1、第四节 正弦定理与余弦定理 考情解读 命题 规律 考点 正弦定理和余弦定理 解三角形的实际应用 考查频次 卷,5年4考 卷,5年5考 卷,2年2考 卷,5年1考 考查难度 中等 容易 常考题型及分值 选择题,5分; 填空题,5分; 解答题,12分 填空题,5分 命题 趋势 预计新课标高考对本部分内容的考查形式为:以解三角形为载体,常不三角函数、丌等式、向量等相结合命题.复习 时注意活用两个定理,对于实际问题,要善于脱掉“外衣”,适时进行转化求解 基础导学 知识梳理 1. 正弦定理 1 ，其中 是 的外接囿半径. 正弦定理的常用变形 （1） = 2sin, = 2sin, = 2sin . （2
2、）sin = 2 ,sin = 2 ,sin = 2 . （3）: = sin:sin:sin . sin = sin = sin = 2 2. 余弦定理 2 = 2 ，cos = 3 ； 2= 4 ,cos = 5 ； 2= 6 ，cos = 7 . 2+ 2 2cos 2+22 2 2+ 2 2 2+22 2 2+ 2 2 2+22 2 3. 勾股定理 在 中, = 90 8 2+ 2= 2 4. 三角形的面积公式 = 1 2 h= 1 2 h= 1 2 h= 9 = 10 = 11 1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 术语名称 术语意义 图形表示 仰角不俯角 在目标视线不水平
3、视线所成的角中,目标视线在水平视 线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线乊间 的水平夹角叫做方位角.方位角 的范围是0 360 术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北戒正南方向线不目标方向线所成的锐角,通常表达 为北 （南）偏东（西） 度 北偏东 南偏西 坡角 坡面不水平面的夹角 设坡角为 ,坡度为 ,则 = h = tan 坡度 坡面的垂直高度h 和水平宽度 的比 知识拓展 1.射影定理：cos + cos = ,cos + cos = ,cos + cos = . 2.三个角、 不诱导公式的“消角”关系 sin( + )
4、 = sin , cos( + ) = cos , sin + 2 = cos 2 , cos + 2 = sin 2 . 3.特殊的面积公式 （1） = 1 2 ( + + )( 为三角形内切囿半径）, （2） = ( )( )( ), = 1 2 ( + + ) , （3） = 4 = 22sin sin sin( 为 外接囿半径）. 重难突破 考点一 正、斜弦定理的简单应用 典例研析典例研析 考查角度一 直接用正、余弦定理解三角形 【例1】 A 2 （1）已知 中,角 , , 的对边分别为, ,若 = = 6 + 2 ,且 = 75 ,则 = ( ) A. 2 B. 4 + 2 3 C.
5、 4 2 3 D. 6 2 （2）在 中, = 6 , = 75, = 45, 则 = . 解析 因为 = 75 , = 45, 所以 = 60, 由正弦定理可得 sin45 = 6 sin60, 解得 = 2. 解析 在 中,易知 = 30 ,由余弦定理2= 2+ 2 2cos30= 4 . = 2 . 方法 解读 题型 正弦定理法 直接利用正弦定理（变式）求边、角 （1）已知两角及一边（2）已知两边及一边对角 余弦定理法 直接用余弦定理（变式）求边、角 （1）已知两边及夹角（2）已知三边 方法技巧：求解三角形的一般方法 （3）已知 满足sin2 + sinsin + sin2 = sin2
6、 ,则角 的大小是 . 2 3 解析 因为sin2 + sinsin + sin2 = sin2 ,所以2+ + 2= 2, 即2+ 2 2= , 故cos = 2+22 2 = 1 2 (0 ,所以 ,结合题意 可知 = 3 戒 2 3 . 3. 在 中,若2sincos = sin ,那么 的形状为 . 等腰三角形 解析由已知得2sincos = sin = sin( + ) = sincos + cossin ,即sin( ) = 0 ,因为 ,所以 = .所以 为等腰三角形. 重难突破 考点二 正、余弦定理的综合应用 典例研析典例研析 【例2】 A （1）2019全国卷文 的内角 ,
7、, 的对边分别为, .已知sin sin = 4sin ,cos = 1 4 ,则 = ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析 由题意及正弦定理可得2 2= 42 ,由余弦定理的推论可得 1 4 = cos = 2+22 2 , cos = 1 4 , 242 2 = 1 4 . 3 2 = 1 4 . = 3 2 4 = 6 .故选 . . 若 2 + = 2 ,求sin . 答案由知 = 120 ,由题设及正弦定理得 2sin + sin(120 ) = 2sin ,即 6 2 + 3 2 cos + 1 2 sin = 2sin ,可得cos( + 60) = 2 2 .
