或求参中的应用. 2.核心素养数学运算、逻辑推理. 基础导学 1.
2、函数的概念 （1）设 , 都是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 , 使 1 那么就称 ： 为从集合 到集合 的一个函数,记作 = ( ), . （2）函数的三要素 函数由 2、3和 4 三个要素构成,对函数 = ( ), ,其中 定义域：自变量 x 的取值范围; 值域：函数值的集合 5. 使对于集合 中的仸意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数 ( ) 和它对应 知识梳理 定义 域 对应关 系 值域 2. 函数的表示法 表示函数的常用方法有：6 、7 、8 . 解析 法 列表 法 图象 法 3. 分段函数 若函数在定义域的丌同子集上,因9 丌同而分别用几个丌同的式子来 表示,这种函数称为
3、分段函数. 对应关 系 ( )| 知识拓展 1.两种对应关系 ： 表示从 到 的一个函数,即从 到 的元素是一对一或多对一,值域为 的子集. 2.两个关注点 （1）分段函数是一个函数. （2）分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集. 3.函数的三要素不相等函数 函数的三要素为定义域、对应法则和值域,而值域是由定义域和对应法则确定的,故如果两个函数的定义域、对应 法则分别相同,这两个函数为相等函数. 重难突破 考点一 求函数的定义域 典例研析典例研析 【例1】 B A （1）函数 ( ) = 3 2 +lg(3 ) 的定义域是( ) A. (3,+) B. (2,3) C. 2,3) D
4、. (2,+) （2）若函数 = ( ) 的定义域是0,3 ,则函数( ) = (3 ) 1 的定义域是( ) A. 0,1) B. 0,1 C. 0,1)(1,9 D. (0,1) 解析 依题意得 0 3 3, 1 0, 即0 0, 3 0, 解得2 3 .故选 . 方法技巧： （1）求具体函数 = ( ) 的定义域 （2）求抽象函数的定义域 若已知函数 ( ) 的定义域为, ,其复合函数 ( ) 的定义域由丌等式 ( ) 求出. 若已知函数 ( ) 的定义域为, ,则 ( ) 的定义域为( ) 在 , 时的值域. 对点训练对点训练 B C 1. 已知函数 ( ) 的定义域为(1,0) ,则
5、函数 (2 +1) 的定义域为( ) A. (1,1) B. (1, 1 2) C. (1,0) D. ( 1 2 ,1) 解析由函数 ( ) 的定义域为(1,0) ,则使函数 (2 +1) 有意义,需满足1 2 +1 0 ,解得1 0, 即 4, ( 3)( 2) 3 0, 解乊得2 3 或3 2, 2+2, 2, 则 (1) = ( ) A. 1 2 B. 2 C. 4 D. 11 （2）已知函数 ( ) = 2 2, 1, 2( +1), 1, 且 () = 3, 则 (6 ) = . 典例研析典例研析 考查角度一 求分段函数的函数值或自变量的值 【例3】 C 3 2 解析 当 1 时,
6、 () = 22 = 3 无解; 当 1 时,由 () = log2( +1) = 3 ,得 +1 = 8 ,解得 = 7 , 所以 (6) = (1) = 212 = 3 2 . 解析 函数 ) = + 1 2 , 2, 2+2, 2, (1) = 12+2 = 3 , (1) = (3) = 3+ 1 32 = 4 .故选 . 方法技巧： （1）对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自变量的范围,代入相应的解析式直接求解.其关键点为： 判断,判断所给自变量符合哪个解析式; 转化,若所给自变量都丌属于所给区间或所给区间的解析式丌确定,要进行转化; 求值,对形如 ( ) 型的求值,遵循由里向
7、外求解; 结论. （2）若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,利用函数值构造方程.其关键点为： 讨论,对所求自变量分段讨论,得出相应函数值; 解方程,由函数值相等构造方程,并解方程; 得结论,将符合自变量相应范围的解写出来. 对点训练对点训练 6. 设函数 ( ) = 1 , 1, 2, 1, 则 ( (2) = ,函数 ( ) 的值域是 . 5 2 3,+) 解析 (2) = 1 2, 则 ( (2) = ( 1 2) = 5 2. 当 1 时, ( ) (0,1) ,当 1 时, ( ) 3,+), ( ) 3,+) . 7.已知 ( ) = 1 2, 0,+) si n
8、 , ( 2 ,0) ，若 () = 1 2 ,则 = . 1 4 或 6 解析若 0, 由 () = 1 2 得, 1 2= 1 2, 解得 = 1 4 ;若 0, 则|sin| = 1 2 , ( 2 ,0), 解得 = 6 .综上可知, = 1 4 或 6 . 典例研析典例研析 考查角度二 分段函数与方程、不等式问题 【例4】 C （1）2017山东卷设 ( ) = ,0 1, 2( 1), 1, 若 () = ( +1), 则 ( 1 ) = ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析（解法一）当0 1 ,由 () = ( +1) 得 = 2, = 1 4 . 此时 ( 1
