1、3.万有引力理论的成就 必备知识必备知识自主学习自主学习 一、“称量”地球的质量一、“称量”地球的质量 【情境思考情境思考】 阿基米德在研究杠杆原理后阿基米德在研究杠杆原理后, ,曾经说过一句什么名言曾经说过一句什么名言? ? “给我一个支点“给我一个支点, ,我可以撬动地球。”我可以撬动地球。” 给我们一个杠杆给我们一个杠杆( (或天平或天平) )是否就可以称量地球的质量是否就可以称量地球的质量? ? 提示提示: :不能不能 1.1.合理假设合理假设: :不考虑地球自转。不考虑地球自转。 2.“2.“称量”依据称量”依据: :地面上质量为地面上质量为m m的物体所受的重力的物体所受的重力mg
2、mg等于地球对物体的引力等于地球对物体的引力, , 即即mg=Gmg=G , ,由此解得由此解得:m:m地 地= =_ _。 2 mm R 地 2 gR G 二、计算天体的质量二、计算天体的质量 【情境思考情境思考】 问题问题: :太阳是一个火热的球体太阳是一个火热的球体, ,能否计算太阳的质量能否计算太阳的质量? ? 提示提示: :能能 1.1.计算太阳的质量计算太阳的质量: :行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力 提供提供, ,列出方程列出方程G G =m=m , ,由此可解得由此可解得m m太 太= =_ _。 2.2.计算
3、行星的质量计算行星的质量: :与计算太阳的质量一样与计算太阳的质量一样, ,若已知卫星绕行星运动的周期若已知卫星绕行星运动的周期T T和和 轨道半径轨道半径r,r,就可计算出行星的质量就可计算出行星的质量m m行 行= =_ _。 2 mm r 太 2 2 4r T 2 3 2 4r GT 2 3 2 4r GT 【易错辨析易错辨析】 (1)(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。( )( ) (2)(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径, ,则可以则可
4、以 求出太阳的质量。求出太阳的质量。( ( ) ) (3)(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径, ,可以求出地球的质量。可以求出地球的质量。( ( ) ) (4)(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( )( ) 关键能力关键能力合作学习合作学习 知识点一知识点一 测量天体的质量测量天体的质量 角度角度1 1 万有引力与重力的关系万有引力与重力的关系 1.1.万有引力和重力的关系万有引力和重力的关系: :如图所示如图所示, ,设地球的质量为设地球的质量为M,M,半径为半径为R,AR,A处物
5、体的质处物体的质 量为量为m,m,则物体受到地球的吸引力为则物体受到地球的吸引力为F,F,方向指向地心方向指向地心O,O,由万有引力公式得由万有引力公式得F=F= G G 。引力。引力F F可分解为可分解为F F1 1、F F2 2两个分力两个分力, ,其中其中F F1 1为物体随地球自转做圆周运动的为物体随地球自转做圆周运动的 向心力向心力F Fn n,F,F2 2就是物体的重力就是物体的重力mgmg。 2 Mm R 2.2.重力与纬度的关系重力与纬度的关系: :地面上物体的重力随纬度的升高而变大。地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)(1)赤道上赤道上: :重力和向心力在一条直线上重
6、力和向心力在一条直线上F=FF=Fn n+mg,+mg, 即即G G =mr=mr 2 2+mg, +mg,所以所以mg=Gmg=G - -mrmr 2 2。 。 (2)(2)地球两极处地球两极处: :向心力为零向心力为零, ,所以所以mg=F=Gmg=F=G 。 (3)(3)其他位置其他位置: :重力是万有引力的一个分力重力是万有引力的一个分力, ,重力的大小重力的大小mgGmgG , ,重力的方向重力的方向 偏离地心。偏离地心。 2 Mm R 2 Mm R 2 Mm R 2 Mm R 【典例示范典例示范】 【典例典例1 1】已知地球表面已知地球表面g=9.8 m/sg=9.8 m/s2 2
7、, ,地球半径地球半径R=6 400 km,R=6 400 km,引力常量引力常量G=6.67G=6.67 1010- -11 11 Nm Nm2 2/kg/kg2 2, ,求地球质量。求地球质量。 【解析解析】由由mg=G mg=G 可得可得M= M= 代入数据代入数据, ,解得解得M6M6101024 24 kg kg。 答案答案: :6 6101024 24 kg kg 2 Mm R 2 gR G 角度角度2 2 中心天体质量的计算中心天体质量的计算 1.1.计算天体质量的方法计算天体质量的方法: : 2.2.计算天体的密度计算天体的密度: : 若天体的半径为若天体的半径为R,R,则天体