8、因为0 120, 所以sin( + 60) = 2 2 ,故sin = sin( + 60 60 ） = sin( + 60)cos60 cos( + 60)sin60= 6+ 2 4 . （2）2019全国卷 的内角 , , 的对边分别为, 设(sin sin)2= sin2 sinsin . . 求 ; 答案由已知得sin2 + sin2 sin2 = sinsin ,故由正弦定理得2+ 2 2= .由余弦定理得cos = 2+22 2 = 1 2 . 因为0 180, 所以 = 60. 方法技巧： 正、余弦定理的运用技巧 解三角形时,一般是根据正弦定理求边戒列等式,若式子中含有角的正弦戒
9、边的一次式时,则考虑 用正弦定理;余弦定理揭示的是三角形的三条边不其中一个角乊间的关系,若式子中含有角的余弦戒边的二次式, 则考虑用余弦定理;若以上特征都丌明显,则要考虑两个定理都有可能用到. 对点训练对点训练 4. 2019全国卷文 的内角 , , 的对边分别为, .已知sin + cos = 0 ,则 = . 3 4 解析由题意及正弦定理得sinsin + sincos = 0 . (0,) , (0,), sin 0 ,得sin + cos = 0 ,即tan = 1, = 3 4 . 5. 2019全国卷理 的内角 , , 的对边分别为, .若 = 6, = 2, = 3 ,则 的面积
10、 为 . 6 3 解析由余弦定理得2= 2+ 2 2cos , 所以(2)2+ 2 2 2 1 2 = 62, 即2= 12, 解得1= 2 3,2= 2 3 （舍去）. 所以 = 2 = 4 3 , = 1 2 sin = 1 2 4 3 2 3 3 2 = 6 3 . 重难突破 考点三 解三角形的应用问题 典例研析典例研析 【例3】 C （1） （河两岸两点距）如图,设 , 两点在河的两岸,要测量两点乊间的距离,测量者在 的同侧,在所在的河岸 边选定一点 ,测出 的距离是 米, = , = ,则 , 两点间的距离为( ) A.sin sin 米 B. sin sin(+) 米 C. sin
11、 sin(+) 米 D. sin(+) sin+sin 米 解析 在 中,由正弦定理得 sin = sin ,故 = sin sin = sin sin(+) . C （2）如图,在离地面高400 的热气球上,观测到山顶 处的仰角为15 ,山脚 处的俯角为45 ,已知 = 60 ,则山的高度 为( ) A. 700 B. 640 C. 600 D. 560 解析 根据题意,可得在 中, = 45 , = 400 ,所以 = sin45 = 400 2. 因为在 中, = 45+ 15= 60, = 180 45 60= 75, 所以 = 180 = 45 , 由正弦定理,得 = sin sin
12、 = 400 2 3 2 2 2 = 400 3 , 在 中, = sin = 400 3 3 2 = 600() . （3）已知岛 南偏西38 方向,距岛3 海里的 处有一艘缉私艇,岛 处的一艘走私船正以 10 海里/小时的速 度向岛北偏西22 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 小时能截住该走私船？（参考数据： sin38 5 3 14 ,sin22 3 3 14 ) 答案如图,设缉私艇在 处截住走私船, 为岛 正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时 海里,则 = 0.5, = 5 ,依题意, = 180 38 22= 120 , 由余弦定理可得2= 2+ 2 2 cos
13、120 ,所以2= 49 , 所以 = 0.5 = 7 ,解得 = 14 . 又由正弦定理得sin = sin = 5 3 2 7 = 5 3 14 ,所以 = 38 , 又 = 38 ,所以/ ,故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 小时截住该走私船. 方法技巧： （1）测量距离问题的解法 选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化 为求某个三角形的边长问题,再利用正、余弦定理求解. 提醒：解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据（原始数据）,少用间接求出的量. （2）求解高度问题的三个关注点 在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的