9、) = (4) = 2 (41) = 6. 当 1 时, +1 1 , () = 2( 1), ( +1) = 2( +11) = 2 .由 () = ( +1) 得2( 1) = 2 ,无解.综上, ( 1 ) = 6 .故 选 .（解法二） 当0 1 时, ( ) = ,为增函数,当 1 时, ( ) = 2( 1) ,为增函数, 又 () = ( +1), = 2( +11). = 1 4 . ( 1 ) = (4) = 6 .故选 . D 解析 （解法一）当 +1 0, 2 0, 即 1 时, ( +1) (2 ) 即为2 ( +1) 22 , 即 ( +1) 2 ,解得 0, 时,丌
10、等式组无解. 当 +1 0, 2 0, 即1 0 时, ( +1) (2 ) 即1 22 , 解得 0, 则满足 ( +1) 0, 2 0, 即 0 时, ( +1) = 1 , (2 ) = 1 ,丌合题意. 综上,丌等式 ( +1) 0, 函数 ( ) 的图象如图所示. 由图可知,当 +1 0 且2 0 时,函数 ( ) 为减函数,故 ( +1) 2 .此时 1 . 当2 0 时, (2 ) 1, ( +1) = 1 , 满足 ( +1) (2 ) . 此时1 0 . 综上,丌等式 ( +1) (2 ) 的解集为 (,1(1,0) = (,0). 故选 . 对点训练对点训练 C 8. 已知
11、函数 ( ) = 2 +1, 0, 则满足 ( )+ ( 1 2) 1 的 的取值范围 是 . ( 1 4 ,+) 解析当 1 2 时, ( )+ ( 1 2) = 2 +2 1 2 2 2 1; 当0 2 1; 当 0 时, ( )+ ( 1 2) = + 1+( 1 2)+1 = 2 + 3 2 , ( )+ ( 1 2) 1 2 + 3 2 1 1 4 ,即 1 4 0, 即1 2 ,所以函数的定义域为(1,2)(2,+) . 故选 . 2. 设 ( ) = 1 , 0, 2 , 0, , = 0, 2+1, 0, +1, 0, 若 ()+ (1) = 0 ,则实数 的值等于( ) A.
12、 3 B. 1 C. 1 D. 3 解析由题意知 (1) = 21= 2 . ()+ (1) = 0 , ()+2 = 0 . 当 0 时, () = 2,2+2 = 0 无解; 当 0 时, () = +1, +1+2 = 0 . = 3 . B B 5. 已知函数 ( ) = 2 1, 0, (2 ), 0, 则 (0) = ( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 3 解析 (0) = (20) = (2) = log221 = 0 . 6. 若函数 = ( ) 的定义域是0,2 016 ,则函数( ) = ( +1) 1 的定义域是( ) A. 1,2 015 B. 1,1)(1,2
13、 015 C. 0,2 016 D. 1,1)(1,2 016 解析要使函数 ( +1) 有意义,则0 + 1 2 016 ,解得1 2 015 ,故函数 ( +1) 的定义域为 1,2 015 ,所以函数( ) 有意义的条件是 1 2 015, 1 0, 故函数( ) 的定义域为1,1)(1,2 015. B B 7. 已知函数 ( ) = 2 +1(1 3) ,则( ) A. ( 1) = 2 +2(0 2) B. ( 1) = 2 1(2 4) C. ( 1) = 2 2(0 2) D. ( 1) = 2 +1(2 4) 解析因为 ( ) = 2 +1 ,所以 ( 1) = 2 1 .因
14、为函数 ( ) 的定义域为1,3 ,所以1 1 3 ,即2 4 ,故 ( 1) = 2 1(2 4) . 8. 已知函数f x) = 2 1, 1, 3+ , 1, 则 ( ( ) 2 的解集为( ) A. (1ln2,+) B. (,1ln2) C. (1ln2,1) D. (1,1+ln2) 解析因为当 1 时, ( ) = 3+ 2 ,当 1 时, ( ) = 2 1 2 ,所以 ( ( ) 2 等价于 ( ) 1, 即 2 1 1, 解得 1ln2, 所以 ( ( ) 2 的解集为(,1ln2) .故选 . 解析当 0 时, () = 1 0 , ( () = ( 1 ) = = 1
15、2 , 正确; 当 2 时, () = 2 1 0 , ( () = 1 2 ( 2 1)1 = 1 2, 解得 = 4 , 正确; 当0 2 时, () = 2 1 0, ( () = 1 21 = 1 2 ,解得 = 2 ,丌适合题意, 丌正确,故选 . 二、多项选择题 AD 9. 设函数 ( ) = 2 1, 0, 1 , 0, 若 ( () = 1 2 ,则实数 的值可以是( ) A. 4 B. 1 4 C. 2 D. 1 2 BC 10. 已知 (2 +1) = 4 2 ,则下列结论正确的是( ) A. (3) = 36 B. (3) = 16 C. ( ) = 22 +1 D. (
16、 ) = 16 2+16 +4 解析当 2 +1 = 3时， = 1，因此 3) = 4 12= 4，所以A丌符合题意；当2 +1 = 3时， = 2，因此 3) = 4 2)2= 16，所以B符合题意；令t = 2 +1，则 = 1 2 ，因此 ) = 4 1 2 2 = 22 +1，所 以C符合题意，D丌符合题意。 三、填空题 11. 若函数 ( ) = 2 +3,( +2) = ( ) ,则函数( ) 的表达式为 . ( ) = 2 1 解析令 +2 = ,则 = 2 .因为 ( ) = 2 +3 ,所以( +2) = ( ) = 2 +3 ,所以() = 2( 2)+3 = 2 1 .故函数( ) 的表达式为( ) = 2 1 . 12. 设函数 ( ) = 1 3, 8, 2 8, 8, 则使得 ( ) 3 成立的 的取值范围是 . (,27 解析当 8 时, 1 3 3, 27, 即8 27; 当 8 时,2 8 3 恒成立. 综上, (,27 .
