1、3.向心加速度 必备知识必备知识自主学习自主学习 向心加速度向心加速度 【情境思考情境思考】 一辆汽车以恒定速率驶入环岛一辆汽车以恒定速率驶入环岛, ,当它在环岛内运动四分之一圆弧时当它在环岛内运动四分之一圆弧时, ,速度变化速度变化 量与初速度方向的夹角为多少量与初速度方向的夹角为多少? ?若汽车驶过的圆心角逐渐减小若汽车驶过的圆心角逐渐减小, ,速度变化量与速度变化量与 初速度方向的夹角将怎样变化初速度方向的夹角将怎样变化? ? 提示提示: :135135度度 逐渐减小逐渐减小 1.1.定义定义: :物体做匀速圆周运动时的加速度总指向物体做匀速圆周运动时的加速度总指向_,_,这个加速度叫作
2、这个加速度叫作 _。 2.2.方向方向: :始终沿半径指向始终沿半径指向_,_,并与线速度方向并与线速度方向_。 3.3.大小大小: : (1)(1)基本公式基本公式a an n= = =_=_。 (2)(2)拓展公式拓展公式a an n= = r=r=_。 4.4.作用效果作用效果: :只改变线速度的方向只改变线速度的方向, ,不改变线速度的大小。不改变线速度的大小。 5.5.物理意义物理意义: :描述线速度方向改变快慢的物理量。描述线速度方向改变快慢的物理量。 圆心圆心 向心加速度向心加速度 圆心圆心 垂直垂直 2 v r 2 2r r 2 2 4 T v v 【易错辨析易错辨析】 (1)
3、(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 ( )( ) (2)(2)做匀速圆周运动的物体做匀速圆周运动的物体, ,其向心加速度恒定。其向心加速度恒定。 ( )( ) (3)(3)物体做匀速圆周运动时物体做匀速圆周运动时, ,其相等时间内的位移相等。其相等时间内的位移相等。 ( )( ) (4)(4)物体做匀速圆周运动时物体做匀速圆周运动时, ,相等时间内的速度变化量不同。相等时间内的速度变化量不同。 ( )( ) (5)(5)根据根据a an n= = 可知加速度与半径成反比。可知加速度与半径成反比。 ( )( ) (6)(6)根据根据a an n= = 2 2r r
4、可知当角速度一定时 可知当角速度一定时, ,加速度与半径成正比。加速度与半径成正比。 ( )( ) 2 v r 关键能力关键能力合作学习合作学习 知识点一知识点一 向心加速度的概念及方向向心加速度的概念及方向 1.1.物理意义物理意义: :向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢, ,只能表示速度方向只能表示速度方向 变化的快慢变化的快慢, ,不表示速度大小变化的快慢。不表示速度大小变化的快慢。 2.2.方向特点方向特点: : (1)(1)指向圆心指向圆心: :无论匀速圆周运动无论匀速圆周运动, ,还是变速圆周运动还是变速圆周运动, ,向心加速度的方向都
5、指向向心加速度的方向都指向 圆心圆心, ,或者说与线速度的方向垂直。或者说与线速度的方向垂直。 (2)(2)时刻改变时刻改变: :无论向心加速度的大小是否变化无论向心加速度的大小是否变化, ,向心加速度的方向随线速度方向心加速度的方向随线速度方 向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。 3.3.匀速圆周运动中的“变”与“不变”匀速圆周运动中的“变”与“不变”: : (1)“(1)“不变”量不变”量: :匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变; ;线速度、加速度这线速度、加速度这 两个矢量的大小不变
6、。两个矢量的大小不变。 (2)“(2)“变化”量变化”量: :匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变。匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变。 【问题探究问题探究】 桌面上一个小球由于细线的牵引桌面上一个小球由于细线的牵引, ,绕桌面上的图钉做圆周运动。当桌面不光滑绕桌面上的图钉做圆周运动。当桌面不光滑 时时, ,小球的速率将会越来越小。试分析小球的加速度是否还指向圆心。小球的速率将会越来越小。试分析小球的加速度是否还指向圆心。 提示提示: :做变速圆周运动的物体做变速圆周运动的物体, ,由于线速度大小会发生变化由于线速度大小会发生变化, ,所以除向心加速度所以除向