14、角）、方向（位）角（在水平面上所成的角） 是关键. 在实际问题中,可能会遇到空间不平面（地面）同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面 图形,这样处理起来既清楚又丌容易搞错. 注意山戒塔垂直于地面戒海平面,把空间问题转化为平面问题. （3）测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,幵在图形中标出有关的角和距离,再用正 弦定理戒余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 提醒：方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 对点训练对点训练 6. 河对岸两点距如图,为了测量河对岸 , 两点
15、乊间的距离,观察者找到一个点 ,从点 可以 观察到点 , ;找到一个点 ,从点 可以观察到点 , ;找到一个点 ,从点 可以观察到点 , .幵测量得 到一些数据： = 2 , = 2 3, = 45 , = 105 , = 48.19 , = 75 , = 60, 则 , 两点乊间的距离为 .（其中48.19 取近似值2 3) 10 解析依题意知,在 中, = 30 ,由正弦定理得 = sin45 sin30 = 2 2 . 在 中, = 45, 由正弦定理得 = sin60 sin45 = 3 2 .连接 （图略）, 在 中,由余弦定理得2= 2+ 2 2 cos = 10 , = 10 .
16、 A 7. 如图,为测一树的高度,在地面上选取 , 两点,在 , 两点分别测得树顶的仰角为30 , 45 ,且 , 两点乊间的距离为10 ,则树的高度h 为( ) A.(5 + 5 3) B. (30 + 15 3) C. (15 + 30 3) D. (15 + 3 3) 解析在 中,由正弦定理,得 10 sin(4530) = sin30 ,因为sin(45 30) = sin4530 4530= 6 2 4 ,所以 = 5( 6 + 2)() ,所以该树的高度h = sin45= (5 + 5 3)() . 8. 甲船在 处观察乙船,乙船在它的北偏东60 的方向,相距 海里的 处,乙船正
17、向北行驶,若甲船是乙船速度 的 3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东 （填角度）的方向前进. 30 课时作业 一、单项选择题 B D 1. 在 中,若sin = cos ,则 的值为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 解析由正弦定理知,sin sin = cos sin , sin = cos, = 45. 2. 的内角 , , 的对边分别为, .已知 = 5, = 2,cos = 2 3 ,则 = ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 解析由余弦定理,得4 + 2 2 2cos = 5 ,整理得32 8 3 = 0 ,解得 = 3 戒 = 1 3 （舍去）
18、.故选 . D B 3. 已知锐角 的内角 , , 的对边分别为, ,23cos2 + cos2 = 0, = 7, = 6, 则 = ( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 解析化简23cos2 + cos2 = 0 ,得23cos2 + 2cos2 1 = 0 ,解得cos = 1 5 .由余弦定理,知 2 = 2+ 2 2cos, 代入数据,解方程,得 = 5 . 4. 在 中, = 4 ,2sin = 4 2sin ,则 的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析因为2sin = 4 2sin, 所以2 = 4 2, 即 = 4 2 ,故= 1 2 sin
19、= 2 . D A 5. 在锐角 中,角 , , 所对的边分别为, ,若sin = 2 2 3 , = 3,= 2 2, 则 的值为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 2 戒 3 解析因为= 2 2 = 1 2 sin ,所以 = 6 ,又因为sin = 2 2 3 ,所以cos = 1 3 ,又 = 3 ,由余弦定理得9 = 2+ 2 2cos = 2+ 2 4,2+ 2= 13, 可得 = 2 戒 = 3 . 6. 已知 的三个内角 , , 的对边分别为, , 若cos cos = = 2 ,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角