8、的密度则天体的密度 = = 将将M=M= 代入上式得代入上式得 = = 。 特别地特别地, ,当卫星环绕天体表面运动时当卫星环绕天体表面运动时, ,其轨道半径其轨道半径r r等于天体半径等于天体半径R,R,则则 = = 。 3 M 4 R 3 2 3 2 4r GT 3 23 3 r GT R 2 3 GT 【典例示范典例示范】 【典例典例2 2】为了研究太阳演化进程为了研究太阳演化进程, ,需知道太阳的质量需知道太阳的质量M M。已知地球的半径。已知地球的半径 R=6.4R=6.410106 6 m,m,地球的质量地球的质量m=6m=6101024 24 kg, kg,日地中心的距离日地中心
9、的距离r=1.5r=1.5101011 11 m, m,地球表地球表 面的重力加速度面的重力加速度g=10 m/sg=10 m/s2 2,1,1年约为年约为3.23.210107 7 s,s,试估算目前太阳的质量试估算目前太阳的质量M M。( (引引 力常量未知力常量未知) ) 【素养训练素养训练】 1.1.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7 7年的“艰苦”旅行年的“艰苦”旅行, ,进入绕进入绕 土星飞行的轨道土星飞行的轨道, ,若“卡西尼”号探测器在半径为若“卡西尼”号探测器在半径为R R的土星上空离土星表面高的土星上空离土星表面高h h
10、的圆形轨道上绕土星飞行的圆形轨道上绕土星飞行, ,环绕环绕n n周飞行时间为周飞行时间为t,t,已知引力常量为已知引力常量为G,G,则下列关于则下列关于 土星质量土星质量M M和平均密度和平均密度 的表达式正确的是的表达式正确的是 ( ( ) ) 【解析解析】选选D D。对探测器有。对探测器有G =mG =m 2 2(R+h), (R+h),= = 解得解得M= M= 土星的体积土星的体积V= V= R R3 3, ,土星的密度土星的密度 = D= D正确。正确。 233 23 233 223 2 2323 222 22323 223 4(Rh)3 (Rh) A.M GtGt R 4(Rh)3
11、 (Rh) B.M GtGt R 4t (Rh)3 t (Rh) C.M GnGn R 4n (Rh)3 n (Rh) D.M GtGt R ， ， ， ， 2 Mm (Rh) 22 n Tt ， 223 2 4n (Rh) Gt ， 4 3 23 23 M3 n (Rh) VGt R ， 2.2.我国我国500 m500 m口径射电望远镜口径射电望远镜( (天眼天眼) )发现毫秒脉冲星“发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,J0318+0253”,其自转周其自转周 期期T=5.19 ms,T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体假设星体为质量均匀分布的球体, ,已知万有引力常量为已
12、知万有引力常量为6.676.67 1010- -11 11 Nm Nm2 2/kg/kg2 2。以周期。以周期T T稳定自转的星体的密度最小值约为稳定自转的星体的密度最小值约为 ( ( ) ) A.5A.510109 9 kg/mkg/m3 3 B.5B.5101012 12 kg/m kg/m3 3 C.5C.5101015 15 kg/m kg/m3 3 D.5D.5101018 18 kg/m kg/m3 3 知识点二知识点二 天体运动的定性分析和定量计算天体运动的定性分析和定量计算 1.1.解决天体运动问题的基本思路解决天体运动问题的基本思路: :一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动
13、一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动, , 所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。 2.2.四个重要结论四个重要结论: : 【问题探究问题探究】 如图所示如图所示, ,行星在围绕太阳做匀速圆周运动。行星在围绕太阳做匀速圆周运动。 (1)(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的? ? (2)(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自 身质量有关吗身质量有关吗? ? 【典例示