7、心加速度 外还应存在切线方向上的切向加速度外还应存在切线方向上的切向加速度, ,所以加速度的方向并不指向圆心。所以加速度的方向并不指向圆心。 【典例示范典例示范】 【典例典例】下列关于向心加速度的说法中正确的是下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( ( ) ) A.A.向心加速度越大向心加速度越大, ,物体速率变化得越快物体速率变化得越快 B.B.向心加速度的大小与轨道半径成反比向心加速度的大小与轨道半径成反比 C.C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 D.D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 【素养训练素养训练】 1.“
8、1.“月球勘探者号”空间探测器绕月球的飞行可以看成匀速圆周运动月球勘探者号”空间探测器绕月球的飞行可以看成匀速圆周运动, ,关于探关于探 测器的运动测器的运动, ,下列说法正确的是下列说法正确的是 ( ( ) ) A.A.是匀速运动是匀速运动 B.B.是匀变速运动是匀变速运动 C.C.是变加速曲线运动是变加速曲线运动 D.D.是向心加速度大小和方向都变化的运动是向心加速度大小和方向都变化的运动 【解析解析】选选C C。做匀速圆周运动的物体的速度大小不变。做匀速圆周运动的物体的速度大小不变, ,但速度的方向时刻在变但速度的方向时刻在变 化化, ,故故A A错误错误; ;做匀速圆周运动的物体具有向
9、心加速度做匀速圆周运动的物体具有向心加速度, ,尽管加速度的大小不变尽管加速度的大小不变, , 但方向时刻变化但方向时刻变化, ,故故C C项正确项正确,B,B、D D错误。错误。 2.(2.(多选多选) )如图所示如图所示, ,细绳的一端固定细绳的一端固定, ,另一端系一小球另一端系一小球, ,让小球在水平面内做圆让小球在水平面内做圆 周运动周运动, ,关于小球运动到关于小球运动到P P点时的加速度方向点时的加速度方向, ,下列图中可能的是下列图中可能的是 ( ( ) ) 知识点二知识点二 向心加速度的大小向心加速度的大小 1.1.表达式表达式:a:an n= = = = 2 2r= r=
10、= =v v。 2.2.公式推导公式推导: : 法一法一: :牛顿第二定律牛顿第二定律 已知向心力表达式已知向心力表达式:F:Fn n=m=m ,F,Fn n=m=m 2 2r r。 。 (1)(1)根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律F Fn n=ma=man n得到向心加速度的基本表达式得到向心加速度的基本表达式:a:an n= = ,a,an n= = 2 2r; r; (2)(2)由于由于v=v=r,r,所以向心加速度也可以写成所以向心加速度也可以写成a an n= =v;v; (3)(3)由于由于= = =2=2 f,f,所以向心加速度也可以写成所以向心加速度也可以写成a an n= =
11、 r=4r=4 2 2f f2 2r r。 。 2 v r 2 2 4 T 2 v r 2 v r 2 2 4 T 2 T 法二法二: :加速度的定义加速度的定义 (1)(1)物理量物理量: :设质点沿半径为设质点沿半径为r r的圆周做匀速圆周运动的圆周做匀速圆周运动, ,在某时刻在某时刻t t位于位于A A点点, ,速度速度 为为v vA A, ,经过很短的时间经过很短的时间 t t后运动到后运动到B B点点, ,速度为速度为v vB B, ,把速度矢量把速度矢量v vA A和和v vB B的始端移至的始端移至 一点一点, ,求出速度矢量的改变量求出速度矢量的改变量 v=vv=vB B- -