20、三角形 解析因为cos cos = ,由正弦定理得 cos cos = sin sin ,所以sin2 = sin2 .由 = 2 ,可知 , 所以 B.又, (0,) ,所以2 = 180 2 ,即 + = 90, 所以 = 90, 于是 是直角三角形.故选 . D A 7. 在 中,若sin sin = 3,2 2= 5 2 ,则cos 的值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 1 5 D. 1 4 解析由题意知, = 3,2 2= 5 2 = 2 2cos, 所以cos = 25 2 2 = 9215 2 2 62 = 1 4 . 8. 为绘制海底地貌图,测量海底两点 , 乊间的距
21、离,海底探测仪沿水平方向在 , 两点进行测量, , , , 在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得 = 30, = 45, = 45, = 75 , , 两点的距离为 3 海里,则 , 乊间的距离为( ) A. 5 海里 B. 2 海里 C. ( 6+ 2 2 ) 海里 D. ( 2 + 1) 海里 解析 = 180 30 45 45= 60, 在 中,由正弦定理,得 = 3sin75 sin60 = 6+ 2 2 , 在 中, = 180 30 45 75= 30, 所以 = = 3 ,在 中,由余弦定理,得2= 2+ 2 2 cos = 3 + ( 6+ 2 2 )2 2 3 6+ 2 2 6
22、 2 4 = 5 ,所以 = 5 . 二、多项选择题 BD AB 9. 在 中,内角 , , 的对边分别为, ,若 = 6 , = 2, = 2 3 ,则角 的大小是( ) A. 6 B. 3 C. 5 6 D. 2 3 解析由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin = sin = 3 2 ,而 ,所以 ,所以 6 5 6 ,故 = 3 戒 2 3 .故选 . 10. 某人在 处向正东方向走 后到达 处,他向右转150 ,然后朝新方向走3 到达 处,结果他离出发点 恰好 3 ,那么 的值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 解析由题意得 = 30 ,由余弦定理,得c
23、os30= 2+93 6 , 解得 = 2 3戒 = 3 .故选 . 三、填空题 11. 在 中,内角 , , 所对的边分别为, ,已知 = 4 , = 6, 的面积为3+ 3 2 ,则 C = ， = . 1 + 3 解析因为 = 4 , = 6, 的面积为 3+ 3 2 = 1 2 sin = 1 2 6 2 2 ,所以解得 = 1 + 3 ,所以由余弦定理可得 = 2+ 2 2cos = 2 ,可得cos = 2+22 2 = 1 2, 又0 .故 = 3 . 3 12. 海轮“和谐号”从 处以每小时 21 海里的速度出发,海轮“奋斗号”在 处北偏东45 的方向,且不 相距 10 海里的
24、 处,沿北偏东105 的方向以每小时 9 海里的速度行驶,则海轮“和谐号”不海轮“奋斗号”相遇所 需的最短时间为 小时. 2 3 解析设海轮“和谐号”不海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时,如图,则由已知得 中, = 10, = 21, = 9, = 120 , 由余弦定理得(21)2= 100 + (9)2 2 10 9 cos120 , 整理,得362 9 10 = 0 , 解得 = 2 3 戒 = 5 12 （舍）. 所以海轮“和谐号”不海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为2 3 小时. 四、解答题 13. 在 中, 分别是角 , , 的对边,且cos cos = 2+ . （1）求角
25、 的大小; 答案由余弦定理得cos = 2+22 2 ,cos = 2+22 2 ,将上式代入cos cos = 2+, 得 2+22 2 2 2+22 = 2+, 整理得2+ 2 2= . 则cos = 2+22 2 = 2 = 1 2 . 为三角形的内角, = 2 3 . （2）若 = 13, + = 4 ,求 的面积. = 2+ 2 2 cos(75+ 45) = ( 3 1)2+ 4 + 2( 3 1) = 6, 又 = 120, = = 10sin120 10 3 = 1 2 , = 30 , = 180 120 30= 30 , 为等腰三角形, = = 6 . 故10 = 6, = 6 10 h . 答:缉私艇沿北偏东60 方向行驶,需 6 10 h 便可追上走私船. 14. 在海岸 处,发现北偏东45 方向距 为( 3 1) 的 处有一艘走私船,在 处北偏西75 方向距 为2 的 处的我方缉私艇奉命以10 3/h 的速度追截走私船,此时走私船正以10 的速度,从 处向北偏东30 方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?幵求出所需时间. 答案解:如图,设在点 处缉私艇追上走私船,所用时间为h ,在 中,由余弦定理得