14、范典例示范】 【典例典例】(2019(2019全国卷全国卷)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周 运动运动, ,它们的向心加速度大小分别为它们的向心加速度大小分别为a a金 金、 、a a地 地、 、a a火 火, ,它们沿轨道运行的速率分别 它们沿轨道运行的速率分别 为为v v金 金、 、v v地 地、 、v v火 火。已知它们的轨道半径 。已知它们的轨道半径R R金 金R R地 地R a a地 地a a火 火 B.aB.a火 火a a地 地a a金 金 C.vC.v地 地v v火 火v v金 金 D.vD.v火 火v v地 地v v金 金
15、 【素养训练素养训练】 1.(20181.(2018江苏高考江苏高考) )我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年 5 5月月9 9日发射的“高分五号”轨道高度约为日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km,705 km,之前已运行的“高分四号”之前已运行的“高分四号” 轨道高度约为轨道高度约为36 000 km,36 000 km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比, ,下下 列物理量中“高分五号”较小的是列物理量中“高分五号”较小的是 ( ( ) ) A.A.周期周期 B.B.角
16、速度角速度 C.C.线速度线速度 D.D.向心加速度向心加速度 2.(20202.(2020浙江浙江7 7月选考月选考) )火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星 和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动, ,火星公转轨道半径与地球公转轨火星公转轨道半径与地球公转轨 道半径之比为道半径之比为32,32,则火星与地球绕太阳运动的则火星与地球绕太阳运动的 ( ( ) ) A.A.轨道周长之比为轨道周长之比为2323 B.B.线速度大小之比为线速度大小之比为 C.C.角速度大小之比为角速度大小之比为2 2 33
17、 D.D.向心加速度大小之比为向心加速度大小之比为9494 3 3 2 2 【拓展例题拓展例题】考查内容考查内容: :天体运动中的临界问题天体运动中的临界问题 【典例典例】一物体静置在平均密度为一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上。已知万有引的球形天体表面的赤道上。已知万有引 力常量为力常量为G,G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零, ,则天体自转周期则天体自转周期 为为 ( ( ) ) 1111 2222 433 A.() B.() C.() D.() 3G4 GGG 【科技情境科技情境】 国际权威杂志国际权威杂志自然自然刊发了中
18、国科学院罗俊院士团队引力常量的最新测量结刊发了中国科学院罗俊院士团队引力常量的最新测量结 果果, ,罗俊院士的引力实验室因其测出世界最精确的万有引力常量而被外国专家罗俊院士的引力实验室因其测出世界最精确的万有引力常量而被外国专家 称为“世界引力中心”。称为“世界引力中心”。 问题问题: :关于引力常量关于引力常量, ,请判断请判断: : (1)(1)在国际单位制中在国际单位制中, ,引力常量在数值上等于两个质量是引力常量在数值上等于两个质量是1 kg1 kg的质点相距的质点相距1 m1 m时时 万有引力的大小。万有引力的大小。 ( ( ) ) (2)(2)在不同的单位制中在不同的单位制中, ,
19、引力常量的数值是相同的。引力常量的数值是相同的。 ( ( ) ) (3)(3)计算不同物体间相互作用的万有引力时计算不同物体间相互作用的万有引力时, ,引力常量的值是不同的。引力常量的值是不同的。( ( ) ) 情境模型素养 【生产情境生产情境】 20202020年年5 5月月5 5日日1818时时0 0分分, ,长征五号长征五号B B搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货 物返回试验舱物返回试验舱, ,从文昌航天发射场点火升空从文昌航天发射场点火升空, ,约约488488秒后秒后, ,载荷组合体与火箭成功载荷组合体与火箭成功 分离进入预定轨道分离进入预定轨道, ,我国空间站阶段的首次飞行任务告捷。若“载荷组合体”我国空间站阶段的首次飞行任务告捷。若“载荷组合体” 绕地心做匀速圆周运动绕地心做匀速圆周运动, ,距离地面的高度为距离地面的高度为h,h,地球半径为地球半径为R ,R ,地球表面的重力加地球表面的重力加 速度为速度为g,g,引力常量为引力常量为G G。 探究探究:(1):(1)根据以上信息根据以上信息, ,试求地球质量试求地球质量M M。 (2)“(2)“载荷组合体”的运行速度载荷组合体”的运行速度v v。