12、v vA A, ,如图甲、乙所示。如图甲、乙所示。 (2)(2)推导过程推导过程: :图乙中的矢量三角形与图甲中的图乙中的矢量三角形与图甲中的OABOAB是相似三角形是相似三角形, ,用用v v表示表示 v vA A和和v vB B的大小的大小, ,用用 l表示弦表示弦ABAB的长度的长度, ,则有则有: : , ,故故 v=v= v v。 所以加速度所以加速度a an n= = 。 而当而当 t t趋近于零时趋近于零时, , 表示线速度的大小表示线速度的大小v,v,于是得到于是得到a an n= = 。再由。再由v=rv=r 得得a an n= = 2 2r r。 。 v vr l r l
13、v v tt r l t l 2 v r 3.3.向心加速度与半径的关系向心加速度与半径的关系: : 【问题探究问题探究】 根据根据a an n= = 可知可知, ,向心加速度与半径成反比向心加速度与半径成反比, ,根据根据a an n= = 2 2r r可知 可知, ,向心加速度与半向心加速度与半 径成正比径成正比, ,这是矛盾的。你认为呢这是矛盾的。你认为呢? ? 提示提示: :不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下; ;说向心加说向心加 速度与半径成正比是在角速度一定的情况下速度与半径成正比是在角速度一定的情况下, ,
14、所以二者并不矛盾。所以二者并不矛盾。 2 v r 【典例示范典例示范】 【典例典例】如图所示如图所示,O,O1 1为皮带传动的主动轮的轴心为皮带传动的主动轮的轴心, ,主动轮半径为主动轮半径为r r1 1,O,O2 2为从动轮为从动轮 的轴心的轴心, ,从动轮半径为从动轮半径为r r2 2,r,r3 3为固定在从动轮上的小轮半径。已知为固定在从动轮上的小轮半径。已知r r2 2=2r=2r1 1, , r r3 3=1.5r=1.5r1 1。A A、B B、C C分别是三个轮边缘上的点分别是三个轮边缘上的点, ,则点则点A A、B B、C C的向心加速度之比的向心加速度之比 是是( (假设皮带
15、不打滑假设皮带不打滑) ) ( ( ) ) A.123A.123 B.243B.243 C.843C.843 D.362D.362 【解题探究解题探究】 (1)A(1)A、B B、C C三点分别是什么传动方式三点分别是什么传动方式? ?它们之间满足什么关系它们之间满足什么关系? ? 提示提示: :A A、B B为皮带传动为皮带传动, ,线速度大小相等线速度大小相等;B;B、C C为同轴传动为同轴传动, ,角速度相等。角速度相等。 (2)(2)应分别使用哪一个向心力的表达式应分别使用哪一个向心力的表达式? ? 提示提示: :当线速度相等时应使用当线速度相等时应使用a an n= ,= ,当角速度
16、相等时应使用当角速度相等时应使用a an n= = 2 2r r。 。 2 v r 【素养训练素养训练】 1.1.如图所示为质点如图所示为质点P P、Q Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线, , 表示质点表示质点P P的图线是双曲线的图线是双曲线, ,表示质点表示质点Q Q的图线是过原点的一条直线的图线是过原点的一条直线, ,由图线由图线 可知可知 ( ( ) ) A.A.质点质点P P的线速度大小不变的线速度大小不变 B.B.质点质点P P的角速度大小不变的角速度大小不变 C.C.质点质点Q Q的角速度随半径增加而增加的角速度随半径增加而增
17、加 D.D.质点质点Q Q的线速度大小不变的线速度大小不变 2.2.如图所示为一磁带式放音机的转动系统如图所示为一磁带式放音机的转动系统, ,在倒带时在倒带时, ,主动轮以恒定的角速度逆主动轮以恒定的角速度逆 时针转动时针转动,P,P和和Q Q分别为主动轮和从动轮边缘上的点分别为主动轮和从动轮边缘上的点, ,则则 ( ( ) ) A.A.主动轮上的主动轮上的P P点线速度方向不变点线速度方向不变 B.B.主动轮上的主动轮上的P P点线速度逐渐增大点线速度逐渐增大 C.C.主动轮上的主动轮上的P P点的向心加速度逐渐增大点的向心加速度逐渐增大 D.D.从动轮上的从动轮上的Q Q点的向心加速度逐渐
18、增大点的向心加速度逐渐增大 3.3.如图所示如图所示,A,A、B B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动, ,在相同的时间内在相同的时间内, ,它们通它们通 过的路程之比是过的路程之比是43,43,绕圆心转过的角度之比是绕圆心转过的角度之比是32,32,则则A A、B B两艘快艇两艘快艇 ( ( ) ) A.A.线速度大小之比为线速度大小之比为4343 B.B.角速度大小之比为角速度大小之比为3434 C.C.圆周运动的半径之比为圆周运动的半径之比为2323 D.D.向心加速度大小之比为向心加速度大小之比为1111 【拓展例题拓展例题】考查内容考查内容: :生活中的圆周
19、运动生活中的圆周运动 【典例典例】如图甲所示如图甲所示, ,修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的, ,其原理可其原理可 简化为图乙所示。则齿轮边缘上简化为图乙所示。则齿轮边缘上A A、B B两点具有相同的两点具有相同的 ( ( ) ) A.A.线速度的大小线速度的大小 B.B.周期周期 C.C.向心加速度的大小向心加速度的大小 D.D.角速度角速度 【科技情境科技情境】 科幻电影科幻电影星际穿越星际穿越中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可 以简化为如图所示的环形实验装置以简化为如图所示的环形
20、实验装置, ,外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置 绕绕O O点旋转点旋转, ,能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重 力”。力”。 情境模型素养 探究探究: : (1)(1)则旋转角速度应为则旋转角速度应为( (地球表面重力加速度为地球表面重力加速度为g,g,装置的外半径为装置的外半径为R)?R)? (2)(2)不同质量的人受力相同吗不同质量的人受力相同吗? ?感受相同吗感受相同吗? ? 【解析解析】(1)(1)为使为使“地板地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的上可视为质点
21、的物体与在地球表面处有同样的 “重力重力”, ,则物体的向心加速度应等于则物体的向心加速度应等于g,g,根据根据g=g=2 2R,R,可得可得= = 。 (2)(2)不同质量的人受力不相同不同质量的人受力不相同, ,感受相同。感受相同。 答案答案: :见解析见解析 g R 【生活情境生活情境】 在必修一在必修一自由落体运动自由落体运动一节中一节中, ,课本上为我们列举了地球上不同位置的重课本上为我们列举了地球上不同位置的重 力加速度力加速度, ,其中北极和赤道上的数据摘录如表其中北极和赤道上的数据摘录如表: : 地点地点 纬度纬度 g/(msg/(ms- -2 2) ) 赤道海平面赤道海平面
22、0 0 9.7809.780 北极北极 9090 9.8329.832 探究探究: : (1)(1)从表中的数据可以发现什么现象从表中的数据可以发现什么现象? ? (2)(2)结合本节学习的知识结合本节学习的知识, ,尝试解释一下这一现象。尝试解释一下这一现象。 【解析解析】(1)(1)北极的重力加速度大于赤道的重力加速度。北极的重力加速度大于赤道的重力加速度。 (2)(2)物体的重力本质上来源于地球引力物体的重力本质上来源于地球引力, ,在两极物体向心加速度为在两极物体向心加速度为0,0,地球引力等地球引力等 于重力于重力; ;由于地球自转由于地球自转, ,在赤道上的物体所受的地球引力一部分充当向心力在赤道上的物体所受的地球引力一部分充当向心力, ,所所 以产生的重力加速度比两极的要小。以产生的重力加速度比两极的要小。 答案答案: :见解析见解析
